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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:08 So 24.09.2006 | | Autor: | Vaio |
| Aufgabe | Für t [mm] \in \IR [/mm] ist eine Funktion ft gegeben durch
ft(x) = [mm] \bruch{16(x-t)}{(x-1)²};x \in [/mm] D
Ihr Shcaubild sei Kt.
Bestimmen sie den maximalen Definitionsbereich D, skizzieren sie drei Kurven der Schar und geben sie die Eigenschaften der Kurven der Schar in Abhängigkeit von t an. Prüfen sie, ob diejenigen Punkte auf K1, die vom punkt P (1|0) minimalen Abstand haben, auf der 1. Winkelhalbierenden liegen.
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Ich habe es versucht und versucht, aber diese Aufgabe will mir einfach nicht gelingen. Daher bitte ich sie um eine Art Musterlösung, das würde mir sehr helfen.
Danken schoneinmal im Vorraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:38 So 24.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Die Funktion ist nicht definiert, wenn im Nenner des Bruches 0 rauskommt.
(x-1)²=0
x-1=0
x=1
Für x=1 ist die Funktion also nicht definiert.
[mm] D=\IR \{1}
[/mm]
Dann 3 Kurven skizzieren: Du nimmst für t einfach 3 Werte, egal welche.
z.B. t=0, t=1, t=2 und für diese Werte zeichnest du die Funktion mit einer Wertetabelle am besten.
Für t=0 wäre die Funktion z.B.
[mm] f_{0}(x)=\bruch{16(x-0)}{(x-1)²}=\bruch{16x)}{(x-1)²}
[/mm]
Dann musst du die 3 Kurven vergleichen und schauen, was anders ist. z.B. ob die Extrempunkte immer weiter nach "oben" oder "rechts" etc. rutschen.
Danach sollst du [mm] K_{1} [/mm] zeichnen, wenn du das nicht schon gemacht hast
(das heißt auch einfach nur, dass du für t 1 einsetzen sollst und zeichnen sollst).
Um zu sagen, ob die Punkte, die Minimalen Abstand zu P(1|0) haben, auf der 1. Winkelhalbierenden (y=x) liegen, muss man erstmal gucken wod er Abstand zum Punkt P minimal wird.
Der Abstand zum Punkt P lässt sich so berechnen:
(x-1)²+y²=d² (Pythagoras)
x ist x-Koordinate eines beliebigen Punktes auf [mm] K_{1}. [/mm] Und der Abstand von x und 1 ist ja x-1. Und y ist die andere Kathete, wenn man sich das als rechtwinkliges Dreieck vorstellt!
Aber y kann man ja auch als [mm] \bruch{16(x-1)}{(x-1)²} [/mm] schreiben!
Oder vereinfacht als [mm] \bruch{16}{x-1}.
[/mm]
Also ist der Abstand von einem beliebigen Punkt Q auf dem Grafen von [mm] K_{1} [/mm] zu P:
[mm] d(x)=\wurzel{(x-1)²+(\bruch{16}{x-1})²}
[/mm]
Das müsstest du ableiten und 0 setzen um die Extremstellen herauszufinden. Aber das sich das mit der Wurzel shclecht machen lässt, darfst du diese Funktion quadrieren und dann ableiten!
Dadurch bleiben Extrempunkte erhalten, obwohl Tiefpunkte z.B. in Hochpunkte umgewandelt werden können oder umgekehrt!
Aber bei dieser Funktion ist dies nicht der Fall, da sie immer positiv ist.
Also leitest du nun [mm] d(x)=(x-1)²+(\bruch{16}{x-1})² [/mm] ab, setzt die Ableitung 0, und erhälst 2 Extremstellen.
An diesen 2 Extremstellen is also der Abstand von Q und P extrem. Nun müsstest du d''(x) bilden um zu schauen, ob es sich um Tiefpunkte handelt!
(das ist aber hier der Fall).
Und du bist schon fast fertig :) Du setzt nun deine gefundere Werte in
[mm] f_{1}(x)=\bruch{16}{x-1} [/mm] ein und guckst, ob der y-Wert der gleiche wie der eingesetze x-Wert ist. Denn sonst würden diese Punkte nicht auf der Gerade y=x liegen.
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