Bewegung eines Teilchens < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:37 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Daene111 |
| Aufgabe | | Gesucht ist die Herleitung einer adjungierten Gleichung |
im Aufgabentext ist folgendes Vorgehen beschrieben:
Es gibt eine Verteilung [mm] p(x,t|x_{0},0) [/mm] die dieser Fokker Planck Gleichung genügt:
(1) [mm] \partial_{t}*p(x,t|x_{0},0) [/mm] = [mm] \bruch{D}{k_{B}*T}\partial_{x}*(\partial_{x}*U(x)* p(x,t|x_{0},0))+D\partial_{x}^{2} p(x,t|x_{0},0)
[/mm]
nun soll ich eine adjungierte Gleichung herleiten. Zuerst habe ich probleme mit dem Begriff adjungierte Gleichung. Durch googeln bekam ich nur Hinweise auf adjungierte Matrizen. Diese sollen bestimmten Verstauschungsbedingungen für Skalarprodukte genügen?! In meinem fall bedeutet dies dann genau was?
folgende Prozedur ist nun gegeben um die Gleichung herzuleiten
1) multiplikation von (1) mit [mm] p(x_{0},0|x,t)
[/mm]
2) integration über t und x
ich kann leider mit der schreibweise der Verteilung nicht viel anfangen. Ich kenne keine Rechengesetzte dazu. Es gab noch den Hinweis, dass wir einen homogenen Prozess betrachten
==> [mm] p(x,t|x_{0},0) [/mm] = [mm] p(x,0|x_{0},-t)
[/mm]
Danke für euere Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:14 Do 12.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Gesucht ist die Herleitung einer adjungierten Gleichung
> im Aufgabentext ist folgendes Vorgehen beschrieben:
>
> Es gibt eine Verteilung [mm]p(x,t|x_{0},0)[/mm] die dieser Fokker
> Planck Gleichung genügt:
>
> (1) [mm]\partial_{t}*p(x,t|x_{0},0)[/mm] =
> [mm]\bruch{D}{k_{B}*T}\partial_{x}*(\partial_{x}*U(x)* p(x,t|x_{0},0))+D\partial_{x}^{2} p(x,t|x_{0},0)[/mm]
>
> nun soll ich eine adjungierte Gleichung herleiten. Zuerst
> habe ich probleme mit dem Begriff adjungierte Gleichung.
> Durch googeln bekam ich nur Hinweise auf adjungierte
> Matrizen. Diese sollen bestimmten Verstauschungsbedingungen
> für Skalarprodukte genügen?! In meinem fall bedeutet dies
> dann genau was?
Die Focker-Planck-Gleichung ist eine lineare DGL der Form
[mm]\bruch{\partial}{\partial t} f(x,t) = L_{FP}(x) f(x,t) [/mm]
[mm] $L_{FP}(x)$ [/mm] ist ein linearer Differentialoperator. Der adjungierte Operator [mm] $L^\ast_{FP}(x)$ [/mm] ist immer definiert über das Skalarprodukt:
(*) [mm] = [/mm]
Das Skalarprodukt ist das des zugrundeliegenden Funktionenraums, das heisst es ist in der Regel als ein Integral definiert.
> folgende Prozedur ist nun gegeben um die Gleichung
> herzuleiten
> 1) multiplikation von (1) mit [mm]p(x_{0},0|x,t)[/mm]
> 2) integration über t und x
Das ist die rechte Seite der Gleichung (*): [mm]p(x_{0},0|x,t)[/mm] spielt die Rolle von g. Mach das und integriere partiell.
> ich kann leider mit der schreibweise der Verteilung nicht
> viel anfangen. Ich kenne keine Rechengesetzte dazu. Es gab
> noch den Hinweis, dass wir einen homogenen Prozess
> betrachten
>
> ==> [mm]p(x,t|x_{0},0)[/mm] = [mm]p(x,0|x_{0},-t)[/mm]
Das brauchst du wahrscheinlich zur Vereinfachung, aber ich habe es nicht durchgerechnet.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 Sa 14.06.2008 | | Autor: | Daene111 |
Hallo rainer,
vielen Dank für deine Antwort!
Ist es richtig, wenn ich aus deiner Antwort entnehme dieses Integral nun auszurechnen?!
[mm] \integral{\integral}{(\bruch{D}{k_{B}\cdot{}T}\partial_{x}\cdot{}(\partial_{x}\cdot{}U(x)\cdot{} p(x,t|x_{0},0))+D\partial_{x}^{2} p(x,t|x_{0},0)})*p(x_{0},0|x,t)dxdt
[/mm]
und die linke Seite entsprechend:
[mm] \integral{\integral}(p(x,t|x_{0},0)*p(x_{0},0|x,t)dxdt
[/mm]
Vielen Dank!
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kannst du mir etwas zur Integration von Wahrscheinlichkeitsdichten sagen? kann ich diese wie normale Funktionen behandeln?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:29 Mo 16.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hättest du noch nen Tip dieses Integral zu lösen
[mm] T(x_{0}->x_{2})=\bruch{1}{D}\integral_{x_{0}}^{x_{2}}{dyExp[\bruch{U(y)}{k_{B}*T}]} \integral_{x_{1}}^{y}{dzExp[\bruch{-U(z)}{k_{B}*T}]}
[/mm]
Nochmals vielen Dank für deine ausführliche Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:23 Sa 21.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:24 Mo 16.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo rainer,
>
> vielen Dank für deine Antwort!
>
> Ist es richtig, wenn ich aus deiner Antwort entnehme dieses
> Integral nun auszurechnen?!
>
> [mm]\integral{\integral}{(\bruch{D}{k_{B}\cdot{}T}\partial_{x}\cdot{}(\partial_{x}\cdot{}U(x)\cdot{} p(x,t|x_{0},0))+D\partial_{x}^{2} p(x,t|x_{0},0)})*p(x_{0},0|x,t)dxdt[/mm]
Und jetzt musst du partiell integrieren, um den adjungierten Differentialoperator zu bestimmen.
> und die linke Seite entsprechend:
>
> [mm]\integral{\integral}(p(x,t|x_{0},0)*p(x_{0},0|x,t)dxdt[/mm]
Da fehlt die zeitliche Ableitung.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Di 17.06.2008 | | Autor: | Daene111 |
soweit war mir das mehr oder weniger auch klar, mein Problem liegt nun darin mit Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen zu rechnen. Wie kann ich vereinfachen, was kann ich aus diesem Produkt machen
[mm] p(x,t|x_{0},0)*p(x_{0},0|x,t) [/mm] = p(x,t) ?
eine rechenregel wäre z.B.:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{p(x,t|x_{0},0) dx}=1
[/mm]
ich weis, was partielle Integration ist ; ich weis auch, was die Schreibweise [mm] p(x,t|x_{0},0) [/mm] bedeutet, aber ich kann die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen nicht wirklich mathematisch behandeln. Könntest du mir einen Tip oder die Berechnung zum ersten Integral
[mm] \integral{\integral}\partial_{t}(p(x,t|x_{0},0)\cdot{}p(x_{0},0|x,t)dxdt
[/mm]
geben, damit ich einen ersten Anhaltpunkt habe.
Dankeschön
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:02 Di 17.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> soweit war mir das mehr oder weniger auch klar, mein
> Problem liegt nun darin mit
> Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen zu rechnen. Wie kann
> ich vereinfachen, was kann ich aus diesem Produkt machen
>
> [mm]p(x,t|x_{0},0)*p(x_{0},0|x,t)[/mm] = p(x,t) ?
>
> eine rechenregel wäre z.B.:
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{p(x,t|x_{0},0) dx}=1[/mm]
>
> ich weis, was partielle Integration ist ; ich weis auch,
> was die Schreibweise [mm]p(x,t|x_{0},0)[/mm] bedeutet, aber ich kann
> die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen nicht wirklich
> mathematisch behandeln. Könntest du mir einen Tip oder die
> Berechnung zum ersten Integral
>
> [mm]\integral{\integral}\partial_{t}(p(x,t|x_{0},0)\cdot{}p(x_{0},0|x,t)dxdt[/mm]
>
> geben, damit ich einen ersten Anhaltpunkt habe.
Es ist wirklich nicht mehr als partielle Integration, in diesem Teil bezüglich der Variablen t:
[mm] \integral{\left(\integral\partial_{t}(p(x,t|x_{0},0)\cdot{}p(x_{0},0|x,t)dt\right)dx}
= \integral \left( \limes_{t\to+\infty} p(x,t|x_{0},0) p(x_{0},0|x,t) - \limes_{t\to-\infty} p(x,t|x_{0},0) p(x_{0},0|x,t)\right) dx
- \integral{\left(\integral p(x,t|x_{0},0) \partial_{t} p(x_{0},0|x,t)dt\right)dx}
[/mm]
Der Randterm veschwindet, und es bleibt nur das letzte Integral übrig.
Ähnlich geht's beim eigentlichen Differentialoperator.
Zur Kontrolle der Berechnung des adjungierten Differentialoperators sieh ![[]](/images/popup.gif) hier.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Mi 18.06.2008 | | Autor: | Daene111 |
Hi eine Frage hätte ich noch:
dieser Term
[mm] \integral(\integral p(x,t|x_{0},0) \partial_{t} p(x_{0},0|x,t)dt)dx
[/mm]
soll gleich
[mm] \partial_{t}*p(x_{0},t|x,0)
[/mm]
sein.
gilt: 1) [mm] p(x_{0},t|x,0)=p(x_{0},0|x,t) [/mm] aus der homogenitätsbedingung?
2) [mm] \integral(\left(\integral p(x,t|x_{0},0) \partial_{t} p(x_{0},0|x,t)dt\right)dx=\partial_{t} p(x_{0},0|x,t)
[/mm]
, da [mm] \integral(\left(\integral p(x,t|x_{0},0) dt\right)dx [/mm] = 1?
vielen dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:26 Mi 18.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hi eine Frage hätte ich noch:
> dieser Term
>
> [mm]\integral(\integral p(x,t|x_{0},0) \partial_{t} p(x_{0},0|x,t)dt)dx[/mm]
>
> soll gleich
>
> [mm]\partial_{t}*p(x_{0},t|x,0)[/mm]
>
> sein.
Das verstehe ich jetzt nicht: warum soll das gleich sein?
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:13 Do 19.06.2008 | | Autor: | Daene111 |
ich habe auf dem Aufgabenblatt diese Lösung
[mm] \partial_{t}p(x_{0},t|x,0) [/mm] = [mm] -\bruch{D}{k_{B}*T}\partial_{x}*U(x)\partial_{x}p(x_{0},t|x,0))+D*\partial_{x}^{2}(p(x_{0},t|x,0)
[/mm]
gegeben. Vielleicht habe ich mich deshalb mit der Berechnung so schwer getan!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:55 Do 19.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ich habe auf dem Aufgabenblatt diese Lösung
>
> [mm]\partial_{t}p(x_{0},t|x,0)[/mm] =
> [mm]-\bruch{D}{k_{B}*T}\partial_{x}*U(x)\partial_{x}p(x_{0},t|x,0))+D*\partial_{x}^{2}(p(x_{0},t|x,0)[/mm]
>
>
> gegeben. Vielleicht habe ich mich deshalb mit der
> Berechnung so schwer getan!
Ich habe den Eindruck, du hast den Zusammenhang zwischen Differentialgleichung und adjungierter Gleichung noch nicht ganz verstanden.
Du hast eine lineare Differentialgleichung. Die kannst du immer symbolisch
[mm] L f = 0 [/mm]
schreiben. L ist der Differentialoperator, in deinem Fall
[mm] L = \partial_t - \bruch{D}{k_bT}\partial_x U(x) -D \partial_x^2 [/mm]
Der zu L adjungierte Operator $L^+$ ist definiert über die Gleichung
[mm] = [/mm].
Die adjungierte DGL ist
[mm] L^+ g = 0[/mm]
In den meisten Fällen ist das Skalarprodukt [mm] $<\cdot \mid\cdot>$ [/mm] als Integral definiert; daher bekommt man den adjungierten Operator durch partielle Integration.
Ich nehme mal ein einfaches Beispiel: wir betrachten quadratintegrable Funktionen von [mm] $\IR$ [/mm] nach [mm] $\IR$, [/mm] das Skalarprodukt sei
[mm] = \integral_{-\infty}^{+\infty} g(x) f(x) dx [/mm].
Nehmen wir die DGL
[mm]f'(x) +c f(x) = 0[/mm].
Der Differentialoperator ist hier: [mm] $L=\bruch{d}{dx} [/mm] + c$.
Also ist
[mm] = \integral_{-\infty}^{+\infty} g(x) (\bruch{d}{dx} + c) f(x) dx = \integral_{-\infty}^{+\infty} g(x) f'(x)dx + \integral_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x) dx [/mm]
Das erste Integral kann man durch partielle Integration umformen:
[mm] \integral_{-\infty}^{+\infty} g(x) f'(x)dx = \left.f(x)g(x)\right|_{-\infty}^{+\infty} - \integral_{-\infty}^{+\infty} g'(x) f(x)dx [/mm]
Der erste Term ist 0, weil wir nur quadratintegrable Funktionen betrachten; die gehen im Unendlichen gegen 0.
Also ist
[mm] = \integral_{-\infty}^{+\infty} ((-\bruch{d}{dx} + c)g(x)) f(x) dx [/mm],
also durch Vergleich mit $<L^+ [mm] g\mid [/mm] f >$: $L^+ = [mm] -\bruch{d}{dx} [/mm] + c$.
Die adjungierte DGL ist also:
[mm] -g'(x) +c g(x) = 0 [/mm].
Bei der Fokker-Planck-Gleichung geht es im Prinzip genauso, bis auf zwei kleine Unterschiede:
1. Du hast in einem Term eine doppelte Ableitung, da musst du zweimal partiell integrieren, das gibt zwei Vorzeichenwechsel.
2. Bei der zeitlichen Ableitung benutzt du die Homogenität, um die Zeitvariable von x nach [mm] $x_0$ [/mm] rüberzuwälzen, das gibt dir durch die Ableitung noch einen Vorzeichenwechsel.
Deswegen hat in der adjungierten Gleichung nur der Term mit der einfachen räumlichen Ableitung ein anderes Vorzeichen.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:22 Sa 21.06.2008 | | Autor: | Daene111 |
Vielen Dank für deine Ausführliche Antwort!!!
DANKE
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