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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:28 Sa 12.04.2008 | | Autor: | xMariex |
| Aufgabe | Sei K ein Körper und sei [mm]A \in M (2x2,K)[/mm] die Kommutante A' von A ist der Untervektorraum von M(2x2, K), der aus den Matrizen besteht, die mit der Matrix A kommutieren:
[mm]A' \coloneqq \{B\in M(2x2, K)| A*B -B*A =0\}[/mm].
Zeigen Sie, dass die Kommutante der Matrix A, die kein Vielfaches der Einheitsmatrix ist, mindestens die Dimension 2 hat. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
N'Abend,
ich weiss nicht wie ich obrige Aufgabe beweisen soll also ich denke ich versteh sie, aber mir fehlt die Idee für einen Beweis.
Meine Einheitsmatrix:
[mm]E= \pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}[/mm]
Alle Vielfache der Einheitsmatrix:
[mm]V= \pmat{\alpha & 0 \\ 0 & \alpha}[/mm]
Als Beispiel ein nicht Vielfaches:
[mm]B= \pmat{2 & 0 \\ 3 & 2}[/mm]
An den Beispiel kann man ja sehen das B die Dimension 2 hat.
Das Beispiel verallgemeinert:
[mm]X= \pmat{x\alpha & 0 \\ x & x\alpha}[/mm]
Und X und V sind kommutativ (hat ja auch dim=2)
[mm]X*V= \pmat{x\alpha & 0 \\ x & x\alpha}*\pmat{\alpha & 0 \\ 0 & \alpha}= \pmat{x\alpha^2 & 0 \\ x\alpha & x\alpha^2}[/mm]
[mm]V*X= \pmat{\alpha & 0 \\ 0 & \alpha}*\pmat{x\alpha & 0 \\ x & x\alpha}= \pmat{x\alpha^2 & 0 \\ x\alpha & x\alpha^2}[/mm]
Joa, und jetzt weiss ich nicht weiter, weil das ist ja nur für dim=2, dann hab ich mir gedacht das man den Rest mit Induktion beweisen könnte, aber es gilt ja nicht für unendlich viele n, weil eine 2x2 Marix die kein Vielfaches der Einheitsmatrix ist hat ja höchstens die Dimension 3.
Außerdem ist das was ich gemacht hab ja auch nur ein Beispiel.
Grüße,
Marie
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> Sei K ein Körper und sei [mm]A \in M (2x2,K)[/mm] die Kommutante A'
> von A ist der Untervektorraum von M(2x2, K), der aus den
> Matrizen besteht, die mit der Matrix A kommutieren:
> [mm]A' [mm]\coloneqq \{B\in M(2x2, K)| A*B -B*A =0\}[/mm].[/mm]
Zeigen Sie, dass die Kommutante der Matrix A, die kein Vielfaches der Einheitsmatrix ist, mindestens die Dimension 2 hat.
Hallo,
ich bin mir nicht ganz sicher, daß Du die Aufgabe verstanden hast.
Vorgegeben ist hier eine 2x2-Matrix A, welche kein Vielfaches der Einheitsmatrix ist.
Betrachten sollst Du nun die Menge A', welche alle 2x2-Matrizen enthält, die man mit A vertauschen kann.
Es wird in der Aufgabe gesagt, daß diese Menge A' ein Unterraum der 2x2-Matrizen über K ist (das brauchst Du nicht zu zeigen).
Zeigen sollst Du nun, daß dieser Raum mindestens die Dimension 2 hat, das heißt, daß die Basis dieses Raumes A' aus mindestens zwei Matrizen besteht.
Ich hoffe, daß die Aufgabe etwas klarer geworden ist.
Nur noch kleine Bemerkungen zu dem, was Du schreibst:
> Als Beispiel ein nicht Vielfaches:
> [mm]B= \pmat{2 & 0 \\ 3 & 2}[/mm]
> An den Beispiel kann man ja sehen das B die Dimension 2 hat.
Nein. Denn Matrizen haben keine Dimension.
Dimensionen haben Vektorräume. Z.B. hat der Vektorraum der 2x2-Matrizen über [mm] \IR [/mm] eine Dimension, nämlich 4.
Die Matrix, die Du angibst, hat den Rang 2.
Zum Beweis: ich hab's noch nicht gerechnet, spontan würde ich sagen, daß man hier über die Eigenwerte der Matrix A herangehen kann.
Was kann passieren: zwei gleiche Eigenwerte, zwei verschiedene, keiner. dann anschauen, zu welcher Matrix A in diesen Fällen ähnlich sein kann.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:35 Di 15.04.2008 | | Autor: | fred97 |
Die Einheitsmatrix und A kommutieren mit A und sind im Vektorraum der 2x2- Matrizen linear unabhängig
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> Die Einheitsmatrix und A kommutieren mit A und sind im
> Vektorraum der 2x2- Matrizen linear unabhängig
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Danke für Deinen guten Hinweis.
Da wollte ich Marie dann doch wirklich übers Ziel hinausführen... So hat sie's bequemer.
Gruß v. Angela
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