Abbildung beweis injektiv < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:15 Sa 27.10.2007 | | Autor: | alabirs |
| Aufgabe | Die Abbildungen f: X [mm] \mapsto [/mm] Y und g: Y [mm] \mapsto [/mm] Z seien gegeben.
Beweisen Sie wenn f und g injektiv ist, so ist auch f [mm] \circ [/mm] g injektiv.
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Ich habs mal so versucht:
[mm] f(g(x_{1}) [/mm] = [mm] z_{1} \not= f(g(x_{2})
[/mm]
[mm] \Rightarrow g(x_{1} [/mm] = [mm] f^{-1}(z_{1} \not= g(x_{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow g(y_{1}) [/mm] = [mm] z_{1} \not= g(y_{2}) [/mm]
Denke nicht dass ichs richtig habe. Wo liegt der Fehler oder wie könnte ichs am Besten beweisen.
Danke
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:09 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Sax |
Hi,
In Deinem Beweis steckt viel zu wenig Text.
> [mm]f(g(x_{1})[/mm] = [mm]z_{1} \not= f(g(x_{2})[/mm]
Bedeuten "=" bzw. [mm] "\not=" [/mm] , dass es sich um abkürzende Schreibweisen (Definitionen), gesicherte Aussagen, oder um zu beweisende Behauptungen handelt, oder was ?
> [mm]\Rightarrow g(x_{1}[/mm] =
> [mm]f^{-1}(z_{1} \not= g(x_{2}[/mm]
1. : s.o.
2. : wieso folgt das ? Aus der Injektivität von f oder aus der von g oder aus ...
3. : Falls das oben die zu beweisende Aussage war und wir aus ihr etwas Richtiges folgern, was beweist uns das im Hinblick auf die Richtigkeit der Behauptung ? (Hinweis : aus " 2 = 5 " folgt durch Multiplikation mit Null die richtige Aussage " 0 = 0 ", aus " -4 = 4 " folgt durch Quadrieren die richtige Aussage " 16 = 16 ")
> [mm]\Rightarrow g(y_{1})[/mm] = [mm]z_{1} \not= g(y_{2})[/mm]
(jetzt versteh' ich's wirklich nicht mehr)
1. Wo kommen die y her ?
2. wenn oben [mm] f(g(x_1)) [/mm] = [mm] z_1 [/mm] war, wieso ist jetzt [mm] z_1 [/mm] = [mm] g(y_1) [/mm] ?
Meinst Du vielleicht [mm] g(x_1) [/mm] = [mm] y_1 [/mm] und [mm] f(y_1) [/mm] = [mm] z_1 [/mm] ?
Und wenn ja, was bringt dir das ?
Jetzt mal was Konstruktives :
Um die Injektivität von f [mm] \circ [/mm] g zu beweisen, musst Du aus der Voraussetzung [mm] x_1 \not= x_2 [/mm] schließen, dass [mm] f(g(x_1)) \not= f(g(x_2)) [/mm] ist.
Zunächst folgt wegen der vorausgesetzten Injektivität von g aus der Voraussetzung, dass ... ist und dann weiter aus ... , dass ... ist.
Ich denke, dass du die Lücken schließen kannst.
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