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Hallo!
Wir haben ein Problem:
Kann uns bitte jemand die Summenformel erklären?
Alle Anläufe bis jetzt haben uns keine Erleuchtung gebracht.
Man hat uns immer nur die Formel
[mm] 1+2+3+...+n=\bruch{n(n+1)}{2}
[/mm]
gegeben, ohne hilfreiche Erklärungen.
Daher wünschen wir uns ein bisschen Hilfe, damit wir diesen Sachverhalt unseren Mitschülern erklären können.
Eure Mathekinda
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi,
Es gibt da noch eine andere Möglichkeit diese Formel herzuleiten. Betrache das Polynom [mm] $f\left(x\right) [/mm] = [mm] ax^2 [/mm] + bx + c$. Wir wollen die Koeffizienten dieses Polynoms a, b, c folgendermaßen bestimmen: Angenommen wir haben eine natürliche Zahl a. Addieren wir zu dieser Zahl gar nichts hinzu, so ist es dasselbe als ob wir zu dieser Zahl 0 dazuaddiert hätten. Deshalb hat man wohl festgelegt, daß [m]\sum\limits_{k = 0}^0 k : = 0[/m]. Wieviel ist 0+1? 0+1 = 1. Und wieviel ist 0+1+2? Das ist 3. Wir wollen nun, daß unsere Funktion diese Ergebnisse liefert und definieren ("legen fest"):
[m]\begin{gathered}
f\left( 0 \right): = 0 \hfill \\
f\left( 1 \right): = 1 \hfill \\
f\left( 2 \right): = 3 \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Damit erhalten wir folgendes Gleichungssystem:
[m]\begin{gathered}
c = 0 \hfill \\
a + b + c = 1 \hfill \\
4a + 2b + c = 3 \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Daraus bestimmen wir nun a und b:
[m]\begin{gathered}
a + b = 1 \Leftrightarrow \left( {\text{I}} \right)\;a = 1 - b\mathop = \limits^{\left( {{\text{II}}} \right)} 1 - \frac{1}
{2} = \frac{1}
{2} \hfill \\
4a + 2b = 3\mathop \Rightarrow \limits^{\left( {\text{I}} \right)} 4\left( {1 - b} \right) + 2b = 4 - 4b + 2b = 4 - 2b = 3 \hfill \\
\Leftrightarrow - 2b = - 1 \Leftrightarrow \left( {{\text{II}}} \right)\;b = \frac{1}
{2} \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Damit: [m]f\left( x \right) = \frac{{x^2 }}
{2} + \frac{x}
{2} = \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}
{2}[/m].
Mit vollständiger Induktion zeigt man, daß diese Interpolationsfunktion sogar exakt ist, für alle $x [mm] \ge [/mm] 0$.
Genauso kann man auch Formeln für die Kubikzahlen, 4er-Potenz-Zahlen, 5er-Potenz-Zahlen u.s.w. herleiten. Dafür interpoliert man einfach mit höheren Polynomen:
[m]\begin{gathered}
f\left( x \right): = ax^3 + bx^2 + cx + d{\quad\textcolor{blue}{\text{/\* Quadratzahlen \*/}}} \hfill \\
f\left( x \right): = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e{\quad\textcolor{blue}{\text{/\* Kubikzahlen \*/}}} \hfill \\
\vdots \hfill \\
{\text{u}}{\text{.s}}{\text{.w}}{\text{.}} \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Für jedes höhere Polynom benötigt man dann allerdings jeweils eine Bedingung mehr, um die Koeffizienten rauszukriegen. Dazu betrachtet man halt mehr solche einfachen Additionen. Für die Kubikzahlen betrachtet man z.B. die Additionen von vorhin und dazu noch 0+1+2+3 = 6. u.s.w.
Viele Grüße
Karl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:36 So 13.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo mathekinda!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Die, meiner Meinung nach, schönste Herleitung dieser Formel geht wie folgt:
Wir setzen für $n [mm] \in \IN$:
[/mm]
[mm]s:=s_n:=1+2+...+n=\sum_{k=1}^n k[/mm]
Dann gilt:
(I) [mm] $\red{1}\;+\;\;\;\;\;\blue{2}\;\;\;\;\;+\;\;\;\;\;\green{3}\;\;\;\;\;+\;...\;+\;n=s$
[/mm]
(II) [mm] $\red{n}\;+\blue{(n-1)}+\green{(n-2)}+\;...\;+\;1=s$
[/mm]
Addition von (I) und (II) liefert:
[m]\underbrace{\underbrace{\red{(1+n)}}_{=(n+1)}+\underbrace{\blue{(2+(n-1))}}_{=(n+1)}+\underbrace{\green{(3+(n-2))}}_{=n+1}+...+(n+1)}_{n\;Summanden}=2s[/m]
[mm] $\gdw$
[/mm]
$n*(n+1)=2s$
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $(s_n=)\;\;s=\frac{n}{2}*(n+1)$
[/mm]
Liebe Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:29 Do 17.02.2005 | | Autor: | mathekinda |
danke für alle antworten, endlich haben wir erklärungen, die wir selbst verstehen und das wichtigste selbst erklären können.
also riesen dankeschön an euch !!!!!
eins der mathekinda
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Summenformel