Satz Pythagoras, unendlich dim < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:48 Mi 06.01.2016 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Ich habe den Satz des Phytagoras nur mit endlichen Summen kennengelernt.
In der Vorlesung haben wir aber folgenden Satz aufgeschrieben:
Sei V ein Hilbertraum und [mm] \{f_j\}_{j=1}^\infty [/mm] ein Orthonormalsystem.
Dann gilt [mm] ||\sum_{j=1}^\infty c_j f_j||^2= \sum_{j=1}^\infty |c_j|^2 \forall [/mm] Folgen [mm] (c_j) [/mm] mit [mm] \sum_{j=1}^\infty |c_j|^2 [/mm] < [mm] \infty
[/mm]
Ich würde den Satz gerne beweisen! |
Hallo,
[mm] ||\sum_{j=1}^\infty c_j f_j||^2=<\sum_{i=1}^\infty c_i f_i,\sum_{j=1}^\infty c_j f_j>=<\lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n c_i f_i, \lim_{m\rightarrow \infty} \sum_{j=1}^m c_j f_j>= \lim_{n\rightarrow \infty} \lim_{m\rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m|c_i|^2 \underbrace{=}_{\*}\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^n |c_i|^2 ||f_i||^2=\sum_{j=1}^\infty |c_j|^2 [/mm]
Die dritte Gleichheit folgt aus der Stetigkeit des Skalarproduktes.
Nun bin ich mir unsicher beim vorletzten Schritt [mm] (\*), [/mm] ich verwende zwar wie im endlichen, dass die [mm] f_j [/mm] orthonormal zueinander sind, aber darf ich das bei unendlichen Summen genauso machen oder muss ich da etwas beachten? Verwendet man da [mm] \sum_{j=1}^\infty |c_j|^2 [/mm] < [mm] \infty?
[/mm]
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:59 Do 07.01.2016 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe den Satz des Phytagoras nur mit endlichen Summen
> kennengelernt.
> In der Vorlesung haben wir aber folgenden Satz
> aufgeschrieben:
>
> Sei V ein Hilbertraum und [mm]\{f_j\}_{j=1}^\infty[/mm] ein
> Orthonormalsystem.
> Dann gilt [mm]||\sum_{j=1}^\infty c_j f_j||^2= \sum_{j=1}^\infty |c_j|^2 \forall[/mm]
> Folgen [mm](c_j)[/mm] mit [mm]\sum_{j=1}^\infty |c_j|^2[/mm] < [mm]\infty[/mm]
>
> Ich würde den Satz gerne beweisen!
> Hallo,
>
> [mm]||\sum_{j=1}^\infty c_j f_j||^2=<\sum_{i=1}^\infty c_i f_i,\sum_{j=1}^\infty c_j f_j>=<\lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n c_i f_i, \lim_{m\rightarrow \infty} \sum_{j=1}^m c_j f_j>= \lim_{n\rightarrow \infty} \lim_{m\rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m|c_i|^2 \underbrace{=}_{\*}\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^n |c_i|^2 ||f_i||^2=\sum_{j=1}^\infty |c_j|^2[/mm]
>
> Die dritte Gleichheit folgt aus der Stetigkeit des
> Skalarproduktes.
> Nun bin ich mir unsicher beim vorletzten Schritt [mm](\*),[/mm] ich
> verwende zwar wie im endlichen, dass die [mm]f_j[/mm] orthonormal
> zueinander sind, aber darf ich das bei unendlichen Summen
> genauso machen oder muss ich da etwas beachten? Verwendet
> man da [mm]\sum_{j=1}^\infty |c_j|^2[/mm] < [mm]\infty?[/mm]
>
> LG,
> sissi
Zunächst sollte man zeigen, dass die Reihe
[mm] \sum_{j=1}^\infty c_j f_j
[/mm]
in V konvergiert. Dazu setze für n [mm] \in \IN: s_n:= \sum_{j=1}^n c_j f_j [/mm] und [mm] r_n:= \sum_{j=1}^n |c_j|^2.
[/mm]
Jetzt zeige Du, dass für n,m [mm] \in \IN [/mm] gilt:
[mm] ||s_n-s_m||^2=|r_n-r_m|.
[/mm]
Dazu verwende Pythagoras für endlichen Summen.
Nach Vor. ist [mm] (r_n) [/mm] konvergent, also eine Cauchyfolge. Damit ist [mm] (s_n) [/mm] eine Cauchyfolge in V. Da V ein Hilbertraum ist, ist [mm] (s_n) [/mm] in V konvergent. Somit konvergiert [mm] \sum_{j=1}^\infty c_j f_j [/mm] in V.
Begründe nun Du jedes "=" in der Folgenden Zeile
[mm] $||\sum_{j=1}^\infty c_j f_j ||^2=||\limes_{n\rightarrow\infty}s_n||^2=\limes_{n\rightarrow\infty}||s_n||^2=\limes_{n\rightarrow\infty}r_n=\sum_{j=1}^\infty |c_j|^2$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:55 So 10.01.2016 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Vielen Dank für deine Antwort
> $ [mm] ||\sum_{j=1}^\infty c_j f_j ||^2=||\limes_{n\rightarrow\infty}s_n||^2=\limes_{n\rightarrow\infty}||s_n||^2=\limes_{n\rightarrow\infty}r_n=\sum_{j=1}^\infty |c_j|^2 [/mm] $
Erste Gleicheit ist Definition, Zweite Gleichheit ist die Stetigkeit des Skalarproduktes und dazu brauchen wir natürlich [mm] \sum_{j=1}^\infty c_j, f_j [/mm] ist konvergent in V.
Die dritte Gleichheit : [mm] ||s_n||^2 [/mm] = < [mm] \sum_{j=1}^n c_j f_j, \sum_{i=1}^n c_i f_i>= \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n |c_j|^2 [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^n |c_j|^2= r_n
[/mm]
Okay?
Danke und liebe Grüße,
sissi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:23 So 10.01.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> Vielen Dank für deine Antwort
> > [mm]||\sum_{j=1}^\infty c_j f_j ||^2=||\limes_{n\rightarrow\infty}s_n||^2=\limes_{n\rightarrow\infty}||s_n||^2=\limes_{n\rightarrow\infty}r_n=\sum_{j=1}^\infty |c_j|^2[/mm]
>
> Erste Gleicheit ist Definition, Zweite Gleichheit ist die
> Stetigkeit des Skalarproduktes und dazu brauchen wir
> natürlich [mm]\sum_{j=1}^\infty c_j, f_j[/mm] ist konvergent in V.
> Die dritte Gleichheit : [mm]||s_n||^2[/mm] = < [mm]\sum_{j=1}^n c_j f_j, \sum_{i=1}^n c_i f_i>= \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n |c_j|^2 [/mm]
> = [mm]\sum_{j=1}^n |c_j|^2= r_n[/mm]
>
> Okay?
Ja
Fred
>
> Danke und liebe Grüße,
> sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:35 So 10.01.2016 | | Autor: | sissile |
danke ;)
LG,
sissi
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