Beweis einer Gleichung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Funktion L: ]0, [mm] \infty[ \to \IR [/mm] sei definiert durch
L(x) := [mm] \integral_{1}^{x}{\bruch{1}{t} dt}.
[/mm]
Beweisen Sie lediglich mithilfe von Eigenschaften des Integrals (Additivität bezüglich des Intervalls, Substitutionsregel), dass
L(xy) = L(x) + L(y) für alle x, y > 0
gilt.
Tipp: L(x) := [mm] \integral_{1}^{xy}{\bruch{1}{t} dt} [/mm] = [mm] \integral_{1}^{x}{\bruch{1}{t} dt} [/mm] + [mm] \integral_{x}^{xy}{\bruch{1}{t} dt}. [/mm] |
Hi,
ich hätte eine Lösung für das Problem, allerdings lautet die
[mm] \integral_{1}^{x}{\bruch{1}{t} dt} [/mm] = ln x und ln x + ln y = ln xy.
Also glaube ich nicht, dass das eine zulässige Lösung für die Aufgabenstellung ist, da die Gleichung ja lediglich mit Integraleigenschaften bewiesen werden soll. Hat da jemand eine Idee?
Grüße,
Martin
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> Die Funktion L: ]0, [mm]\infty[ \to \IR[/mm] sei definiert durch
>
> L(x) := [mm]\integral_{1}^{x}{\bruch{1}{t} dt}.[/mm]
>
> Beweisen Sie lediglich mithilfe von Eigenschaften des
> Integrals (Additivität bezüglich des Intervalls,
> Substitutionsregel), dass
>
> L(xy) = L(x) + L(y) für alle x, y > 0
>
> gilt.
>
> Tipp: L(x) := [mm]\integral_{1}^{xy}{\bruch{1}{t} dt}[/mm] =
> [mm]\integral_{1}^{x}{\bruch{1}{t} dt}[/mm] +
> [mm]\integral_{x}^{xy}{\bruch{1}{t} dt}.[/mm]
> Hi,
> ich hätte eine Lösung für das Problem, allerdings lautet
> die
>
> [mm]\integral_{1}^{x}{\bruch{1}{t} dt}[/mm] = ln x und ln x + ln y =
> ln xy.
>
> Also glaube ich nicht, dass das eine zulässige Lösung für
> die Aufgabenstellung ist, da die Gleichung ja lediglich mit
> Integraleigenschaften bewiesen werden soll.
Hallo,
genau, mit dieser "Lösung" wirst du nicht landen können.
> Hat da jemand
> eine Idee?
Was hast Du denn versucht, hast Du den Tip verwertet? (Es muß dort wohl eher L(xy) heißen.)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:13 Sa 05.05.2007 | | Autor: | sancho1980 |
Das Problem ist auch: Ich verstehe nicht ganz was gemeint ist mit "Integraleigenschaften". Soll das heißen, ich soll den Integranden ganz außer Acht lassen? Das würde ja bedeuten, dass die Gleichung für alle Integranden wahr wäre, und da sagt mir mein gesunder Menschenverstand, dass die Gleichung nur deswegen wahr ist, weil der Integrand [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ist! Aber ich komm mit dem Tipp nicht weiter...
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> Die Funktion L: ]0, [mm]\infty[ \to \IR[/mm] sei definiert durch
>
> L(x) := [mm]\integral_{1}^{x}{\bruch{1}{t} dt}.[/mm]
>
> Beweisen Sie lediglich mithilfe von Eigenschaften des
> Integrals (Additivität bezüglich des Intervalls,
> Substitutionsregel), dass
>
> L(xy) = L(x) + L(y) für alle x, y > 0
>
> gilt.
>
> Tipp: L(xy) := [mm]\integral_{1}^{xy}{\bruch{1}{t} dt}[/mm] =
> [mm]\integral_{1}^{x}{\bruch{1}{t} dt}[/mm] +
> [mm]\integral_{x}^{xy}{\bruch{1}{t} dt}.[/mm]
Hallo,
in Deiner Mitteilung schreibst Du hierzu
> Das Problem ist auch: Ich verstehe nicht ganz was gemeint
> ist mit "Integraleigenschaften". Soll das heißen, ich soll
> den Integranden ganz außer Acht lassen?
Was damit gemeint ist, steht ziemlich genau in der Aufgabe:
> Eigenschaften des
> Integrals (Additivität bezüglich des Intervalls,
> Substitutionsregel),
Wenn Du dann noch den Tip einbaust, stolperst Du fast über die Lösung.
Da Du zeigen sollst L(xy) = L(x) + L(y) f.a.x,y>0,
würde ich versuchen zu zeigen, daß L(xy) - L(x) - L(y)=0 gilt.
Es ist
L(xy) - L(x) - [mm] L(y)=\integral_{1}^{xy}{\bruch{1}{t} dt} [/mm] - [mm] \integral_{1}^{x}{\bruch{1}{t} dt} [/mm] - [mm] \integral_{1}^{y}{\bruch{1}{t} dt}
[/mm]
Mit dem Tip erhalt man
...= [mm] \integral_{1}^{x}{\bruch{1}{t} dt} [/mm] + [mm] \integral_{x}^{xy}{\bruch{1}{t} dt} [/mm] - [mm] \integral_{1}^{x}{\bruch{1}{t} dt} [/mm] - [mm] \integral_{1}^{y}{\bruch{1}{t} dt}
[/mm]
Beim zweiten Integral führe nun eine Substitution durch mit [mm] T=\bruch{t}{x}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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> Mit dem Tip erhalt man
>
> ...= [mm]\integral_{1}^{x}{\bruch{1}{t} dt}[/mm] +
> [mm]\integral_{x}^{xy}{\bruch{1}{t} dt}[/mm] -
> [mm]\integral_{1}^{x}{\bruch{1}{t} dt}[/mm] -
> [mm]\integral_{1}^{y}{\bruch{1}{t} dt}[/mm]
>
>
> Beim zweiten Integral führe nun eine Substitution durch mit
> [mm]T=\bruch{t}{x}.[/mm]
>
> Gruß v. Angela
Also, ich hab das jetzt zwei Stunden lang versucht und geb auf. Du meinst, ich soll zeigen, dass [mm]\integral_{1}^{y}{\bruch{1}{t} dt} = \integral_{x}^{xy}{\bruch{1}{t} dt}[/mm], oder?
Die Idee hatte ich ganz am Anfang auch (ganz ehrlich), aber ich komm mit deinem Substitutionsvorschlag nicht klar; ich hab mir zwar angeschaut, wie Substitution funktioniert (http://www.mathe-online.at/mathint/int/i.html#LinTr), aber ich komm auf keinen grünen Zweig. Kannst du's mir bitte zeigen wie du's meinst?
Danke,
Martin
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> Also, ich hab das jetzt zwei Stunden lang versucht und geb
> auf. Du meinst, ich soll zeigen, dass
> [mm]\integral_{1}^{y}{\bruch{1}{t} dt} = \integral_{x}^{xy}{\bruch{1}{t} dt}[/mm],
> oder?
Wenn Du Substitution im Grunde verstanden hast, versuch Dich mal hierdran:
[mm] \integral_{3}^{3*5}{\bruch{1}{t} dt}
[/mm]
und substituiere mit t=3T.
Was mußt Du tun?
Als Kochrezept:
1. t durch 3T ersetzen.
2. dt ersetzen durch die Ableitung von 3T (nach T) multipliziert mit dT
3. die Grenzen anpassen. Es ist ja t=3T, d.h. [mm] T=\bruch{t}{3}.
[/mm]
Also mußt Du die alten Grenzen durch 3 teilen.
Versuch's mal.
Wenn's gleich gut klappt kannst Du das dann anschließen mit x und y machen. (Bedenke: x und y haben hier mit Deiner Integration nichts weiter zu tun. Du integrierst nach t. Bzgl des Integrationsvorganges sind x und y Konstanten. Die Grenzen eben. Wie 3 und 3*5.)
Gruß v, Angela
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Ok, dann zeig ich dir mal das konkrete Problem:
> Wenn Du Substitution im Grunde verstanden hast, versuch
> Dich mal hierdran:
>
> [mm]\integral_{3}^{3*5}{\bruch{1}{t} dt}[/mm]
>
> und substituiere mit t=3T.
>
> Was mußt Du tun?
>
> Als Kochrezept:
>
> 1. t durch 3T ersetzen.
> 2. dt ersetzen durch die Ableitung von 3T (nach T)
> multipliziert mit dT
> 3. die Grenzen anpassen. Es ist ja t=3T, d.h.
> [mm]T=\bruch{t}{3}.[/mm]
> Also mußt Du die alten Grenzen durch 3 teilen.
>
> Versuch's mal.
Gut:
[mm]=\integral_{1}^{5}{\bruch{1}{3T} 3dT} = \integral_{1}^{5}{\bruch{1}{3T} 3dT} = \integral_{1}^{5}{\bruch{1}{T} dT}[/mm]
Und jetzt? Wie ist denn das Integral von von [mm]\bruch{1}{T}[/mm]? [mm]\bruch{1}{T} = 1*T^-1[/mm] Also müsste es sein: [mm]a*T^0[/mm]. Aber welche Zahl [mm]a * 0 = 1[/mm]? (Ironie beabsichtigt) 
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> Gut:
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> [mm]=\integral_{1}^{5}{\bruch{1}{3T} 3dT} = \integral_{1}^{5}{\bruch{1}{3T} 3dT} = \integral_{1}^{5}{\bruch{1}{T} dT}[/mm]
Na also, das ist doch prima!
Und wenn Du das bei dem Integral mit Obergrenze xy genauso machst, bist Du am Ziel, versuch's mal.
Auszurechnen brauchst Du die Integrale dafür eigentlich gar nicht.
Aber weil's enorm bildend ist, beschäftigen wir uns doch mit dem Berechnen - wie gesagt, für die Aufgabe brauchst Du das gar nicht zu tun.
> Und jetzt? Wie ist denn das Integral von von [mm]\bruch{1}{T}[/mm]?
Dein Mathelehrer würde graue Haare kriegen...
> [mm]\bruch{1}{T} = 1*T^-1[/mm] Also müsste es sein: [mm]a*T^0[/mm].
So'n Quatsch! [mm] (\bruch{n+1}T^{n+1} [/mm] greift hier nicht. Wir düfen nicht durch Null teilen)
Merk es Dir auf immer und ewig
[mm] \integral{ \bruch{1}{x}dx}=ln [/mm] |x|
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:17 Sa 05.05.2007 | | Autor: | sancho1980 |
Oh, mir ist erst eben aufgefallen, dass ich die Grenzen verändert habe, und ich jetzt wieder bei [mm] \integral_{1}^{y} [/mm] angekommen bin, und da die Funktionen bis auf die Variablenbezeichnung ja identisch sind, folgt was zu beweisen war...war ich wohl ein bisschen betriebsblind
Danke
Martin
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