Stetige Zufallsvariablen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:33 Fr 28.02.2014 | | Autor: | Mathics |
| Aufgabe | Eine Zufallsvariable X besitzt die Verteilungsfunktion F,
[mm] F(t)=\begin{cases} 0, & \mbox{wenn } t \mbox{ < -1} \\ \bruch{1}{3}, & \mbox{wenn } -1\le t \mbox{ < 2} \\ 1-\bruch{1}{t}, & \mbox{wenn } t \ge \mbox{ 2} \end{cases} [/mm]
a) Ist X diskret, stetig oder weder noch?
b) Wie groß ist P(X=2) ?
x) Wie groß ist P(-1 < X [mm] \le [/mm] 3) ? |
Hallo,
ich hätte jetzt gesagt, dass es stetig ist, weil sich die Wahrscheinlichkeit als Integral berechnen und sich somit eine Dichtefunktion aufstellen lässt. Bzw. ich sehe da kein Unterschied zu den stetigen Verteilungsfunktionen, die wir bisher hatten. Diskret ist es nicht, da man hier Intervalle hat (Ich denke spätestens hier brauch ich jetzt Erklärungsbedarf oder ist das richtig begründet?)
Lösung: Es handelt sich hierbei weder um einen diskreten noch eine stetige Zufallsvariable.
Leider weiß ich allerdings nicht wieso.
LG
Mathics
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:52 Fr 28.02.2014 | | Autor: | abakus |
> Eine Zufallsvariable X besitzt die Verteilungsfunktion F,
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> [mm]F(t)=\begin{cases} 0, & \mbox{wenn } t \mbox{ < -1} \\ \bruch{1}{3}, & \mbox{wenn } -1\le t \mbox{ < 2} \\ 1-\bruch{1}{t}, & \mbox{wenn } t \ge \mbox{ 2} \end{cases}[/mm]
>
> a) Ist X diskret, stetig oder weder noch?
> b) Wie groß ist P(X=2) ?
> x) Wie groß ist P(-1 < X [mm]\le[/mm] 3) ?
> Hallo,
>
> ich hätte jetzt gesagt, dass es stetig ist, weil sich die
> Wahrscheinlichkeit als Integral berechnen und sich somit
> eine Dichtefunktion aufstellen lässt. Bzw. ich sehe da
> kein Unterschied zu den stetigen Verteilungsfunktionen, die
> wir bisher hatten. Diskret ist es nicht, da man hier
> Intervalle hat (Ich denke spätestens hier brauch ich jetzt
> Erklärungsbedarf oder ist das richtig begründet?)
>
> Lösung: Es handelt sich hierbei weder um einen diskreten
> noch eine stetige Zufallsvariable.
>
> Leider weiß ich allerdings nicht wieso.
>
> LG
> Mathics
Hallo,
es kann ein konkreter Wert angenommen werden, nämlich -1. Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser diskrete Wert auftritt, beträgt 1/3. Ansonsten sind nur noch -stetig- alle rellen Zahlen ab +2 möglich.
(Überlege dir, warum keine Werte im Intervall
-1<t<2 möglich sind.)
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 Fr 28.02.2014 | | Autor: | Mathics |
> Hallo,
> es kann ein konkreter Wert angenommen werden, nämlich -1.
> Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser diskrete Wert auftritt,
> beträgt 1/3. Ansonsten sind nur noch -stetig- alle rellen
> Zahlen ab +2 möglich.
> (Überlege dir, warum keine Werte im Intervall
> -1<t<2 möglich sind.)
> Gruß Abakus
Hi,
achso, ich hab deinen Tipp jetzt so verstanden:
P(t=1) wäre z.B. 0, da das Integral [mm] \integral_{1}^{1}{1/3t dt} [/mm] gleich Null ist.
Aber -1 betrifft sozusagen zwei Abschnitte. P(t=-1) = 1/3*(-1) - 0*(-1) = -1/3.
Oder moment: das ist doch ein diskreter Teil: Also nur 1/3 - 0 = 1/3, oder?
b)
Genau dasselbe ist auch bei t=2, oder?
P(t=2) = x - ln(t) - t/3 = 2 - ln(2) - 2/3 = 0,64
Hmm, aber in den Lösungen steht 1/6.
Oder muss ich das wie bei den diskreten Zufallsvariablen rechnen: 1-1/t - 1/3 = 1/2 - 1/3 = 1/6 ??
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Hallo,
vorneweg: ich glaube, den Kern der Sache hast du noch nicht verstanden. Auch ich hab ehrlich gesagt zwei- bis dreimal große Augen gemacht, bevor ich das ganze kapiert habe (dank dem etwas kurzen Tipps von abakus, der dafür aber den Kern des Problems trifft.
> > Hallo,
> > es kann ein konkreter Wert angenommen werden, nämlich
> -1.
> > Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser diskrete Wert auftritt,
> > beträgt 1/3. Ansonsten sind nur noch -stetig- alle rellen
> > Zahlen ab +2 möglich.
> > (Überlege dir, warum keine Werte im Intervall
> > -1<t<2 möglich sind.)
> > Gruß Abakus
>
> Hi,
>
> achso, ich hab deinen Tipp jetzt so verstanden:
>
> P(t=1) wäre z.B. 0,
> da das Integral [mm]\integral_{1}^{1}{1/3t dt}[/mm]
> gleich Null ist.
Soweit stimmt das.
>
> Aber -1 betrifft sozusagen zwei Abschnitte. P(t=-1) =
> 1/3*(-1) - 0*(-1) = -1/3.
>
> Oder moment: das ist doch ein diskreter Teil: Also nur 1/3
> - 0 = 1/3, oder?
>
> b)
>
> Genau dasselbe ist auch bei t=2, oder?
>
> P(t=2) = x - ln(t) - t/3 = 2 - ln(2) - 2/3 = 0,64
>
> Hmm, aber in den Lösungen steht 1/6.
>
> Oder muss ich das wie bei den diskreten Zufallsvariablen
> rechnen: 1-1/t - 1/3 = 1/2 - 1/3 = 1/6 ??
Nein, es ist einfach
[mm] P(-1<{X}\le{3})=P(2\le{X}\le{3})=\bruch{2}{3}-\bruch{1}{2}=\bruch{1}{6}
[/mm]
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Fr 28.02.2014 | | Autor: | Mathics |
>
> Nein, es ist einfach
>
> [mm]P(-1
>
>
> Gruß, Diophant
Hi,
laut unserer Lösung ist P(x=2) = 1/6 und [mm] P(-1
LG
Mathics
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 Fr 28.02.2014 | | Autor: | abakus |
>
> >
> > Nein, es ist einfach
> >
> >
> [mm]P(-1
> >
> >
> > Gruß, Diophant
>
> Hi,
>
> laut unserer Lösung ist P(x=2) = 1/6 und [mm]P(-1
> aber 1/3
Hallo,
an der Stelle x=2 springt F(x) schlagartig von 1/3 auf 1-(1/2)=1/2. Somit steigt F(x) dort um 1/6.
Deshalb besitzt neben der Stelle X=-1 auch die Stelle X=2 eine diskrete Wahrscheinlichkeit, das hatte ich in meinem ersten Post übersehen.
Kommen wir zu [mm]P(-1
Der Wert -1 kommt wegen -1<X nicht mit vor.
Die Wahrscheinlichkeit, dass Werte -1<X<2 auftreten, ist Null. Somit setzt sich [mm]P(-1
P(X=2) ist bereits errechnet, der Rest berechnet sich aus F(3)-F(2).
Gruß Abakus
>
>
> LG
> Mathics
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:19 Sa 01.03.2014 | | Autor: | Mathics |
> Kommen wir zu [mm]P(-1
> Der Wert -1 kommt wegen -1<X nicht mit vor.
> Die Wahrscheinlichkeit, dass Werte -1<X<2 auftreten, ist
> Null. Somit setzt sich [mm]P(-1
> aus [mm]P(X=2)+P(2
>
> P(X=2) ist bereits errechnet, der Rest berechnet sich aus
> F(3)-F(2).
> Gruß Abakus
>
Bei stetigen Zufallsvariablen gilt ja [mm] P(2
Wieso berechne ich denn [mm] P(2
LG
Mathics
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:01 Sa 01.03.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo Mathics,
das Problem bei dieser Aufgabe besteht darin, dass die Verteilungsfunktion eben nicht stetig ist, sondern Sprünge aufweist. Diese werden in der Dichtefunktion durch Deltasprünge dargestellt, die gerade die Höhe der Differenz des links- und des rechtsseitigen Grenzwertes an dieser Stelle haben. Solch eine Stelle gibt es in dieser Aufgabe an zwei Stellen, nämlich bei t=-1, hier springt die Verteilungsfunktion von 0 auf 1/3 (der Deltaimpuls in der Dichtefunktion ist demzufolge 1/3 hoch) und ein weiterer Sprung passiert bei X=2, hier springt die Verteilungsfunktion von 1/3 auf 1/2, die Deltafunktion ist also 1/6 hoch. Insofern hast Du eine Mischung aus einer stetigen und einer diskreten Verteilung. Bei jeder stetigen (aber nur bei der) Verteilung gilt der von Dir erwähnte Zusammenhang, dass die Wahrscheinlichkeit an einer Stelle [mm] t_i [/mm] den Wert Null annimmt.
[mm] P(t=t_i) = 0 = \int_{t=t_i}^{t_i} f(t) \, dt [/mm]
Bei einer diskreten Verteilung gilt dies nicht mehr, da die Differenz von rechts und linksseitigem Grenzwert an dieser Stelle ja gerade die Höhe des Deltaimpulses ist.
Insofern bekommst Du die Wahrscheinlichkeit als Summe aus der Integration über die stetige Verteilung und der Summe der im betrachteten Bereich auftretenden Deltaimpulswerte.
Ich habe Dir die Dichteverteilung mal hier skizziert:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Du siehst den Deltaimpuls bei t = -1 und auch den bei t = 2, der sich überlagert mit dem Beginn der stetigen Dichtefunktion.
Ich hoffe, die Sache ist etwas klarer nun für Dich 
Viele Grüße,
Infinit
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:57 Sa 01.03.2014 | | Autor: | luis52 |
Moin,
ergaenzend moechte ich noch auf ![[]](/images/popup.gif) das hier, Seite 62-64 hinweisen.
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