Komplexe Zahlen angeben < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 01:08 Fr 13.05.2011 | | Autor: | sonja2001 |
hallo, ich kämpfe mich gerade noch durch ein paar mathe aufgaben und muss komplexe zahlen angebe, die flg. gleichungen erfüllen:
a) [mm] z^6=1
[/mm]
b) [mm] z^4=-1
[/mm]
c) [mm] z^3=i∙8= [/mm] ∛8 (is das so richtig?)
d) [mm] z^4=1/2(-1+i∙√3)
[/mm]
wie gehe ich hier vor?
[mm] z^n=r^n(cos....)
[/mm]
muss ich dies nehmen oder gibt es einen einfache weg?
danke für ein paar denkanstösse oder die lösungen.
lg sonja
p.s.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Sagt dir die Moivre-Formel zur Berechnung von komplexen Wurzeln etwas?
[mm] \wurzel[n]{z} \ = \ \wurzel[n]{r}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)+i\cdot{}\sin\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)\right]\quad \text{mit}\quad k \ = \ 0 \ ... \ (n-1) [/mm]
[mm]r[/mm] ist hierbei der Betrag der Komplexen Zahl von der du die Wurzel ziehen willst und [mm]\varphi[/mm] der Winkel/das Argument. Du musst bei komplexen Zahlen bedenken, dass es für jede komplexe Zahl n verschiedene n-te Wurzeln gibt. Daher musst du [mm]k[/mm] von 0 bis [mm](n-1)[/mm] laufen lassen in der Formel.
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verstehe leider noch nicht, wie ich mit dieser formel zu der gesuchten lösung komme. kannst du dies vielleicht an aufgabe 2 erläutern? dann kann ich versuchen die anderen selbst zu lösen.
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> verstehe leider noch nicht, wie ich mit dieser formel zu
> der gesuchten lösung komme. kannst du dies vielleicht an
> aufgabe 2 erläutern? dann kann ich versuchen die anderen
> selbst zu lösen.
hallo,
schau mal hier, dort ist auch ein beispiel gegeben!
gruß tee
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hallo tee
danke für die info.
habe die beiden oberen aufgaben mal versucht zu lösen.
bei nr.3) [mm] z^3=i*8 [/mm] habe ich noch ein paar fragen, habe ich es richtig gelöst?
[mm] z^3=∛8 [/mm] (cos ( π/2+2kπ)/3+i∙sin ( π/2+2kπ)/3)=∛8 (cos π/6+2kπ/3 i∙sin π/6 +2kπ/3) für k=0,1…
z0= ∛8 (1/2 √3+i∙1/2)=√3+i
z1= ∛8 (-1/2 √3+i∙1/2)=-√3+i
z2= i∙(-2)
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Hallo,
ich habe etwas Mühe, deinen Rechenweg nachzuvollziehen, aber wenn das die Lösungen für
[mm]z^3=8*i[/mm]
sein sollen (oben fehlt wohl ein i), so sind sie allesamt richtig. 
Gruß, Diophant
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is dies nun auch richtig?
[mm] z^4=1/2(-1+i∙√3)
[/mm]
zk= cos(-π/12+kπ/2)+i∙sin(-π/12+kπ/2)
z0=0.966−i ∙0.259
z1=0.259+i ∙0.966
z2= -0.966+i∙0.259
z3= -0.259-i∙0.966
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Hallo,
> richtig?
> [mm] $z^{4}=\frac{1}{2}(-1+3i)$
[/mm]
Nein
> [mm] $z^{4}=\frac{1}{2(-1+3i)}$ [/mm]
Nein
Rechne nochmals den Winkel nach und schreib wie du ihn angepasst hast!
Gruss
kushkush
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:02 So 15.05.2011 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> > richtig?
>
> > [mm]z^{4}=\frac{1}{2}(-1+3i)[/mm]
>
> Nein
>
>
> > [mm]z^{4}=\frac{1}{2(-1+3i)}[/mm]
>
> Nein
>
>
> Rechne nochmals den Winkel nach und schreib wie du ihn
> angepasst hast!
>
>
>
> Gruss
> kushkush
Hallo,
Quelle für Missverständnisse ist die Formelschreibweise.
Im Ausdruck z ^ 4 = 1/2(-1+i∙√3) aus dem ersten Post
wird das Wurzelzeichen hier nicht angezeigt.
Es geht um die Gleichung [mm] z^4 [/mm] = [mm] 1/2(-1+i∙\wurzel{3}) [/mm] .
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:21 So 15.05.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo
> Missverständnis
> richtig?
>$ [mm] z^{4}=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{3}i)$
[/mm]
Nein
> [mm] $z^{4}=\frac{1}{2(-1+\sqrt{3}i)}$
[/mm]
Nein
Berechne den Winkel nochmal und schreibe wie du ihn angepasst hast!
Gruss
kushkush
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is das so richtig?
[mm] z^4=1/2(-1+i∙√3)
[/mm]
zk= cos(-π/12+kπ/2)+i∙sin(-π/12+kπ/2)
z0=0.966−i ∙0.259
z1=0.259+i ∙0.966
z2= -0.966+i∙0.259
z3= -0.259-i∙0.966
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:28 So 15.05.2011 | | Autor: | sonja2001 |
flasch reinkopiert - sorry, kann man den text nicht löschen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:30 So 15.05.2011 | | Autor: | abakus |
> is das so richtig?
>
> [mm]z^4=1/2(-1+i∙√3)[/mm]
> zk= cos(-π/12+kπ/2)+i∙sin(-π/12+kπ/2)
> z0=0.966−i ∙0.259
> z1=0.259+i ∙0.966
> z2= -0.966+i∙0.259
> z3= -0.259-i∙0.966
Deine Wurzel ist nicht lesbar. Schreibe \ wurzel { 3 } .
[mm] cos\phi [/mm] =-1/2 und [mm] sin\phi [/mm] = [mm] \wurzel{3}/2 [/mm] gilt für 120° (auch 480°, 840°, 1200°).
Ein Viertel davon ist 30° (120°, 210°, 300°).
Es gilt damit z.B. [mm] z_0=\bruch{\wurzel{3}}{2}+0,5i
[/mm]
Gruß Abakus
>
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> hallo, ich kämpfe mich gerade noch durch ein paar mathe
> aufgaben und muss komplexe zahlen angebe, die flg.
> gleichungen erfüllen:
> a) [mm]z^6=1[/mm]
> b) [mm]z^4=-1[/mm]
> c) [mm]z^3=i∙8=[/mm] ∛8 (is das so richtig?)
> d) [mm]z^4=1/2(-1+i∙√3)[/mm]
>
> wie gehe ich hier vor?
> [mm]z^n=r^n(cos....)[/mm]
> muss ich dies nehmen oder gibt es einen einfache weg?
>
> danke für ein paar denkanstösse oder die lösungen.
>
> lg sonja
Hallo Sonja,
um dir das Leben etwas einfacher zu machen: es geht
natürlich schon um die Moivresche Formel. Deren An-
wendung kann man aber auch leichter gestalten, wenn
man z.B. mit Winkeln in Grad rechnet. Nehmen wir
das Beispiel c) mit [mm] z^3=8\,i [/mm] . Der Betrag von [mm] z^3 [/mm] ist
hier offensichtlich gleich 8 und der Polarwinkel 90°
(von der positiven reellen Achse bis zur positiven
imaginären Achse). Nun haben alle drei möglichen
Lösungen ("Wurzeln") [mm] z_i [/mm] den gleichen Betrag [mm] |z_i|=\wurzel[3]{8}=2 [/mm] .
Alle 3 Lösungspunkte liegen also auf dem Kreis um
den Nullpunkt mit dem Radius 2. Ferner sind sie
auf diesem Kreis regelmäßig verteilt. Im vorliegenden
Beispiel bilden sie also die Ecken eines gleichseitigen
Dreiecks bzw. die Spitzen eines "Mercedes-Sterns".
Der Winkel zwischen zwei benachbarten Strahlen
dieses Sterns beträgt 360°/3=120°.
Um die Lage des ersten Strahls zu bestimmen, teilt
man den Polarwinkel von [mm] z^3 [/mm] durch 3, also 90°/3=30°.
Damit werden die Polarwinkel der drei Lösungen der
reihe nach [mm] \varphi_1=30^{\circ} [/mm] , [mm] \varphi_2=30^{\circ}+120^{\circ}=150^{\circ},
[/mm]
[mm] \varphi_3=150^{\circ}+120^{\circ}=270^{\circ}. [/mm] Die drei "Wurzeln" sind also:
$\ [mm] z_1\ [/mm] =\ [mm] 2*\left(cos(30^{\circ})+i*sin(30^{\circ}\right)\ [/mm] =\ [mm] \sqrt{3}+i$
[/mm]
$\ [mm] z_2\ [/mm] =\ [mm] 2*\left(cos(150^{\circ})+i*sin(150^{\circ}\right)\ [/mm] =\ [mm] -\sqrt{3}+i$
[/mm]
$\ [mm] z_3\ [/mm] =\ [mm] 2*\left(cos(270^{\circ})+i*sin(270^{\circ}\right)\ [/mm] =\ [mm] \-2\,i$
[/mm]
LG Al-Chw.
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danke al-chw.
für [mm] z^4=-1/2 [/mm] + i(1/2 sqrt(3)
is dann z(k) = cos(30°+k*90°)+i * sin(30°+k*90°)
z(0) = 1/2 sqrt(3) + i(1/2)
z(1) = -1/2 + i(1/2 sqrt(3)
z(3) = -1/2 sqrt(3) -i(1/2)
z(4) = 1/2 - i(172 sqrt(3)
is das so korrekt?
danke und gruss
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> danke al-chw.
>
> für [mm]z^4=-1/2[/mm] + i(1/2 sqrt(3)
>
> is dann z(k) = cos(30°+k*90°)+i * sin(30°+k*90°)
> z(0) = 1/2 sqrt(3) + i(1/2)
> z(1) = -1/2 + i(1/2 sqrt(3)
> z(3) = -1/2 sqrt(3) -i(1/2)
> z(4) = 1/2 - i(172 sqrt(3)
>
>
> is das so korrekt?
Abgesehen vom Tippfehler bei der 4. Lösung: ja .
Es wäre sehr gut, wenn du dich mit dem Formel-
editor anfreunden könntest. Damit kann man z.B.
Wurzeln und Brüche ganz leicht typografisch
richtig schreiben. Beispiel:
Die Eingabe
$\ z_4=\frac{1}{2}-i*\frac{\sqrt{3}}{2}$
liefert den Ausdruck:
$\ [mm] z_4=\frac{1}{2}-i*\frac{\sqrt{3}}{2}$
[/mm]
LG Al-Chw.
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bei der anderen aufgabe ist das z2= -i2, denn der sin(270°) is -1
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Hallo sonja2001,
> bei der anderen aufgabe ist das z2= -i2, denn der
> sin(270°) is -1
Eine der Folgerungen aus [mm]z^{4}=-1[/mm] ist [mm]z^{2}=-i=i*\sin\left(270^{\circ}\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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