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| Aufgabe | | Welche Stammfunktionen von f(x)= 4-3x sind zugleich Integralfunktionen von f? |
Ich bin mir nicht sicher, wie die Frage gemeint ist und auch nicht wie eine Stammfunktion gleichzeitig eine Integralfunktion sein kann?
Auch habe ich schon ein paar Leute aus dem LK gefragt und da wusste auf die Schnelle auch keiner weiter...
Kann da jmd helfen, ich denk mal, eigentlich ist die Lösung relativ einfach, nur komme ich nicht drauf...
Das ist wichtig, weil der LK-Lehrer die Aufgabe in einer anderen Klausur vor ein paar Jahren gestellt hat!
Danke scho mal!!! :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich hab die Fälligkeit falsch eingestellt, ich brauch die Lösung eigentlich bis Montag!
Danke!
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Also danke erstmal...;)
Du musst wissen, ich weiss, was Integralfunktionen und Stammfunktionen sind.
Meine eigentliche Frage war eben die Antwort auf diese Aufgabe, also die Lösung zu dieser Aufgabe:
Welche Stammfunktionen von f(x)= 4-3x sind zugleich Integralfunktionen von f?
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Hallo,
ich bin mir nicht sicher, ob das nicht zu einfach gedacht ist, aber eine Stammfunktion von f(x) ist ja
$F(x) = [mm] -\bruch{3}{2}x^2+4x+C$ [/mm] .
Und wenn nun $C = [mm] \bruch{3}{2}a^2-4a$ [/mm] ist, dann ist auch die Stammfunktion
$F(x) = [mm] -\bruch{3}{2}x^2+4x+C [/mm] = [mm] J_{a}(x) [/mm] = [mm] \integral_{a}^{x}4-3x \,dx$
[/mm]
zugleich eine Integralfunktion von f(x).
LG, Martinius
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Die Stammfunktion war mir klar, dass es diese ist, die du geschrieben hast.
Nur, was ist a?
Irgendeine Konstante oder?
a müsste man doch auch berechnen können oder?
Und ist nicht F(x) trotzdem nur die Stammfunktion von f?
Und nicht gleichzeitig die Integralfunktion?
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Hallo MatheLkler,
> Die Stammfunktion war mir klar, dass es diese ist, die du
> geschrieben hast.
> Nur, was ist a?
> Irgendeine Konstante oder?
> a müsste man doch auch berechnen können oder?
> Und ist nicht F(x) trotzdem nur die Stammfunktion von f?
> Und nicht gleichzeitig die Integralfunktion?
mit $ F(x) = [mm] -\bruch{3}{2}x^2+4x+C [/mm] $ ist eine Menge von Funktionen definiert, für jedes C eine neue.
Und wenn nun $ C = [mm] \bruch{3}{2}a^2-4a [/mm] $ ist, dann ist auch die Stammfunktion
$ F(x) = [mm] -\bruch{3}{2}x^2+4x+C [/mm] = [mm] J_{a}(x) [/mm] = [mm] \integral_{a}^{x}4-3x \,dx [/mm] $
zugleich eine Integralfunktion von f(x).
Wenn du nun ein C aussuchst, das sich nicht durch $ C = [mm] \bruch{3}{2}a^2-4a [/mm] $ mit beliebigem $a [mm] \in [/mm] R$ darstellen lässt, hast du zwar eine Stammfunktion, aber keine Integralfunktion.
Überlege nun selbst, wie man ein solches C finden kann...
Gruß informix
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Hallo,
also wenn ich [mm] f(x)=\integral_{a}^{x}{f(x) dx} [/mm] und F gleichsetzen würde, käme ich ja auf a=0, was wiederum keinen Sinn machen würde...
Eine Stammfunktion muss ja immer eine Nullstelle haben, also, wenn ich jetzt C einsetze, und dann die Stammfunktion gleich 0 setzen würde, dann müsste ich doch auf das Ergebnis kommen?!
Ich glaub, ich steh grad auf der leitung...;)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:10 Fr 11.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Informix hat doch schon völlig korrekt herschrieben:
"Wenn du nun ein C aussuchst, das sich nicht durch $ C = [mm] \bruch{3}{2}a^2-4a [/mm] $ mit beliebigem $ a [mm] \in [/mm] R $ darstellen lässt, hast du zwar eine Stammfunktion, aber keine Integralfunktion."
Was heisst, das für dein C? Welche Werte kann dein C denn dann annehmen, wenn es sowohl Stamm- als auch Integralfunktion sein soll.
(Denke dazu mal an die Parabel [mm] P(a)=\bruch{3}{2}a^2-4a [/mm] und an einen Speziellen Punkt, dieser Parabel, nämlich den Scheitelpunkt)
Marius
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Ja, der Scheitel ist (0/0).
Oder darf dann einfach $ [mm] P(a)=\bruch{3}{2}a^2-4a [/mm] $ nicht 0 sein?
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Hallo,
wenn ich da eine quadratische Ergänzung mache, dann komme ich auf einen Scheitelpunkt von
[mm] $S\left(\bruch{4}{3};-\bruch{8}{3} \right)$ [/mm] .
LG, Martinius
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Jetzt mal ganz dumm gefragt, wieso muss ich überhaupt auf den Scheitel schauen?
Also, ich bin mir zwar nicht 100% sicher, aber bisher haben wir das Unterricht noch nie mit dem Scheitel gerechnet oder überhaupt den Scheitelpunkt mit in die Überlegungen mit einbezogen.
Kann nicht jemand mal die Lösung der Aufgabe hinschreiben, damit ich sehe, worauf es ankommt, denn ich glaube ich stehe entweder gewaltig auf der Leitung oder wir haben so eine Art von Aufgabe noch nie gerechnet...:(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 So 13.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Es geht darum, welche Werte das C annehmen darf, damit eine Integralfunktion herauskommt.
Da haben wir festgestellt, dass [mm] C=\bruch{3}{2}a²-4a [/mm] gelten muss.
Und diese Parabel kann ja nur bestimmt Werte annehmen, hat also ein Minimum (Nach unten offen). Also ist die y-Koordinate des Scheitels (die von a abhängig ist) der tiefste Wert, den C annehmen kann, damit du noch eine Integralfunktion hast.
Marius
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Da ich mit der Aufgabe am Anfang auch nichts anfangen konnte und bis eben trotz aller Ansätze auch nicht wusste, warum der Scheitelpunkt von Interesse ist, denke ich mir, du kannst eine ausführliche Lösung trotzdem noch gebrauchen:
erst einmal die zwei wichtigsten Gleichungen:
[mm]F(x)=4x-\bruch{3}{2}x^2+C[/mm]
[mm]I_a(x)=\integral_{a}^{x}{f(x) dx}=4x-\bruch{3}{2}x^2-4a+\bruch{3}{2}a^2[/mm]
Da nach Stammfunktionen gefragt ist, die gleichzeitig auch Integralfunktionen von f(x) sind, setzen wir nun gleich
[mm]4x-\bruch{3}{2}x^2+C=4x-\bruch{3}{2}x^2-4a+\bruch{3}{2}a^2[/mm]
daraus ist sofort ersichtlich:
[mm]C=-4a+\bruch{3}{2}a^2[/mm]
Damit ergibt sich vorläufig:
Jede Stammfunktion der Form
[mm]F(x)=4x-\bruch{3}{2}x^2+C[/mm] mit [mm]C=-4a+\bruch{3}{2}a^2[/mm] ist auch eine Integralfunktion
Ich glaube sogar, das würde für die Aufgabe reichen, aber wenn man sich jetzt fragt, welche Werte C annehmen kann, muss der Scheitelpunkt herangezogen werden!
Die Frage ist also, ist z.B. auch
[mm]F(x)=4x-\bruch{3}{2}x^2-100[/mm] eine Integralfunktion??
Wir wollen also wissen, von wo bis wo C gehen darf, damit F(x) noch [mm] I_a(x) [/mm] ist!
Dafür ist die Gleichung [mm]C=-4a+\bruch{3}{2}a^2[/mm] von Interesse
Wie schon gesagt handelt es sich um eine Parabel, die nach oben geöffnet ist und somit einen Tiefpunkt besitzt, der praktischerweise der Scheitelpunkt ist. Mit quadratischer Ergänzung erhält man den Scheitelpunkt:
[mm]S\{\bruch{4}{3},-\bruch{8}{3}\}[/mm]
Aufgrund der quadratischen Eigenschaft der Funktion C(a) ist der niedrigste Wert, den C somit annehmen kann [mm] =-\bruch{8}{3}!!
[/mm]
Das bedeutet für unsere Aufgabe:
Alle Stammfunktionen von f(x), für die gilt:
[mm]F(x)=4x-\bruch{3}{2}x^2+C[/mm]
sind für [mm] C>-\bruch{8}{3} [/mm] auch Integralfunktion von f
(Meiner Meinung nach ist das aber überflüssig, da man auch sagen kann, wie oben, mit [mm]C=-4a+\bruch{3}{2}a^2[/mm], wodurch der Tiefpunkt ja enthalten ist...)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:58 Mo 14.01.2008 | | Autor: | MatheLkler |
Also erstmal, danke an alle!
Auch dem Rex und vor allem dir, Michael, weil du mirs jetzt erklärt hast, wies geht, also denk ich, ich habs jetzt kapiert, damit ist alles klar und so dürfte die Aufgabe kein Problem mehr sein, falls sie in der Klausur kommt!
Eigentlich muss ich im Nachhinein sagen, die Aufgabe hat komplizierter geklungen und irgendwie auch komplizierter ausgeschaut als sie letztebdlich war...;)
Also wie gesagt, danke!!!;D
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![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
Integralfunktion