Grenzwert < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 Mi 16.08.2006 | | Autor: | fisch000 |
| Aufgabe | | [mm] \limes_{x,y\rightarrow\ 0,0} \bruch{sin(xy)}{\wurzel{x^2+y^2}} [/mm] |
Hi Leute,
ich werde irgendwie aus meinen Unterlagen nicht schlau wie man sowas löst. Hätte einer von euch vllt. paar Ratschläge wie man solche Aufgaben löst ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:59 Mi 16.08.2006 | | Autor: | Palin |
Das Problem läst sich mit der Regel von L'Hospital lösen:
http://de.wikipedia.org/wiki/L'Hospital
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Mi 16.08.2006 | | Autor: | fisch000 |
Die idee hatte ich auch schon aber hab nicht gewusst das man l´hopital auch bei mehreren Variablen benutzen kann. Wenn ich das hier durchführe muss ich ja partiell ableiten nach x und y. Aber was dann ? Hab ich dann 2 Gleichungen, also auch 2 Grenzwerte, jeweils nach x und y oder funktioniert das ganz anders ?
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Moin
Also in deinem Beispiel kannst du dem aus dem Weg gehen, indem du Polarkoordinaten verwendest:
[mm]
\vektor{x \\ y} = \vektor{r*\cos \phi \\ r*\sin \phi}
[/mm]
Damit geht dein Beispiel über in (unter Verwendung der Doppelwinkelformel)
[mm]
\limes_{r\rightarrow 0}\bruch{\sin (\bruch{1}{2}r^2 \sin 2\phi)}{r}
[/mm]
Mit de l'Hospital geht's dann schnell.
Gruss
EvenSteven
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Mi 16.08.2006 | | Autor: | fisch000 |
Danke für deine Hilfe,
aber gibts da evtl noch ne andere Möglichkeit sowas zu lösen, also ohne diese Polarkoordinaten ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Mi 16.08.2006 | | Autor: | Palin |
Mh ich muss sagen das folgende Antwor rein intuitiv ist, aber wenn ich mir die Funktion Bildlichprobiere vorzustellen siht sie wohl nährungsweise wie ein Steinwurf ins Wasser aus.
Und da x und y gg 0 ist x ungefähr gleich y
also
[mm] sin(x^2)/wurzel(2x^2)
[/mm]
damit hätten wir nurnoch eine "Unbekante", Mathematisch ist es sicher nicht korekt aber könnte funktioniern.
Würd mich jetzt überigens auch interessiren ob es funktioniert.
Also wenn jemand helfan kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:47 Do 17.08.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo Palin,
ich halte Deinen Gedanken für sehr gut, und kann mir kaum denken, was daran mathematisch unkorrekt sein sollte.
Der Grenzwert muss ja wohl der gleiche bleiben, unabhängig davon, wie "schnell" x und y jeweils gegen null gehen. Also müsste man m.E. auch vereinfachend den Grenzwert untersuchen können für den Fall, dass beide gleich schnell gegen null laufen.
Nachtrag: Meine erste Überlegung ist freilich nicht ganz korrekt. Geometrisch betrachtet, untersucht man damit nur den Verlauf des Graphen über der x-y-Winkelhalbierenden. Wenn man sich aus anderen Richtungen der z-Achse nähert, kann der Graph natürlich einem ganz anderen Wert zustreben.
Dieses Vorgehen kann also nur einen Hinweis auf einen möglichen Grenzwert geben, dessen Allgemeingültigkeit dann noch anderweitig untersucht werden müsste. Siehe auch Leopold_Gasts Beitrag.
Schöne Grüße,
ardik
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:13 Do 17.08.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo fisch
0 [mm] \le|sin(xy)|\le [/mm] xy ; [mm] x^{2}+y^{2}\ge [/mm] 2xy; daraus:
0 [mm] \le |sin(xy)/\wurzel{x^{2}+y^{2}}\le \wurzel{xy/2} [/mm] rechte Seite gegen 0 für x,y gegen 0.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:54 Do 17.08.2006 | | Autor: | Palin |
Mh ich glaub die Antwort ist nicht ganz korekt
da lim = sin(x)/x => cos(x)/1 (L`H.) => 1
Bin mir jetzt aber fur die Funktion nicht wirklich sicher ich schau Morgen nochmal rein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Do 17.08.2006 | | Autor: | fisch000 |
Erstmal vielen Dank für eure Bemühungen. Dieses Thema scheint wohl komplizierter zu sein als man denkt und ich hoffe das ich mit den gegebenen Vorschlägen was anfangen kann. Aber falls jemand noch andere Tips geben kann wäre ich sehr erfreut darüber. Am besten welche auf Laienniveau.
MfG fisch
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 17:29 Do 17.08.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo Fisch,
vielleicht kann man das aufspalten in
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0}\left(\limes_{y\rightarrow 0}\left(...\right)\right)$
[/mm]
testweise müsste dieser Grenzwert dann auch gleich
[mm] $\limes_{y\rightarrow 0}\left(\limes_{x\rightarrow 0}\left(...\right)\right)$
[/mm]
sein.
Wenn ich mir das ganze als dreidimensionale Funktion $z = f(x,y) = [mm] \bruch{sin(xy)}{\wurzel{x^2+y^2}}$ [/mm] vorstelle, denke ich, diese Vorgehensweise ist legitim... (aber sicher bin ich mir jetzt nicht)
Aber Palins zweiter Vorschlag (siehe hier) erscheint mir auch sehr gut.
Schöne Grüße,
ardik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:35 Do 17.08.2006 | | Autor: | Herby |
Hi Ardik,
mit y gegen Null im Zähler ist der ganze Bruch futsch, wo willst du dann noch x gegen irgendwas laufen lassen.
Ich glaub das wird nix - nur ne Vermutung
lg
Herby
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[mm]\lim_{(x,y) \to (0,0)} \left( \ldots \right)[/mm] und [mm]\lim_{x \to 0} \left( \lim_{y \to 0} \left( \ldots \right) \right)[/mm] sind im allgemeinen nicht dasselbe. Bekanntes Beispiel:
[mm]\lim_{x \to 0} \left( \lim_{y \to 0} \frac{xy}{x^2 + y^2} \right) = 0[/mm]
Auf der anderen Seite nimmt [mm]\frac{xy}{x^2 + y^2}[/mm] in jeder noch so kleinen Umgebung von [mm](0,0)[/mm] den Wert [mm]\frac{1}{2}[/mm] an. Man setze dazu [mm]y=x[/mm]. Somit existiert
[mm]\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy}{x^2 + y^2}[/mm]
gar nicht.
Wenn man nun
[mm]\frac{\sin{(xy)}}{\sqrt{x^2 + y^2}}[/mm] für [mm](x,y) \to (0,0)[/mm]
untersuchen will, kann man zunächst spezialisieren, z.B. [mm]y = x[/mm], um eine Vermutung über den Grenzwert zu bekommen. Es gilt dann
[mm]\frac{\sin{(x^2)}}{\sqrt{x^2 + x^2}} = \frac{\sin{(x^2)}}{\sqrt{2} \, |x|} \to 0[/mm] für [mm]x \to 0[/mm]
Letzteres kann man z.B. leicht mit einer Potenzreihenentwicklung sehen. Das heißt natürlich jetzt nicht, daß der gesuchte Grenzwert existiert, es heißt nur, daß er, wenn er existiert, den Wert 0 haben muß. Und mit diesem Verdacht kann man jetzt einen allgemeinen Beweis versuchen. Wie das geht, hat leduart gezeigt. Ich finde nur, daß in seinem Beweis an ein paar Stellen Betragsstriche fehlen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:15 Fr 18.08.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Leopold
Mit den Betragsstrichen hast du natürlich recht! (Aber man soll den Fragern ja auch noch was zum Denken übrig lassen  )
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:38 Fr 18.08.2006 | | Autor: | fisch000 |
Vielen Dank für eure rege Anteilnahme an der Diskussion. Jetzt ist mir einiges klar geworden. Schönen Tag noch.
MfG fisch
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