Partielle Integration < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:57 Di 08.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Guten Abend
Bis jetzt kenne ich leider nur das Substitutionsverfahren, um die Stammfunktion zu bestimmen:
f(x) = [mm] \bruch{1}{(5x + 1)^{3} } [/mm] Also so was
[mm] \bruch{1}{(z)^{3} } [/mm] = [mm] z^{-3} [/mm] = [mm] -0.5^{-2} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{10} [/mm] *
[mm] \bruch{1}{(5x + 1)^{2} }
[/mm]
Ich hoffe das stimmt so...
Nun habe ich keinen blassen bei folgenden Beispielen:
f(x) = cos (x) * [mm] x^{2}
[/mm]
f(x) = [mm] \bruch{2x^{2} + 4}{x^{3} - x^{2} + x -1}
[/mm]
Kann mir jemand sagen, wie ich hier die Stammfunktionen bestimmen kann. Natürlich mit der Partiellen Integration......
P. S. Ich denke mir das zu erklären, stellt eine hohe Anforderung an euch. Denn ihr müsst euch einfach bewusst sein, dass diese Frage von einem Threadsteller mit IQ kleiner als 10 stammt
Danke
gruss Dinker
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:15 Di 08.09.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo Dinker,
> Guten Abend
>
> Bis jetzt kenne ich leider nur das Substitutionsverfahren,
> um die Stammfunktion zu bestimmen:
>
> f(x) = [mm]\bruch{1}{(5x + 1)^{3} }[/mm] Also so was
>
> [mm]\bruch{1}{(z)^{3} }[/mm] = [mm]z^{-3}[/mm] = [mm]-0.5^{-2}[/mm] = - [mm]\bruch{1}{10}[/mm]
> *
> [mm]\bruch{1}{(5x + 1)^{2} }[/mm]
>
> Ich hoffe das stimmt so...
ja, das Ergebnis stimmt, aber deine Schritte kann ich nicht nachvollziehen ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") Warum ist z.B. [mm] z^{-3}=-0,5^{-2}???
[/mm]
> Nun habe ich keinen blassen bei folgenden Beispielen:
>
> f(x) = cos (x) * [mm]x^{2}[/mm]
Bei Anwendung der partiellen Integration geht es darum entweder schrittweise einen Faktor auf den Wert 1 zu reduzieren oder zu einem identischen Integral zu gelangen. Bei deinem Beispiel ist es machbar mit [mm] \red{zweimaliger} [/mm] Anwendung der partiellen Integration das [mm] x^2 [/mm] auf den Wert 1 zu reduzieren, so dass nur noch cos als Integrand auftaucht.
[mm] $\int [/mm] u(x) [mm] \cdot{} [/mm] v'(x) dx = u(x) [mm] \cdot{} [/mm] v(x) - [mm] \int [/mm] u'(x) [mm] \cdot{} [/mm] v(x) dx$
Hier muss natürlich [mm] u(x)=x^2 [/mm] gewählt werden, denn sonst würde sich im nächsten Step, die Potenz bei x erhöhen und nicht wie gewollt verringern.
Also:
[mm] $\int x^2*cos(x)\ [/mm] dx=...
> f(x) = [mm]\bruch{2x^{2} + 4}{x^{3} - x^{2} + x -1}[/mm]
>
> Kann mir jemand sagen, wie ich hier die Stammfunktionen
> bestimmen kann. Natürlich mit der Partiellen
> Integration......
Hier nimmt man in aller Regel keine partielle Integration, du kannst es aber gerne versuchen 
Lg
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 Di 08.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo herby
Danke für die Antwort.
Wie gehe ich denn beim Letzten Beispiel vor?
Danke
Gruss DInker
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 Di 08.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dinker!
Für die Integration von $f(x) \ = \ [mm] \bruch{2x^{2} + 4}{x^{3} - x^{2} + x -1}$ [/mm] musst Du zunächst die Nullstellen des Nenners bestimmen und anschließend eine  Partialbruchzerlegung vornehmen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Mi 09.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo ich seh leider in meinen Augen nur ein wirrwar.
= [mm] x^{2} [/mm] * cos x - 2x * cos x ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:00 Mi 09.09.2009 | | Autor: | xPae |
Hallo,
[mm] f(x)=x^{2}*cos(x)
[/mm]
Partielle Integration:
[mm] u(x)=x^{2} [/mm] -> u'(x)=2*x
v'(x)=cos(x) -> v(x)=sin(x)
[mm] \integral_{a}^{b}{x^{2}*cos(x) dx}=x^{2}*(sin(x)) [/mm] - [mm] \integral_{a}^{b}{2*x*(sin(x) dx}=x^{2}*sin(x)-2*\integral_{a}^{b}{x*sin(x) dx}=....
[/mm]
Nebenrechnung:
[mm] \integral_{a}^{b}{x*sin(x) dx}=...
[/mm]
mit:
u(x)=x u'(x)=1
v'(x)=sin(x) v(x)=-cos(x)
=> [mm] ...=[-x*cos(x)]-\integral_{a}^{b}{(-cos(x)) dx}=[-x*cos(x)]+\integral_{a}^{b}{1*cos(x) dx}
[/mm]
Den Rest schaffst Du jetzt. Habe Dir schon viel zu viel gemacht, allerdings muss man sich erstmal an die partielle Integration gewöhnen.
Die zwei, die ich ausgeklammert habe, nicht vergessen.
Mache zur Übung:
[mm] \integral_{a}^{b}{x^{2}sin(x) dx}
[/mm]
Ich hoffe, dass du es verstanden hast.
lg xPae
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Mi 09.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo
Also zu diesem Beispiel. Mein problem fängt damit an, dass ich nicht wirklich weiss wie ich das aufsplitten muss. herby versuchte es mir schon zu erklären..
Variante 1
v = [mm] x^{2} [/mm] u' = sin x
v' = 2x u = - cos x
= - cos (x) * [mm] x^{2} [/mm] + 2x*cos x + C
oder
Variante 2:
v = sin x u' = [mm] x^{2}
[/mm]
v' = cos x u = [mm] \bruch{1}{3} x^{3}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{3} x^{3} [/mm] * sin x - cos x * [mm] \bruch{1}{3} x^{3} [/mm] + C
Danke
gruss Dinker
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:04 Mi 09.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Bitte helft mir doch
Danke
Gruss Dinker
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:16 Mi 09.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dinker!
Richtig ist Deine Variante 1. Schließlich wollen wir durch die partielle Integration einfachere Teilintegrale schaffen, was durch $v' \ = \ 2*x$ geschieht.
Gruß
Loddar
PS: bitte nicht schon nach 4 Minuten drängen wegen einer Antwort ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Mi 09.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Ok dann muss ich das hier auch ändern
> Hallo
>
> Also zu diesem Beispiel. Mein problem fängt damit an, dass
> ich nicht wirklich weiss wie ich das aufsplitten muss.
> herby versuchte es mir schon zu erklären..
>
> Variante 1
>
> v = [mm]x^{2}[/mm] u' = sin x
> v' = 2x u = - cos x
>
> = - cos (x) * [mm]x^{2}[/mm] + 2x*cos x + C> =
= - cos (x) * [mm]x^{2}[/mm] + [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] 2x*cos x + C
Wieso muss ich jetzt da nichts integrieren?
>
> oder
>
> Variante 2:
>
> v = sin x u' = [mm]x^{2}[/mm]
> v' = cos x u = [mm]\bruch{1}{3} x^{3}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{3} x^{3}[/mm] * sin x - cos x * [mm]\bruch{1}{3} x^{3}[/mm]
> + C
>
> Danke
> gruss Dinker
>
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:46 Mi 09.09.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo Dinker,
Kurzzeitgedächtnis???? ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
ZWEIMALIGE partielle Integration
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Mi 09.09.2009 | | Autor: | Dinker |
> Hallo Dinker,
>
>
> Kurzzeitgedächtnis????
Wäre schön wenn nur daran liegen würde, jedoch fehlt mir jeder Ansatz eines Gedächtnis.
Das hier ist doch das gleiche: https://matheraum.de/read?i=587631 Aber wieso muss ich da nochmals integrieren?
>
>
> ZWEIMALIGE partielle Integration
>
>
> Liebe Grüße
> Herby
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:58 Mi 09.09.2009 | | Autor: | Herby |
Hi,
> > Hallo Dinker,
> >
> >
> > Kurzzeitgedächtnis????
>
> Wäre schön wenn nur daran liegen würde, jedoch fehlt mir
> jeder Ansatz eines Gedächtnis.
>
> Das hier ist doch das gleiche:
> https://matheraum.de/read?i=587631 Aber wieso muss ich
> da nochmals integrieren?
ich antworte dir gleich noch einmal auf deine andere Frage!
Lg
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:27 Mi 09.09.2009 | | Autor: | xPae |
Ich habe Dir das doch schon vorgemacht, unter Nebenrechnugn findest du die zweite partielle Integration.
lg xPae
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 Mi 09.09.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo Dinker,
> Ok dann muss ich das hier auch ändern
>
>
> > Hallo
> >
> > Also zu diesem Beispiel. Mein problem fängt damit an, dass
> > ich nicht wirklich weiss wie ich das aufsplitten muss.
> > herby versuchte es mir schon zu erklären..
> >
> > Variante 1
> >
> > v = [mm]x^{2}[/mm] u' = sin x
> > v' = 2x u = - cos x
> >
> > = - cos (x) * [mm]x^{2}[/mm] + 2x*cos x + C> =
>
> = - cos (x) * [mm]x^{2}[/mm] + [mm]\integral_{a}^{b}[/mm] 2x*cos x + C
>
>
> Wieso muss ich jetzt da nichts integrieren?
>
du hast hier die Werte vertauscht!
[mm] v=x^2 [/mm] und v'=2x
u'=cos(x) und u=sin(x)
[mm] I=u*v-\int{u*v'}
[/mm]
Setz da mal die entsprechenden Werte ein
Lg
Herby
ps: ich bin dann erst morgen früh wieder da
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Mi 09.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo
Noch eine Frage
> Hallo,
>
>
> [mm]f(x)=x^{2}*cos(x)[/mm]
>
> Partielle Integration:
>
> [mm]u(x)=x^{2}[/mm] -> u'(x)=2*x
> v'(x)=cos(x) -> v(x)=sin(x)
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{x^{2}*cos(x) dx}=x^{2}*(sin(x))[/mm] -
> [mm]\integral_{a}^{b}{2*x*(sin(x) dx}=x^{2}*sin(x)-2*\integral_{a}^{b}{x*sin(x) dx}=....[/mm]
>
> Nebenrechnung:
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{x*sin(x) dx}=...[/mm]
>
> mit:
> u(x)=x u'(x)=1
> v'(x)=sin(x) v(x)=-cos(x)
> => [mm]...=[-x*cos(x)]-\integral_{a}^{b}{(-cos(x)) dx}=[-x*cos(x)]+\integral_{a}^{b}{1*cos(x) dx}[/mm]
Muss man da nochmals die partielle Integration durchführen? [mm] integral_{a}^{b}{1*cos(x) dx}[/mm]
[/mm]
>
>
> Den Rest schaffst Du jetzt. Habe Dir schon viel zu viel
> gemacht, allerdings muss man sich erstmal an die partielle
> Integration gewöhnen.
>
> Die zwei, die ich ausgeklammert habe, nicht vergessen.
>
> Mache zur Übung:
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{x^{2}sin(x) dx}[/mm]
>
>
> Ich hoffe, dass du es verstanden hast.
> lg xPae
Danke
gruss Dinker
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Hallo Dinker,
> Hallo
>
> Noch eine Frage
> > Hallo,
> >
> >
> > [mm]f(x)=x^{2}*cos(x)[/mm]
> >
> > Partielle Integration:
> >
> > [mm]u(x)=x^{2}[/mm] -> u'(x)=2*x
> > v'(x)=cos(x) -> v(x)=sin(x)
> >
> > [mm]\integral_{a}^{b}{x^{2}*cos(x) dx}=x^{2}*(sin(x))[/mm] -
> > [mm]\integral_{a}^{b}{2*x*(sin(x) dx}=x^{2}*sin(x)-2*\integral_{a}^{b}{x*sin(x) dx}=....[/mm]
>
> >
> > Nebenrechnung:
> >
> > [mm]\integral_{a}^{b}{x*sin(x) dx}=...[/mm]
> >
> > mit:
> > u(x)=x u'(x)=1
> > v'(x)=sin(x) v(x)=-cos(x)
> > => [mm]...=[-x*cos(x)]-\integral_{a}^{b}{(-cos(x)) dx}=[-x*cos(x)]+\integral_{a}^{b}{1*cos(x) dx}[/mm]
>
> Muss man da nochmals die partielle Integration
> durchführen? [mm]integral_{a}^{b}{1*cos(x) dx}[/mm][/mm]
Für die Berechnung dieses Integrals
[mm]\integral_{a}^{b}{1*cos(x) \ dx}[/mm]
ist keine partielle Integration mehr notwendig,
da die Stammfunktion von [mm]\cos\left(x\right)[/mm] bekannt ist.
> >
> >
> > Den Rest schaffst Du jetzt. Habe Dir schon viel zu viel
> > gemacht, allerdings muss man sich erstmal an die partielle
> > Integration gewöhnen.
> >
> > Die zwei, die ich ausgeklammert habe, nicht vergessen.
> >
> > Mache zur Übung:
> >
> > [mm]\integral_{a}^{b}{x^{2}sin(x) dx}[/mm]
> >
> >
> > Ich hoffe, dass du es verstanden hast.
> > lg xPae
>
> Danke
> gruss Dinker
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 Mi 09.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Guten Abend
Irgendwie sehe/verstehe ich einfach nicht:
[mm] \integral_{a}^{b}x [/mm] * sin c dx = -x * xos x + sin x + C
Aber Wieso nicht: -x * cos x + [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] sinx + C
[mm] \integral_{a}^{b} x^{2} [/mm] * cos x
[mm] x^{2} [/mm] * sin x - 2 [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] x * sinx dx
und nicht? [mm] x^{2} [/mm] * sin x - 2 x * sinx dx
Irgendwie seh iche ifnach nicht, wann ich im Zwischenresultat /Resultat [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] schreiben muss, womit ich erkennen würde, dass es noch weiter geht
Danke
Gruss Dinker
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> Irgendwie sehe/verstehe ich einfach nicht:
>
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> [mm]\integral_{a}^{b}x[/mm] * sin c dx = -x * xos x + sin x + C
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> Aber Wieso nicht: -x * cos x + [mm]\integral_{a}^{b}[/mm] sinx + C
das ergibt nicht dasselbe, die zweite version gäbe vollständig aufgelöst $-x [mm] \cdot [/mm] cos(x) + cos(x)$
>
> [mm]\integral_{a}^{b} x^{2}[/mm] * cos x
>
>
> [mm]x^{2}[/mm] * sin x - 2 [mm]\integral_{a}^{b}[/mm] x * sinx dx
>
> und nicht? [mm]x^{2}[/mm] * sin x - 2 x * sinx dx
>
> Irgendwie seh iche ifnach nicht, wann ich im
> Zwischenresultat /Resultat [mm]\integral_{a}^{b}[/mm] schreiben
> muss, womit ich erkennen würde, dass es noch weiter geht
schau dir die regel [mm] $\integral{vu'}=uv-\integral{uv'}$ [/mm] nochmal an, da du eigentlich nur die beiden funktionen und ihre ableitungen bzw. integrale hier einsetzen musst.
>
> Danke
> Gruss Dinker
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 Do 10.09.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo Dinker,
> Guten Abend
>
> Irgendwie sehe/verstehe ich einfach nicht:
>
>
> [mm]\integral_{a}^{b}x[/mm] * sin c dx = -x * xos x + sin x + C
>
> Aber Wieso nicht: -x * cos x + [mm]\integral_{a}^{b}[/mm] sinx + C
ich füge dir mal einen Zwischenschritt ein - vielleicht klärt das dann deine Frage.
[mm]u=x\
u'=1\ [/mm]
[mm] v=-\cos(x)
[/mm]
[mm] v'=\sin(x)
[/mm]
[mm] $\integral{x*\sin(x)\ dx}\ [/mm] =\ [mm] -x*\cos(x)-\integral{-\cos(x)*1\ dx}\ [/mm] =\ [mm] -x*\cos(x)+\integral{\cos(x)\ dx}=-x*\cos(x)+sin(x)+C$
[/mm]
Lg
Herby
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