Maximum und Minimum < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:53 Mo 07.03.2011 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | Sei D:= { [mm] \vec{x} \in \IR^3 [/mm] | [mm] |\vec{x}| \le [/mm] 1 }, und [mm] \vec{a} \in \IR^3 [/mm] mit [mm] |\vec{a}| [/mm] < 1.
a) Beweisen Sie ohne Rechnung, dass die Funktion
f: D [mm] \to \IR, \vec{x} \mapsto |\vec{x}-\vec{a}| [/mm] ihr Minimum und Maximum auf D annimmt.
b) Geben Sie für [mm] \vec{a} \not= [/mm] 0 das Maximum explizit an. Begründen Sie mithilfe einer Skizze.
c) Bestimmen Sie eine Minimalstelle von f konkret und beweisen Sie, dass es sich dabei um das einzige Minimum handelt. |
Hi Leute, also hab mich mal an der Aufgabe versucht. Habe folgendes bei a) geschrieben: f ist als Komposition stetiger Funktionen stetig. Außerdem ist die Menge D abgeschlossen, da sie alle ihre Randpunkte enthält und sie ist beschränkt, weil es eine Kugel gibt (z.B. [mm] K_{10}(0)) [/mm] die D enthält. Dadurch ist die Menge kompakt und man kann folgenden Satz anwenden: Stetige Funktionen auf kompakten Mengen haben ein Maximum und ein Minimum. Gibts dazu noch eine Ergänzung?^^
Gruß David
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> Sei D:= [mm]\{\ \vec{x} \in \IR^3[/mm] | [mm]|\vec{x}| \le 1\ \}[/mm], und
> [mm]\vec{a} \in \IR^3[/mm] mit [mm]|\vec{a}|[/mm] < 1.
> a) Beweisen Sie ohne Rechnung, dass die Funktion
> f: D [mm]\to \IR, \vec{x} \mapsto |\vec{x}-\vec{a}|[/mm] ihr Minimum
> und Maximum auf D annimmt.
> b) Geben Sie für [mm]\vec{a} \not=[/mm] 0 das Maximum explizit an.
> Begründen Sie mithilfe einer Skizze.
> c) Bestimmen Sie eine Minimalstelle von f konkret und
> beweisen Sie, dass es sich dabei um das einzige Minimum
> handelt.
> Hi Leute, also hab mich mal an der Aufgabe versucht. Habe
> folgendes bei a) geschrieben: f ist als Komposition
> stetiger Funktionen stetig. Außerdem ist die Menge D
> abgeschlossen, da sie alle ihre Randpunkte enthält und sie
> ist beschränkt, weil es eine Kugel gibt (z.B. [mm]K_{10}(0))[/mm]
> die D enthält. Dadurch ist die Menge kompakt und man kann
> folgenden Satz anwenden: Stetige Funktionen auf kompakten
> Mengen haben ein Maximum und ein Minimum. Gibts dazu noch
> eine Ergänzung?^^
> Gruß David
Hallo David,
mach dir für (b) und (c) vor allem klar, worum es
sich da geometrisch gesehen handelt !
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Mo 07.03.2011 | | Autor: | David90 |
ok:) kann es sein, dass das Maximum 1+ [mm] |\vec{a}| [/mm] ist?
Gruß David
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> ok:) kann es sein, dass das Maximum 1+ [mm]|\vec{a}|[/mm] ist?
> Gruß David
Klar.
Ich hoffe, dass du auch erläutern kannst, weshalb das
so sein muss !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 Mo 07.03.2011 | | Autor: | Lentio |
Hallo,
>
> Klar.
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> Ich hoffe, dass du auch erläutern kannst, weshalb das
> so sein muss !
>
> LG Al-Chw.
>
kann es selber leider nicht ;) . Besitze die Vorstellungskraft eines Steines. Was soll das nun geometrisch gesehen sein?
mfg,
Lentio
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> Hallo,
>
> >
> > Klar.
> >
> > Ich hoffe, dass du auch erläutern kannst, weshalb das
> > so sein muss !
> >
> > LG Al-Chw.
> >
>
> kann es selber leider nicht ;) . Besitze die
> Vorstellungskraft eines Steines. Was soll das nun
> geometrisch gesehen sein?
wenn du einem ganz runden (kugelrunden) Stein
gleichst, sollte es am besten gehen:
Die Menge D entspricht einer Vollkugel. [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{x} [/mm] sind
Ortsvektoren zweier Punkte A und X, welche beide in D
liegen. Dabei ist der Punkt A fest vorgegeben.
Die Funktion f liefert den Abstand zwischen A und X als
Funktion von [mm] \vec{x} [/mm] . Nun stell dir vor, wie der Wert von f
sich verhält, wenn X beliebig in D herum wandern kann.
Für welchen Punkt X in D wird der Abstand f am kleinsten,
für welchen anderen Punkt am größten ?
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Mo 07.03.2011 | | Autor: | Lentio |
Bin woll doch eher vom Stein erschlagen. Aber für ein maximales Ergebnis müsste X doch ein Randpunkt sein,oder?
mfg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Mo 07.03.2011 | | Autor: | Lentio |
Wäre das Min bei [mm] 1-|\vec{a} [/mm] |?
lg,
Lentio
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> Wäre das Min bei [mm]1-|\vec{a}[/mm] |?
Das wäre der kleinstmögliche Abstand von A zu einem
Punkt X am Rand von D, also auf der Kugeloberfläche.
Der Punkt X soll ja aber nicht an den Rand von D
gebunden sein, sondern kann sich frei in ganz D bewegen.
Wohin soll man ihn also setzen, wenn sein Abstand von
A minimal werden soll ?
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Di 08.03.2011 | | Autor: | Lentio |
Sorry für die späte Antwort. Also der Abstand wäre doch am kleinsten wenn x=a gilt. Ist das damit gemeint?
lg,
Lentio
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> Sorry für die späte Antwort. Also der Abstand wäre doch
> am kleinsten wenn x=a gilt. Ist das damit gemeint?
Natürlich. Der Fixpunkt A liegt in D. Auch der Punkt X
darf in ganz D bewegt werden. Also wird der Abstand
minimal (nämlich 0) , wenn X=A ist.
Minimaler geht's bei Abständen nicht ... 
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:02 Di 08.03.2011 | | Autor: | Lentio |
Danke für die ganze Hilfe :) !!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:54 Di 08.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Wäre das Min bei [mm]1-|\vec{a}[/mm] |?
Es ist doch stets [mm] f(\vec{x}) \ge [/mm] 0. Für welches [mm] \vec{x_0} \in [/mm] D ist [mm] f(\vec{x_0})=0 [/mm] ?
FRED
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> lg,
>
> Lentio
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> Bin woll doch eher vom Stein erschlagen. Aber für ein
> maximales Ergebnis müsste X doch ein Randpunkt sein,oder?
Ja. Und das Raumgebiet D enthält ja auch seinen Rand,
nämlich die Kugeloberfläche !
LG
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