Dezimalzahl in Bruch umwandeln < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Welcher Bruch ergibt [mm] 0.3\overline{461538} [/mm] ? |
Meine Überlegung / Rehenweg ist dabei folgende:
[mm] 0.3\overline{461538} [/mm] = 0.3 + [mm] 0.0\overline{461538} [/mm] =
[mm] \bruch{3}{10} [/mm] + [mm] \bruch{461538}{9999990} [/mm] =
[mm] \bruch{2999997 + 461538}{9999990} [/mm] = [mm] \bruch{3461535}{9999990}
[/mm]
Nun muss man Zähler und Nenner in Primfaktoren zerlegen
[mm] \bruch{3*3*3*3*3*5*7*11*37}{2*3*3*3*5*7*11*13*37}
[/mm]
Und wenn man das kürzt, dann bleibt übrig
[mm] \bruch{3*3}{2*13} [/mm] = [mm] \bruch{9}{26}
[/mm]
1.Frage: Gibt es ein anderes (einfacheres) Verfahren ?
Im Gegensatz zur Aufgabe "Bruch in Dezimalzahl umwandeln" sind bei dieser Aufgabe die Schritte logischer nachvollziehbar und die einzelnen Komponenten werden in der Unterstufe durchgenommen.
2. Frage: Ab welcher Klassenstufe wäre eine solche Aufgabe wohl für Schüler geeignet?
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> Welcher Bruch ergibt [mm]0.3\overline{461538}[/mm] ?
> Meine Überlegung / Rehenweg ist dabei folgende:
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> [mm]0.3\overline{461538}[/mm] = 0.3 + [mm]0.0\overline{461538}[/mm] =
>
> [mm]\bruch{3}{10}[/mm] + [mm]\bruch{461538}{9999990}[/mm] =
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> [mm]\bruch{2999997 + 461538}{9999990}[/mm] =
> [mm]\bruch{3461535}{9999990}[/mm]
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> Nun muss man Zähler und Nenner in Primfaktoren zerlegen
>
> [mm]\bruch{3*3*3*3*3*5*7*11*37}{2*3*3*3*5*7*11*13*37}[/mm]
>
> Und wenn man das kürzt, dann bleibt übrig
>
> [mm]\bruch{3*3}{2*13}[/mm] = [mm]\bruch{9}{26}[/mm]
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> 1.Frage: Gibt es ein anderes (einfacheres) Verfahren ?
>
> Im Gegensatz zur Aufgabe "Bruch in Dezimalzahl umwandeln"
> sind bei dieser Aufgabe die Schritte logischer
> nachvollziehbar und die einzelnen Komponenten werden in der
> Unterstufe durchgenommen.
> 2. Frage: Ab welcher Klassenstufe wäre eine solche Aufgabe
> wohl für Schüler geeignet?
Hallo Ralph,
Zuerst: deine Lösung ist natürlich in Ordnung.
Der Lösungsweg könnte etwas anders gestaltet werden, wird aber nicht deutlich einfacher.
Beispielsweise:
x = 0.3461538...
1000000 x = 346153.8461538...
Differenz:
999999 x = 346153.5 [mm] \Rightarrow [/mm] x = 346153.5 / 999999 = 3461535 / 9999990
Das Kürzen kann man natürlich schrittweise machen, ohne gerade zuerst die vollständige Primzerlegung hinzuschreiben...
Für welche Schulstufe dies passt, hängt natürlich etwas davon ab, was vorher behandelt wurde. Aber ich denke mal (ohne Gewähr in Bezug auf die bei euch geltenden Lehrpläne), dass es im 9. Schuljahr sicher möglich sein sollte.
Mit vielen Grüssen auch an die Tochter oder den Sohn (?)...
R. Marti (Schweiz)
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Hallo Ralph,
Wie wäre es mit einer allgemeinen Formel für solche periodischen Dezimalzahlen? Um eine Solche herzuleiten, benötigt man zwar die geometrische Reihe aber wenn man die Formel erstmal hat, ist die Anwendung sehr einfach (wie ich gerade nach der Herleitung festgestellt habe).
Sei [mm]\alpha>0[/mm] die Periodenzahl. Und [mm]\operatorname{len}\alpha\ge 1[/mm] bezeichne die Anzahl der Ziffern der Periodenzahl. Sei [mm]\delta\ge\operatorname{len}\alpha[/mm] die Anzahl der Ziffern von ',' bis zu der Stelle, wo sich die Periodenzahl wiederholt. Dann können wir die periodische Dezimalzahl folgendermaßen darstellen:
[mm]\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{\alpha}{10^{\delta}\cdot{}\left(10^{\operatorname{len}\alpha}\right)^k}}=\frac{\alpha}{10^{\delta}}\cdot{}\frac{1}{1-\frac{1}{10^{\operatorname{len}\alpha}}}=\frac{\alpha}{10^{\delta}}\cdot{}\frac{10^{\operatorname{len}\alpha}}{10^{\operatorname{len}\alpha}-1}[/mm]
Z.B. ergibt sich mit [mm]\alpha:=461538[/mm] und [mm]\delta:=7[/mm]:
[mm]\frac{461538}{10^7}\cdot{}\frac{10^6}{10^6-1}=\frac{3}{65}[/mm]
oder setze [mm]\alpha:=3[/mm] und [mm]\delta:=1[/mm] für ein einfacheres Beispiel. 
Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:23 Do 17.04.2008 | | Autor: | rabilein1 |
> Z.B. ergibt sich mit [mm]\alpha:=461538[/mm] und [mm]\delta:=7[/mm]:
>
> [mm]\frac{461538}{10^7}\cdot{}\frac{10^6}{10^6-1}=\frac{3}{65}[/mm]
Das läuft quasi auf dasselbe raus. was ich hatte.
Zu den [mm] \bruch{3}{65} [/mm] musst du noch die [mm] 0.3=\bruch{3}{10} [/mm] addieren, dann ergibt das
[mm] \bruch{3}{65}+\bruch{3}{10} [/mm] = [mm] \bruch{6}{130}+\bruch{39}{130} [/mm] = [mm] \bruch{45}{130} [/mm] = [mm] \bruch{9}{26}
[/mm]
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