Folgen und Grenzwert < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Bei folgender Frage komme ich nicht weiter, habe nicht mal den Hauch einer Ahnung wie das gehen könnte!
Aufgabe:
Die Glieder der Folge ( [mm] a_{n}) [/mm] seien alle positiv. Ferner existiert der Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{ a_{n+1}}{ a_{n}}=q
[/mm]
Man zeige, dass auch [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{ a_{n}} [/mm] = q existiert und benutze diesen Sachverhalt, um
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{ \vektor{2n \\ n}}
[/mm]
zu berechnen.
Wer hat da nen Ansatz für mich?
Danke schon mal im Voraus!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:46 Mi 17.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
Also, ein Ansatz könnte so aussehen:
Wähle $n_0 \in \IN$ so, dass für alle $n \in \IN$, $n \ge n_0$, folgendes gilt:
$\left\vert \frac{a_{n+1}}{a_n} - 1\right\vert < \varepsilon$.
Dann gilt für alle $n \ge n_0$:
$\left \vert a_n^{\frac{1}{n}} - q \right\vert$
$= \left\vert \left( \frac{a_n}{a_{n-1}} \cdot \frac{a_{n-1}}{a_{n-2}} \cdot \ldots \cdot \frac{a_{n_0+1}}{a_{n_0}} \cdot a_{n_0} \right)^{\frac{1}{n}} - q \right\vert$
$\le \left\vert \left( (q + \varepsilon)^{n-n_0} \cdot a_{n_0} \right)^{\frac{1}{n}} - q \right\vert$
$= \left\vert \left( \frac{a_{n_0}}{(q + \varepsilon)^{n_0}} \right)^{\frac{1}{n}} \cdot (q + \varepsilon) - q \right\vert$.
Wegen
$\left( \frac{a_{n_0}}{(q + \varepsilon)^{n_0}} \right)^{\frac{1}{n}} \to 1$ $(n \to \infty)$
ist jetzt nur noch ein bisschen Epsilontik notwendig... 
Liebe Grüße
Stefan
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