Frage zu Folgen und Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:45 Mi 09.11.2005 | | Autor: | Commotus |
Guten Abend,
ich habe ein paar Fragen zu folgenden Aufgaben:
1.) Zeigen oder widerlegen Sie, dass es sich bei den hier angegebenen Folgen um Nullfolgen handelt:
[mm] (a_n)= \bruch{1}{2n+3}
[/mm]
[mm] (b_n)= \bruch{(-1)^n}{\wurzel{n}}
[/mm]
...
Reicht es, wenn ich mit den Grenzwertsätzen (sprich Limites) auf die Folgen "losgehe" und überprüfe, ob sie gegen 0 konvergieren?
Wie gehe ich bei der zweiten Folge vor. Dort kann ich nicht einfach durch die höchste Potenz von n teilen und somit den Grenzwert bestimmen. Was muss ich dort machen?
2.) Berechnen Sie die ersten fünf Folgeglieder der angegebenen Folgen:
[mm] \summe_{k=0}^{ \infty} [/mm] k! +2k
Ist das erste Folgenglied somit 1, das zweite 3, das dritte 6 usw.?
3.) Schreiben Sie die hier angegebenen Folgen als Reihen und versuchen Sie die Ausdrücke zu vereinfachen:
[mm] (a_n)=n²/2 [/mm] - n
[mm] (b_n)=(-1)^n [/mm] + n
Wie genau muss ich hier vorgehen? Wäre nett, wenn mir jemand anhand des ersten Beispiels das mathematisch korrekte Schema erläutern könnte.
Grüße,
Commotus
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:56 Mi 09.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Commotus!
> 1.) Zeigen oder widerlegen Sie, dass es sich bei den hier
> angegebenen Folgen um Nullfolgen handelt:
> Reicht es, wenn ich mit den Grenzwertsätzen (sprich
> Limites) auf die Folgen "losgehe" und überprüfe, ob sie
> gegen 0 konvergieren?
Das kommt auf die Aufgabenstellung an, wie genau der Weg vorgeschrieben ist.
Aber wenn Ihr bereits mit den Grenzwertsätzen gearbeitet habt ... nur zu!
> Wie gehe ich bei der zweiten Folge vor. Dort kann ich
> nicht einfach durch die höchste Potenz von n teilen und
> somit den Grenzwert bestimmen. Was muss ich dort machen?
Zerlege diese Folge doch in die beiden Teilfolgen [mm] $b_{2n}$ [/mm] und [mm] $b_{2n+1}$ [/mm] und ermittle die beiden Grenzwerte. Was heißt das dann für den Gesamtgrenzwert?
> 2.) Berechnen Sie die ersten fünf Folgeglieder der
> angegebenen Folgen:
> [mm]\summe_{k=0}^{ \infty}[/mm] k! +2k
>
> Ist das erste Folgenglied somit 1, das zweite 3, das dritte
> 6 usw.?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Genau ...
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Mi 09.11.2005 | | Autor: | Commotus |
Wie genau zerlege ich denn die zweite Folge in die von dir besagten Teilfolgen? Was genau muss ich dort machen?
Da ich aber doch nicht weiß, ob es sich bei den Folgen um konvergente Folgen handelt, darf ich doch nicht einfach die Limites benutzen, oder?
Die dritte Teilaufgabe dieser Nummer ist nämlich
[mm] (c_n) [/mm] = n²/(n+2) und diese Folge konvergiert ja offensichtlich nicht. Muss ich daher nicht die Definition der Konvergenz anwenden, um überhaupt zu gucken, ob es sich um konvergente Folgen handelt?
Nochmals zur Aufgabe mit dem Berechnen der ersten fünf Folgeglieder. Müssen die im ersten Fall nicht (1,4,10,22,54...) sein? Ich muss ja für das zweite Glied die SUMME bilden von k=0 bis 1, sodass sich 4 als zweites Glied für die Folge [mm] s_n [/mm] ergibt! Stimmt dies?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:11 Mi 09.11.2005 | | Autor: | Infinit |
Hallo Commotus,
bei der alternierenden Folge langt es, sich zu überlegen, dass $ [mm] (-1)^{n}$ [/mm] nur die Werte -1 oder 1 annehmen kann. Der Zähler hängt also nicht von n ab und der Nenner wächst monoton mit n. Damit ist die Folge zwar nicht monoton, aber trotzdem konvergent.
Zur Beantwortung Deiner Frage über die dritte Folge langt es, n aus Zähler und Nenner auszuklammern in der Form
$ [mm] \bruch{n}{n} \cdot \bruch{n}{1+\bruch{2}{n}} [/mm] $. Bei der Limes-Betrachtung der beiden Multiplikatoren konvergiert der erste Multiplikator gegen 1, der zweite wächst über alle Maßen, ist also divergent. Damit ist der Gesamtausdruck divergent. Jede konvergente Folge ist beschränkt und hieraus ergibt sich, dass eine Folge, die nicht beschränkt ist, nicht konvergent sein kann.
Bei Deinem letzten Beispiel hast Du recht, Loddar hat bei seiner Antwort übersehen, dass jedes Folgeglied aus mehreren Summanden besteht.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:17 Do 10.11.2005 | | Autor: | Commotus |
Wenn die Folge divergiert (, was ja offensichtlich ist,) darf ich doch aber nicht die Grenzwertsätze für konvergente (!) Folgen anwenden, um zu zeigen, dass die Folge divergiert, oder? Wie beweise ich dann, dass sie divergiert bzw. keine Nullfolge ist, die gegen 0 konvergiert?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:54 Do 10.11.2005 | | Autor: | Infinit |
Hallo Commotus,
Deine Frage und ein Überdenken miner Antwort von gestern zeigen mir, dass ich da zu kompliziert gedacht habe. Wenn Du Deine divergente Folge durch Umschreiben änderst in
$ [mm] \bruch{n}{1+\bruch{2}{n}} [/mm] $
und dann die Limes-Berechnung durchführst, wird der Wert über alle Grenzen wachsen und damit ist die Folge divergent.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:01 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Zunächst einmal: Die Divergenz der Folge [mm] $\left( \frac{n^2}{n+2} \right)_{n \in \IN}$ [/mm] zeigst du dadurch, dass sie nicht beschränkt ist. Unter dem Wissen, dass jede konvergente Folge beschränkt ist, folgt dann deren Divergenz. Nehmen wir einmal an wir hätten eine obere Schranke $K$ gefunden. Dann... (Und jetzt musst du $n$ so groß wählen, dass [mm] $\frac{n^2}{n+2} [/mm] > K$ gilt, dann hast du den gewünschten Widerspruch...)
Zur letzten Aufgabe:
Man kann es über die Beziehung
[mm] $a_n [/mm] = [mm] a_1 [/mm] + [mm] \sum\limits_{i=1}^{n-1} (a_{i+1} [/mm] - [mm] a_{i})$
[/mm]
machen, aber auch direkt:
[mm] $a_n [/mm] = [mm] \frac{n^2}{2} [/mm] - n = [mm] \frac{n(n-1)}{2} [/mm] - [mm] \frac{n}{2} [/mm] = [mm] \sum\limits_{i=0}^{n-1} \left(i - \frac{1}{2} \right)$.
[/mm]
Ich hoffe mal das war auch so gemeint... 
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
|
