Stetigkeit einer Funktion < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:51 Mi 23.07.2008 | | Autor: | svcds |
| Aufgabe | Prüfen Sie, ob die Funktion stetig ist
f(x) = { -x für [-1,1) und x für (1,3] } |
Hi, also mein Prof hat da raus, dass die stetig ist, ich habe aber das Gegenteil herausbekommen.
Wer hat Recht?
Liebe Grüße svcds
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:55 Mi 23.07.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Dann schreib doch mal deinen Gegenbeweis an der kritischen Stelle auf, dann sehen wir, ob di recht hast, oder der Prof.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:59 Mi 23.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Dein Prof. (falls Du die Aufgabe wirklich korrekt widergegeben hast)
Der Def. -Bereich von f ist [-1,1) [mm] \cup [/mm] (1,3], die 1 gehört also nicht zum Def. -Bereich und f ist auf [-1,1) stetig und auf (1,3] stetig.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 Mi 23.07.2008 | | Autor: | svcds |
also die 1 gehört nicht zum Def.Bereich von f wegen den runden Klammern hab ich das richtig verstanden?
1 ist ja die "Nahtstelle".
Dann hab ich das verstanden vielen Dank.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:18 Mi 23.07.2008 | | Autor: | fred97 |
O.K.
FRED
|
|
|
| |
|
> Dein Prof. (falls Du die Aufgabe wirklich korrekt
> widergegeben hast)
>
> Der Def. -Bereich von f ist [-1,1) [mm]\cup[/mm] (1,3], die 1
> gehört also nicht zum Def. -Bereich und f ist auf [-1,1)
> stetig und auf (1,3] stetig.
>
> FRED
Hallo Fred,
wie würdest du die folgende Frage beantworten:
"Ist die Funktion [mm]\ f: x \rightarrow\ \bruch{1}{x}[/mm] durchwegs stetig ?"
al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:58 Mi 23.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Hallo Al,
auf [mm] \IR [/mm] \ {0} ist sie stetig.
FRED
|
|
|
| |
|
> Hallo Al,
>
> auf [mm]\IR[/mm] \ {0} ist sie stetig.
>
> FRED
Absolut einverstanden;
allerdings habe ich gefragt, ob sie "durchwegs" stetig sei... 
Wenn man die "strenge" Definition des Stetigkeitsbegriffs,
(bei der isolierte Definitionslücken nie Unstetigkeitsstellen
sein können !) konsequent weiterführt:
sind dann also die Begriffe "hebbare Unstetigkeit"
(und daneben eben auch solche, die nicht hebbar sind)
bei gebrochen rationalen Funktionen nur Geschwafel
oder Schwachsinn, weil es da überhaupt keine Unstetigkeiten
gibt, die man allenfalls beseitigen könnte... (?)
Ich denke, dass da im Bereich des Analysisunterrichts in
den Schulen und Universitäten keine einheitliche Sprechweise
herrscht.
lieben Gruß
(ich habe diese Meldung nachträglich leicht modifiziert,
obwohl sie schon beantwortet wurde)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:32 Mi 23.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Hallo Al (ist Al korrekt?)
Was ""durchwegs" stetig" bedeuten soll , ist mir nicht so ganz klar.
Besser: stetig auf dem Def. _ Bereich.
f(x) = 1/x ist auf $ [mm] \IR [/mm] $ \ {0} def. und dort in jedem Punkt stetig.
An Universitäten gibt es ein (ziemlich) einheitliche Sprechweisen (ich habe oft genug Vorlesungen wie "Analysis", "Funktionentheorie", "Funktionalanalysis", etc...., abgehalten).
In der reellen Analysis spricht man von "hebbaren Definitionslücken".
In der komplexen Analysis (im Zusammenhang mit holomorphen Funktionen) ist der Begriff der "hebbaren Singularität" ("removable singularity") weltweit etabliert.
Was Schulen betrifft, stimme ich Dir im Punkt "Geschwafel" zu.
Grüße FRED
|
|
|
| |
|
> Hallo Al
> Was ""durchwegs" stetig" bedeuten soll , ist mir nicht so
> ganz klar.
mal ganz naiv, anschaulich ! stetige Kurven sind zusammenhängend
> An Universitäten gibt es ein (ziemlich) einheitliche
> Sprechweisen (ich habe oft genug Vorlesungen wie
> "Analysis", "Funktionentheorie", "Funktionalanalysis",
> etc...., abgehalten).
wenn das so ist: das war wohl aber kaum seit jeher so
>
> In der reellen Analysis spricht man von "hebbaren
> Definitionslücken".
> In der komplexen Analysis (im Zusammenhang mit holomorphen
> Funktionen) ist der Begriff der "hebbaren Singularität"
> ("removable singularity") weltweit etabliert.
praktisch, so ein Fremdwort, das die verschiedenenen Fälle
in ein Paket schnürt (ob nun [mm] f(x_0) [/mm] existiert oder nicht) und
einem die Begriffsklaubereien um "Unstetigkeitsstellen" erspart !
> Was Schulen betrifft, stimme ich Dir im Punkt "Geschwafel"
> zu.
Ob an Schulen oder Hochschulen mehr davon zu finden
ist, möchte ich anderen zu beurteilen überlassen...
LG Al
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:31 Do 24.07.2008 | | Autor: | Somebody |
> > Hallo Al
>
> > Was ""durchwegs" stetig" bedeuten soll , ist mir nicht so
> > ganz klar.
Ich denke: es bedeutet, dass die Funktion auf ihrem ganzen Definitionsbereich stetig ist. Ausserhalb ihres Definitionsbereichs hat eine Funktion so manche Eigenschaft nicht. Zum Beispiel ist auch der [mm] $\ln:\IR_{+}\rightarrow \IR$ [/mm] nicht auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] definiert. Würde man ihn deshalb nicht (überall) stetig und (überall) differenzierbar und ... und ... nennen wollen: nur weil er ausserhalb seines Definitionsbereiches gewisse Eigenschaften nicht besitzt?
> mal ganz naiv, anschaulich ! stetige Kurven sind
> zusammenhängend
Harro Heuser schreibt, in einem ähnlichen Zusammenhang: "Die Funktion [mm] $x\mapsto [/mm] 1/x$ ist auf [mm] $\IR\backslash\{0\}$ [/mm] definiert, ihr Graph ist in $0$ 'zerrissen', sie ist aber im Punkte $0$ nicht unstetig, auch nicht stetig - sondern nur nicht definiert." (Lehrbuch der Analysis, Teil 1, 16. Auflage, Seite 213)
>
> > An Universitäten gibt es ein (ziemlich) einheitliche
> > Sprechweisen (ich habe oft genug Vorlesungen wie
> > "Analysis", "Funktionentheorie", "Funktionalanalysis",
> > etc...., abgehalten).
>
> wenn das so ist: das war wohl aber kaum seit jeher so
> >
> > In der reellen Analysis spricht man von "hebbaren
> > Definitionslücken".
> > In der komplexen Analysis (im Zusammenhang mit
> holomorphen
> > Funktionen) ist der Begriff der "hebbaren Singularität"
> > ("removable singularity") weltweit etabliert.
>
> praktisch, so ein Fremdwort, das die verschiedenenen Fälle
> in ein Paket schnürt (ob nun [mm]f(x_0)[/mm] existiert oder
> nicht) und
> einem die Begriffsklaubereien um "Unstetigkeitsstellen"
> erspart !
Eine Unstetigkeitstelle ist jedenfalls in allen Büchern, die ich auf die Schnelle konsultieren konnte, als eine Stelle des Definitionsbereichs der Funktion definiert, an der sie nicht stetig ist. Ausserhalb ihres Definitionsbereiches besitzt eine Funktion somit per definitionem keine Unstetigkeitstellen. Wer eine Funktion, die nicht überall definiert ist, dort generell als "nicht stetig" bezeichnen möchte, müsste sich mit der eigenartigen Situation abfinden, dass eine solche Funktion nicht (überall) stetig wäre, ohne auch nur eine einzige Unstetigkeitstelle zu besitzen.
Und was heisst schon "überall": wird hier nicht eine bloss implizite - und wenn man so will reichlich willkürliche - Annahme über eine zugrundeliegende Grundmenge gemacht? Denn jede Funktion ist auf einer geeignet gewählten Grundmenge nicht überall definiert - und damit nicht überall (d.h. auf dieser passend pathologisch gewählten Grundmenge) stetig. Dann wären aber alle Funktionen in diesem Sinne "nicht überall stetig" und eine solche Rede wäre ohne jeden Inhalt.
> > Was Schulen betrifft, stimme ich Dir im Punkt "Geschwafel"
> > zu.
>
> Ob an Schulen oder Hochschulen mehr davon zu finden
> ist, möchte ich anderen zu beurteilen überlassen...
Zufällig weiss ich von einer in Köln wohnhaften Gymnasiastin der 12. Klasse, die diesen Frühling "nur" eine 2 für ihre Facharbeit erhielt: und zwar mit der Begründung, dass ihre Facharbeit die falsche Aussage "gebrochenrationale Funktionen seien stetig" enthalte.
Man würde erwarten, dass Gymnasiallehrer in einer Frage weniger hart urteilen, in der sich die Experten auch nicht so recht einig sind.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:27 Do 24.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Schön, dass Du Heuser, meinen Doktorvater, zitierst
FRED
|
|
|
| |
|
> Schön, dass Du Heuser, meinen Doktorvater, zitierst
>
> FRED
Hallo,
dieses Forum ist eben rund um die Uhr ein Quell der Freude.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:54 Do 24.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Hallo Angela,
so ist es,
bis auf den einen oder anderen "erstaunlichen User".
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:40 Do 24.07.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Hallo Fred,
>
> wie würdest du die folgende Frage beantworten:
>
> "Ist die Funktion [mm]\ f: x \rightarrow\ \bruch{1}{x}[/mm]
> durchwegs stetig ?"
Ich bin zwar nicht Fred, aber ich antworte trotzdem mal: natuerlich ist diese Funktion von [mm] $\mathbb{P}^1(\IR)$ [/mm] nach [mm] $\mathbb{P}^1(\IR)$ [/mm] stetig, ja, sogar unendlich oft stetig diffbar ist sie.
SCNR
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:16 Mi 23.07.2008 | | Autor: | Al-Chwarizmi |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f :
[m]\ f(x)=\I1_{\IR^+}\ =\ \begin{cases} 0, & \mbox{für } x\le 0 \\ 1, & \mbox{für } x> 0 \end{cases}[/m]
a) Ist die Funktion f stetig ?
b) Wie kann man aus f durch eine minimale Abänderung
eine stetige Funktion machen ? |
(Die Frage b) sollte eigentlich erst gestellt werden, nachdem a) richtig beantwortet ist ...)
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f :
[m]\ f(x)=\I1_{\IR^+}\ =\ \begin{cases} 0, & \mbox{für } x\le 0 \\ 1, & \mbox{für } x> 0 \end{cases}[/m]
a) Ist die Funktion f stetig ?
b) Wie kann man aus f durch eine minimale Abänderung
eine stetige Funktion machen ? |
Lösung:
a) natürlich nicht (da sind wohl alle einverstanden)
b) man unterdrücke den Funktionswert bei x=0 !
neue Funktion:
[m]\ f_{neu}(x)\ =\ \begin{cases} 0, & \mbox{für } x< 0 \\ 1, & \mbox{für } x> 0 \end{cases}[/m]
Die Funktion [mm] f_{neu} [/mm] ist stetig !
(in ihrem ganzen Definitionsbereich !)
Ob mit dieser Lösung der obigen Aufgabe auch noch alle
einverstanden sind, wage ich aber zu bezweifeln !
feedbacks willkommen !
Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:08 Do 24.07.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo Al,
ich kann Dein Unbehagen irgendwo verstehen, bin aber duchaus der Meinung von Fred; genauso habe ich vor 35 Jahren Stetigkeit gelernt (nach der Schule).
Bitte bedenke, dass die Manipulation, die Du an Deinem Beispiel vornimmts (Teil b) den Definitionsbereich in zwei Zusammenhangskomponenten zerlegt (und das gilt ja auch für f(x) = 1/x), während es bei a) eine ist.
Gruß
Uli
|
|
|
| |
|
> Hallo Al,
>
> ich kann Dein Unbehagen irgendwo verstehen, bin aber
> duchaus der Meinung von Fred; genauso habe ich vor 35
> Jahren Stetigkeit gelernt (nach der Schule).
> Bitte bedenke, dass die Manipulation, die Du an Deinem
> Beispiel vornimmts (Teil b) den Definitionsbereich in zwei
> Zusammenhangskomponenten zerlegt (und das gilt ja auch für
> f(x) = 1/x), während es bei a) eine ist.
>
> Gruß
> Uli
hallo Uli,
Es geht mir eben nicht so sehr darum, dem meinetwegen
akademisch sanktionierten Begriff zu huldigen (auch ich habe
ihn im Studium gelernt), sondern seinen Sinn mit gesundem
Menschenverstand und Sprachverstand zu hinterfragen.
Was bedeutet "Stetigkeit" in der deutschen Sprache ?
Und Stetigkeit hat geometrisch eben wirklich mit Zusammenhang
zu tun; wenn ich eine Kurve, z.B. eine Hyperbel, vor mir
habe, die aus verschiedenen Zusammenhangskomponenten
(Ästen) besteht, dann ist sie eben offensichtlich insgesamt
nicht stetig (ausser wir gehen in die projektive Geometrie),
ob jetzt da irgendwo noch ein Lücken-Füller-Punkt
definiert sein mag oder nicht. Man könnte sich durchaus einen ebenso
fundierten Stetigkeitsbegriff vorstellen, welcher auch auf solche
(isolierten) Stellen [mm] x_0 [/mm] anwendbar ist, die nicht im Definitions-
bereich von f liegen.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
> Ob mit dieser Lösung der obigen Aufgabe auch noch alle
> einverstanden sind, wage ich aber zu bezweifeln !
>
Hallo,
daß das dem entspricht, was man zum Thema Stetigkeit an der Uni lernt, steht ja nicht zur Debatte.
Das Problem liegt wohl eher in der Schule, daran, wie man mit den Begriff der Stetigkeit dort umgeht.
Ich selbst habe in meiner Schulzeit Stetigkeit mit dem [mm] \varepsilon-\delta-Kriterium [/mm] gelernt, und wir wußten tatsächlich auch, daß zum Reden über Stetigkeit ein Blick auf den Definitionsbereich nötig ist.
Wir kannten Definitionslücken, Polstellen, und solche Definitionslücken, an welchen man die gegebene Funktion so ergänzen kann, daß die neue Funktion stetig ist und solche, an denen das nicht geht - wie sich das nannte, weiß ich gar nicht mehr, ich glaube "hebbar" kam bei uns nicht vor.
Wir (bzw. die, die's konnten...) hätten Deine Aufgabe so gelöst, daß Unimathematiker zufrieden gewesen wären.
All das kollidierte auch nicht mit der Vorstellung des zusammenhängenden Graphen: die stetigen Funktionen hatten innerhalb zusammenhängender Bereiche des Definitionsbereiches zusammenhängende Graphen, damit war auch der Anschauung Genüge getan.
Mir scheint, daß die Probleme anfangen, wenn ein Kuddelmuddel zugelassen wird zwischen Alltagssprache und mathematischen Begriffen.
Ich kann mir tatsächlich Mathematikkurse vorstellen, in denen man auf den Stetigkeitsbegriff verzichtet und sich der Frage zuwendet, ob man den Graphen ohne abzusetzen zeichnen kann, und was mit der Stelle ist, an der man absetzen muß. Aber muß man deshalb mit so halbseidenen Begriffen hantieren wie z.B. mit "durchwegs stetig", was weiter oben in dieser Diskussion erwähnt wurde? Ich meine: nein. Bei solchen Dingen würde ich mir etwas Problembewußtsein seitens der Fachlehrer wünschen, und natürlich, falls dies auch Schulbücher betrifft, seitens der Autoren. (Voraussetzung dieser Gedanken ist natürlich, daß die Begriffe der Hochschulmathematik "richtig" sind, und daß diese der Maßstab für das Tun der Schule sind.)
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:37 Do 24.07.2008 | | Autor: | rabilein1 |
Beim Lesen dieses Threads hatte ich den Eindruck, als wäre ich auf einer juristischen (und nicht in einer mathematischen) Seite.
Überall gilt jedoch: Bevor man etwas diskutiert, müssen alle die gleiche Definition eines Begriffes verwenden. Andernfalls ist es nicht verwunderlich, wenn man zu unterschiedlichen Ergebnissen kommt.
(Bei einer WM kann auch nicht der eine Schiedsrichter die Abseitsregeln von 1972 anwenden und ein anderer die Regeln von 2005)
|
|
|
| |
|
Hallo rabilein !
genau da liegt wohl das Pfefferkorn im Hasen !
Ich erinnere mich noch genau an die Definition der
Stetigkeit, wie wir sie damals an der Schule lernten:
f ist an einer Stelle [mm] x_0 [/mm] genau dann stetig, falls
folgende beiden Bedingungen erfüllt sind:
1.) [mm] f(x_0) [/mm] existiert, d.h. [mm] x_0 \in D_f
[/mm]
2.) [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0) [/mm] (x [mm] \in D_f)
[/mm]
Nach dieser Definition ist f: x [mm] \to \bruch{1}{x}
[/mm]
an der Stelle [mm] x_0 [/mm] = 0 nicht stetig.
Dies ist keine schlampige Definition, und man ist auch
nicht schlampig mit ihr umgegangen.
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:51 Do 24.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Hallo Al,
mir scheint, man kann ewig über diese Sache diskutieren. Deshalb muß ich auch noch etwas loswerden.
Deine obige Fassung der Stetigkeit von f in $ [mm] x_0 [/mm] $ ist nur dann richtig, wenn
$ [mm] x_0 [/mm] $ auch noch Häufungspunkt von [mm] D_f [/mm] ist .
In folgendem Beispiel ist $ [mm] x_0 [/mm] $ = 2 ein isolierter Punkt von [mm] D_f:
[/mm]
Sei [mm] D_f [/mm] := [0,1] [mm] \cup [/mm] {2} und f: [mm] D_f [/mm] --> [mm] \IR [/mm] def. durch
f(x): = 1, falls x [mm] \in [/mm] [0,1],
f(2): = 17.
Preisfrage: ist f stetig in $ [mm] x_0 [/mm] $ = 2 ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:04 Do 24.07.2008 | | Autor: | rabilein1 |
Fred97: Genau diese Frage ist das, was ich mit "juristischer Haarspalterei" meinte.
Da du den Punkt "2" isoliert behandeln willst, verhinderst du damit, dass man seine Umgebung betrachtet - also dass man die Definition von Al-Chwarizmi anwenden kann.
So eine Anschauung ist aber meines Erachtens so ähnlich, als wolle man bei einem 1985 begangenen Mord untersagen, eine DNA-Analyse anzuwenden, weil man dieses Verfahren 1985 noch gar nicht kannte. Nach dem Motto: Man darf einen Mord nur mit den technischen Mitteln aufklären, die zum Zeitpunkt des Mordes bekannt waren.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:51 Do 24.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Hallo Rabilein,
das ist keine "juristischer Haarspalterei" !
Die Situation , dass im Def.-Bereich einer Funktion ein isolierter Punkt liegt, ist doch nichts exotisches, denke an allgemeine topologische Räume und Abbildungen zwischen solchen. Warum soll man nicht die Umgebungen solcher isol. Punkte betrachten können ?
Es ist so: eine Fkt. ist in einem isolierten Punkt ihres Def.-Bereiches immer stetig.
Das kann man leicht mit dem [mm] \epsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] - Kriterium nachprüfen.
FRED
|
|
|
| |
|
> Hallo Al,
>
> mir scheint, man kann ewig über diese Sache diskutieren.
habe ich nicht vor !
> Deshalb muß ich auch noch etwas loswerden.
nur los
>
> Deine obige Fassung der Stetigkeit von f in [mm]x_0[/mm] ist nur
> dann richtig,
Die Definition war genau so - und man kann eigentlich
nur über Konsequenzen, Widerspruchslosigkeit und
Zweckmässigkeit einer Definition reden, nicht über ihre
"Richtigkeit". Sollte sie nicht zweckmässig sein, so kann man
versuchen, eine bessere zu finden.
> wenn [mm]x_0[/mm] auch noch Häufungspunkt von [mm]D_f[/mm] ist .
>
> In folgendem Beispiel ist [mm]x_0[/mm] = 2 ein isolierter Punkt von
> [mm]D_f:[/mm]
>
> Sei [mm]D_f[/mm] := [0,1] [mm]\cup[/mm] {2} und f: [mm]D_f[/mm] --> [mm]\IR[/mm] def. durch
>
> f(x): = 1, falls x [mm]\in[/mm] [0,1],
> f(2): = 17.
>
> Preisfrage: ist f stetig in [mm]x_0[/mm] = 2 ?
> FRED
In Wikipedia, "Continuous function" findet man:
To be more precise, we say that the function f is continuous at some point c when the following two requirements are satisfied:
* f(c) must be defined (i.e. c must be an element of the domain of f).
* The limit of f(x) as x approaches c must exist and be equal to f(c).
(If the point c in the domain of f is not a limit point of the domain,
then this condition is vacuously true, since x cannot approach c.
Thus, for example, every function whose domain is the set of all
integers is continuous, merely for lack of opportunity to be otherwise.
However, one does not usually talk about continuous functions in this setting.)
Schönen Gruß !
|
|
|
| |
|
Natürlich könnte man die Definition auch so setzen:
f ist an einer Stelle [mm] x_0 \in \IR [/mm] stetig genau dann,
wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind:
1.) [mm] x_0 \in D_f
[/mm]
2.) [mm] x_0 [/mm] ist Häufungspunkt von [mm] D_f
[/mm]
3.) [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0) [/mm] (x [mm] \in D_f)
[/mm]
Unstetigkeitsstellen von f sind solche Zahlen, welche
zwar Häufungspunkte von [mm] D_f [/mm] sind, aber entweder die
Bedingung 1.) oder 3.) oder beide verletzen.
Vielleicht könnte man damit die Diskrepanzen zwischen
der abstrakten Definition und dem "anschaulichen" Begriff
der Stetigkeit "verstetigen"... und zwar nicht durch eine
Mogelei, sondern auf die feine mathematische Art.
Insgesamt scheint mir, dass wir hier ein Fass mit ganz
doll prickelndem Inhalt angezapft haben...
LG
|
|
|
| |
|
> Hallo Al,
>
> mir scheint, man kann ewig über diese Sache diskutieren.
> Deshalb muß ich auch noch etwas loswerden.
>
> Deine obige Fassung der Stetigkeit von f in [mm]x_0[/mm] ist nur
> dann richtig, wenn
> [mm]x_0[/mm] auch noch Häufungspunkt von [mm]D_f[/mm] ist .
>
> In folgendem Beispiel ist [mm]x_0[/mm] = 2 ein isolierter Punkt von
> [mm]D_f:[/mm]
>
> Sei [mm]D_f[/mm] := [0,1] [mm]\cup[/mm] {2} und f: [mm]D_f[/mm] --> [mm]\IR[/mm] def. durch
>
> f(x): = 1, falls x [mm]\in[/mm] [0,1],
> f(2): = 17.
>
> Preisfrage: ist f stetig in [mm]x_0[/mm] = 2 ?
Hallo,
was gibt's zu gewinnen?
Antwort:
Mit der Def. von Grenzwert, die ich und z.B. Al-Chwarizmi gelernt haben und verwenden: ja.
Mit der Def. von Grenzwert, die Du und z.B. felixf verwenden: nein.
Ich denke, damit kann man leben...
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:33 Do 24.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Hallo Angela,
mit Deiner Antwort bin ich nicht zufrieden. Es gab nie verschiedene Def. von Grenzwert.
Um die ganze Diskussion zu beenden, folgendes zur Stetigkeit:
Sei D [mm] \subset \IR, [/mm] f:D --> [mm] \IR [/mm] eine Funktion und [mm] x_{0} \in [/mm] D.
Def.: f ist in [mm] x_{0} [/mm] stetig genau dann wenn es zu jeder Umgebung V von [mm] f(x_{0}) [/mm] eine Umgebung U von [mm] x_{0} [/mm] gibt, sodass f(U [mm] \cap [/mm] D) [mm] \subset [/mm] V.
Ich denke das ist die Def. von Stetigkeit in [mm] x_{0} [/mm] (die sich auch wörtlich in topologische Räume übernehmen lässt)
Damit kann man leicht nachprüfen:
ist [mm] x_{0} [/mm] ein isolierter Punkt von D, so ist f in [mm] x_{0} [/mm] stetig,
ist [mm] x_{0} [/mm] ein Häufungspunkt von D, so gilt: f ist in [mm] x_{0} [/mm] stetig [mm] \gdw
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}}f(x) [/mm] = [mm] f(x_{0}).
[/mm]
Grüße
FRED
|
|
|
| |
|
> Hallo Angela,
> mit Deiner Antwort bin ich nicht zufrieden.
Hallo,
ja, es ist mir inzwischen auch aufgefallen, daß Du, wenn der betrachtete Punkt kein Häufungspunkt ist, "Dein" Folgenkriterium natürlich nicht anwenden würdest.
> Es gab nie
> verschiedene Def. von Grenzwert.
Meiner Information und Beobachtung nach ist das für den GW von Funktionen doch der Fall:
1. Der Grenzwert von Funktionen an der Stelle a wird überhaupt nur definiert für den Fall, daß a Häufungspunkt des Definitionsbereiches ist,
2. Es wird gefordert, daß es mindestens eine Folge [mm] (x_n)\in [/mm] Definitionsbereich gibt, die gegen den zu betrachtenden Punkt a konvergiert. Nach dieser Def. haben Funktionen an isolierten Punkten einen Grenzwert, nämlich ihren Funktionswert.
Macht man sich diese 2. Def. zu eigen - ich selbst habe nur diese gelernt! - so ist die Stetigkeitsdef., welche Al-Chwarizmi präsentiert, äquivalent zur [mm] \varepsilon-\delta-Definition [/mm] der Stetigkeit.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:55 Do 24.07.2008 | | Autor: | rabilein1 |
Genau so kenne ich das auch, Al-Chwarizmi, und deshalb wunderte es mich, dass es hier überhaupt zu einer einer Diskussion hinsichtlich einer anderen Möglichkeit kam.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:10 Do 24.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
Das Problem bei dieser Definitionist aber, dass man dafür eine "größere Grundmenge" braucht (wie schon weiter oben gesagt wurde).
Nach deiner Definition wäre also auch z.B. [mm] f:\IR \to \IR, f(x):=x [/mm] nicht überall stetig, denn sie ist ja z.B. in 3+6i nicht definiert.
|
|
|
| |
|
Hallo!
Genau so haben wir die Stetigkeit in der Schule auch definiert. Mich würde es jetzt auch ziemlich erschüttern zu hören, dass [mm] f(x)=\bruch{1}{x} [/mm] an der Stelle [mm] x_0=0 [/mm] stetig ist.Das sollte doch eine unhebbare Unstetigkeit sein also eine Polstelle.
Merkwürdig, das es in einer Sprache wie der Mathematik, die Missverständnisse um jeden Preis zu vermeiden versucht, derartige Unstimmigkeiten gibt....
Gruß
Angelika
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:14 Do 24.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Merkwürdig, das es in einer Sprache wie der Mathematik,
> die Missverständnisse um jeden Preis zu vermeiden versucht,
> derartige Unstimmigkeiten gibt....
Also ich hab bisher an der Uni noch nie unterschiedliche Definitionen von Stetigkeit gehört (und ich hab mir auch schon viele "Standart"-Bücher angeschaut).
Das Problem kommt also anscheinend aus der Schule.... da kennt man nur die reellen Zahlen und deswegen ist es in diesem Falle vielleicht sogar ganz nett, wenn man 1/x als unstetig in 0 definiert - aber ausserhalb der Schule ist das Unsinn.
Es ist ungefähr genauso wie wenn man sagt, dass Stetigkeit bedeutet das man den Graphen durchmalen kann.... aber "den Graphen durchmalen" impliziert eigentlich unendlich-fache Differenzierbarkeit wenn man es genau nimmt.
|
|
|
| |
|
> Es ist ungefähr genauso wie wenn man sagt, dass Stetigkeit
> bedeutet das man den Graphen durchmalen kann.... aber "den
> Graphen durchmalen" impliziert eigentlich unendlich-fache
> Differenzierbarkeit wenn man es genau nimmt.
Das stimmt natürlich nicht.
Eine Zickzack-Linie zu zeichnen ist keine Zauberei ... wenn
wir die Diskussion auf das Niveau des gesunden Menschen-
verstandes zurückschrauben.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:45 Mi 20.08.2008 | | Autor: | Merle23 |
> > Es ist ungefähr genauso wie wenn man sagt, dass Stetigkeit
> > bedeutet das man den Graphen durchmalen kann.... aber "den
> > Graphen durchmalen" impliziert eigentlich unendlich-fache
> > Differenzierbarkeit wenn man es genau nimmt.
>
> Das stimmt natürlich nicht.
> Eine Zickzack-Linie zu zeichnen ist keine Zauberei ...
> wenn
> wir die Diskussion auf das Niveau des gesunden Menschen-
> verstandes zurückschrauben.
>
Wow... diese Diskussion ist doch schon eigentlich tot gewesen und du kramst sie noch aus ^^
Ok... hast Recht. Ich verbessere meine Aussage. Den Graphen mit dem Stift durchmalen zu können impliziert mindestens stückweise stetige Differenzierbarkeit. Können wir uns darauf einigen?
|
|
|
| |
|
jo ! 
|
|
|
| |
|
> Hallo!
>
> Genau so haben wir die Stetigkeit in der Schule auch
> definiert. Mich würde es jetzt auch ziemlich erschüttern zu
> hören, dass [mm]f(x)=\bruch{1}{x}[/mm] an der Stelle [mm]x_0=0[/mm] stetig
> ist.
Ogottogott, das hat (doch hoffentlich) niemand behauptet...
Die Frage war eher, ob 1/x an der Stelle 0 unstetig ist. Was nicht der Fall ist, da die Funktion an der Stelle 0 nicht definiert ist und sich somit ein Sinnieren über (Un)Stetigkeit erübrigt.
> Das sollte doch eine unhebbare Unstetigkeit
Und genau dieser Ausdruck ist suspekt, weil er unstetigkeit suggeriert, wo keine ist.
> also
> eine Polstelle.
Daß da eien Polstelle ist, will ich nicht bezweifeln.
Aber "also eine Polstelle"?
Betrachte
[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\le0 \mbox{ } \\ 1, & \mbox{für } x>0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Diese Funktion ist unstetig an der Stelle 0, und man kann diese unstetigkeit nicht "heben". Einen Pol gibt's da nicht.
Gruß v. Angela
> Merkwürdig, das es in einer Sprache wie der Mathematik,
> die Missverständnisse um jeden Preis zu vermeiden versucht,
> derartige Unstimmigkeiten gibt....
>
> Gruß
>
> Angelika
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal!
> Ogottogott, das hat (doch hoffentlich) niemand
> behauptet...
Entschuldigung, ist wohl die Phantasie mit mir durchgegangen....
>
> Die Frage war eher, ob 1/x an der Stelle 0 unstetig ist.
> Was nicht der Fall ist, da die Funktion an der Stelle 0
> nicht definiert ist und sich somit ein Sinnieren über
> (Un)Stetigkeit erübrigt.
Ich verstehe die Frage, wollte nur zum Ausdruck bringen dass bei uns in der Schule Polstellen zu den nicht hebbaren Unstetigkeiten zählen, und dass es auch in den Büchern so def. ist.Z.B(Gellrich).Aber es ist für mich auch interessant es aus einer anderen Perspektive zu sehen....
>
> > Das sollte doch eine unhebbare Unstetigkeit
>
> Und genau dieser Ausdruck ist suspekt, weil er unstetigkeit
> suggeriert, wo keine ist.
>
> > also
> > eine Polstelle.
>
> Daß da eien Polstelle ist, will ich nicht bezweifeln.
>
> Aber "also eine Polstelle"?
>
> Betrachte
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\le0 \mbox{ } \\ 1, & \mbox{für } x>0 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> Diese Funktion ist unstetig an der Stelle 0, und man kann
> diese unstetigkeit nicht "heben". Einen Pol gibt's da
> nicht.
Da hab ich mich jetzt missverstandlich ausgedrückt, mit "also eine Polstelle" meinte ich nicht, dass alle unhebbaren Unstetigkeiten Polstellen sein müssen. Wir haben in der Schule zu dieser Art Unstetigkeiten auch noch Oszillationstellen und Sprungstellen gezählt.Definitionslücken haben wir auch behandelt, und sie zu den hebbaren Unstetigkeiten gezählt.
>
Ich wollte nur mal sagen wie ich das aus der schulischen Perspektive sehe...Natürlich habe ich keine Ahnung wie man Stetigkeit an der Uni definiert.Ich finde den Ansatz mit dem Definitionsbereich auch sehr interessant....
Gruß
Angelika
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:47 Do 24.07.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Angelika!
> Ich wollte nur mal sagen wie ich das aus der schulischen
> Perspektive sehe...Natürlich habe ich keine Ahnung wie man
> Stetigkeit an der Uni definiert.Ich finde den Ansatz mit
> dem Definitionsbereich auch sehr interessant....
Die allgemeinste Definition (die ich kenne) der Stetigkeit einer Funktion f ist die, dass das Urbild einer beliebigen offenen Menge unter f wieder eine offene Menge ist. Damit ist der Definitionsbereich automatisch eingearbeitet, denn das Urbild einer beliebigen Menge unter f ist immer eine Teilmenge des Definitionsbereiches von f.
Alle anderen Definitionen sind Spezialfälle davon; das [mm] $\varepsilon$-$\delta$-Kriterium [/mm] bekommt man zum Besipiel, indem man [mm] $\varepsilon$-Umgebungen [/mm] eines Punktes betrachtet (die ja offene Mengen sind).
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:39 Do 24.07.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> genau da liegt wohl das Pfefferkorn im Hasen !
> Ich erinnere mich noch genau an die Definition der
> Stetigkeit, wie wir sie damals an der Schule lernten:
>
> f ist an einer Stelle [mm]x_0[/mm] stetig, falls folgende beiden
> Bedingungen erfüllt sind:
>
> 1.) [mm]f(x_0)[/mm] existiert, d.h. [mm]x_0 \in D_f[/mm]
>
> 2.) [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)[/mm] (x [mm]\in D_f)[/mm]
>
> Nach dieser Definition ist f: x [mm]\to \bruch{1}{x}[/mm]
> an der
> Stelle [mm]x_0[/mm] = 0 nicht stetig.
>
> Dies ist keine schlampige Definition, und man ist auch
> nicht schlampig mit ihr umgegangen.
Mir scheint, das Problem in dieser Diskussion ist nicht die Definition von Stetigkeit, sondern die Frage, was es bedeutet, wenn Stetigkeit eben nicht vorliegt.
Somebody hat das mit seinem Zitat sehr schön dargelegt:
"Die Funktion $ [mm] x\mapsto [/mm] 1/x $ ist auf $ [mm] \IR\backslash\{0\} [/mm] $ definiert, ihr Graph ist in 0 'zerrissen', sie ist aber im Punkte 0 nicht unstetig, auch nicht stetig - sondern nur nicht definiert."
Das heisst: unstetig ist hier nicht das Gegenteil von stetig (im Sinne der formalen Logik) - wäre es das Gegenteil, dann wäre es der Begriff "unstetig" derselbe wie "nicht stetig". Dieser Gegensatz gilt nur dort, wo die Funktion definiert ist.
Ich meine also, dass ihr euch darüber streitet, was genau die Bedeutung von "unstetig" ist.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:41 Do 24.07.2008 | | Autor: | Somebody |
> Hallo rabilein !
>
> genau da liegt wohl das Pfefferkorn im Hasen !
> Ich erinnere mich noch genau an die Definition der
> Stetigkeit, wie wir sie damals an der Schule lernten:
>
> f ist an einer Stelle [mm]x_0[/mm] stetig, falls folgende beiden
> Bedingungen erfüllt sind:
>
> 1.) [mm]f(x_0)[/mm] existiert, d.h. [mm]x_0 \in D_f[/mm]
>
> 2.) [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)[/mm] (x [mm]\in D_f)[/mm]
>
> Nach dieser Definition ist f: x [mm]\to \bruch{1}{x}[/mm]
> an der
> Stelle [mm]x_0[/mm] = 0 nicht stetig.
Richtig. Aber $f$ ist an dieser Stelle auch nicht unstetig. $f$ ist an dieser Stelle auch nicht $>0$ aber auch nicht [mm] $\leq [/mm] 0$. $f$ ist an dieser Stelle $x=0$ primär einmal nicht definiert.
Des weiteren kann man aber gebrochen-rationale Funktionen in der erweiterten komplexen Ebene so definieren, dass sie auf der ganzen erweiterten komplexen Ebene definiert und stetig sind Insofern ist, polemisch formuliert, [mm] $x\to [/mm] 1/x$ nur gerade in dieser reellen Kümmerform an der Stelle $x=0$ nicht stetig (aber, wie gesagt, auch nicht unstetig).
>
> Dies ist keine schlampige Definition, und man ist auch
> nicht schlampig mit ihr umgegangen.
Die Bedingung 1.) ist ja gänzlich redundant. Denn man kann auf der rechten Seite von Bedingung 2.) nicht [mm] $f(x_0)$ [/mm] haben, ohne dass [mm] $x_0\in D_f$ [/mm] ist.
|
|
|
| |
|
> > f ist an einer Stelle [mm]x_0[/mm] stetig, falls folgende beiden
> > Bedingungen erfüllt sind:
> >
> > 1.) [mm]f(x_0)[/mm] existiert, d.h. [mm]x_0 \in D_f[/mm]
> >
> > 2.) [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)[/mm] (x [mm]\in D_f)[/mm]
> >
> > Nach dieser Definition ist f: x [mm]\to \bruch{1}{x}[/mm] an
> > der Stelle [mm]x_0[/mm] = 0 nicht stetig.
> Richtig. Aber [mm]f[/mm] ist an dieser Stelle auch nicht unstetig.
> [mm]f[/mm] ist an dieser Stelle auch nicht [mm]>0[/mm] aber auch nicht [mm]\leq 0[/mm].
> [mm]f[/mm] ist an dieser Stelle [mm]x=0[/mm] primär einmal nicht definiert.
> Des weiteren kann man aber gebrochen-rationale Funktionen
> in der erweiterten komplexen Ebene so definieren, dass sie
> auf der ganzen erweiterten komplexen Ebene definiert und
> stetig sind Insofern ist, polemisch formuliert, [mm]x\to 1/x[/mm]
> nur gerade in dieser reellen Kümmerform an der Stelle [mm]x=0[/mm]
> nicht stetig (aber, wie gesagt, auch nicht unstetig).
>
> >
> > Dies ist keine schlampige Definition, und man ist auch
> > nicht schlampig mit ihr umgegangen.
>
> Die Bedingung 1.) ist ja gänzlich redundant. Denn man kann
> auf der rechten Seite von Bedingung 2.) nicht [mm]f(x_0)[/mm] haben,
> ohne dass [mm]x_0\in D_f[/mm] ist.
>
Da bin ich eigentlich mit allem einverstanden. Nur noch zwei Punkte:
I.) erklär mal einer Klasse von (cleveren bis durchschnittlichen)
Jugendlichen bei der Diskussion des Stetigkeitsbegriffs und des
Begriffs "Unstetigkeitsstellen", dass die Funktion f: [mm] x\to\bruch{1}{x}
[/mm]
genau für alle [mm] x\in \IR^+ [/mm] und für alle [mm] x\in \IR^- [/mm] stetig ist,
für x=0 also nicht. Wenn du dann im gleichen Atemzug noch
anfügen willst, dass diese Stelle - die einzige Stelle, wo f nicht
stetig ist, keine Unstetigkeitsstelle sei, dann wirst du
bei den Schülerinnen und Schülern jedenfalls nur Kopfschütteln
ernten und das Cliché bestätigen, dass man wohl spinnen muss,
um Mathematik verstehen zu können.
II.) Wenn ich mich richtig erinnere, wurde die Definition der
Stetigkeit noch etwas weiter aufgedröselt, um eben auf alle
wesentlichen Elemente der Definition Gewicht zu legen:
1.) [mm]f(x_0)[/mm] existiert, d.h. [mm]x_0 \in D_f[/mm]
2.) [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}f(x)[/mm] existiert [mm] (x\in D_f\backslash \{x_0\})
[/mm]
3.) Die beiden Werte aus 1.) und 2.) stimmen überein.
Dann ist dabei auch keine Redundanz, sondern eher ein
Bemühen um begriffliche Exaktheit zu sehen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:05 Do 24.07.2008 | | Autor: | abakus |
Hallo Community,
so sieht es also aus - das Sommerloch im Matheraum.
Da sich ein Großteil des sonst hilfsbedürftigen Klientels mittlerweile auf Malle, am Baggersse (na gut, dafür ist es diese Woche zu kalt) oder sonstwo mathematikfern tummelt, übersteig die Anzahl der potenziellen Helfer die Anzahl der Hilfebedürftigen um ein Vielfaches.
Also diskutiert man ersatzweise sehr intensiv auf der Grundlage der Basis über die Rolle der Bedeutung...
Welcher sonstige Hilferuf eines bedrängten Schülers hätte unter Normalbedingungen zu 40 Reaktionen geführt?
Und selbstverständlich geht es dabei auch um die Diskrepanz zwischen Schul- und Hochschulmathematik.
Denkt mal an eure/unsere Schulzeit zurück. Während wir uns abmühten, Antworten auf mathematische Fragen zu finden; mühte sich ein Großteil unserer Mitschüler schon damit ab, wenigstens die Fragen an sich zu verstehen. Für viele war die Stetigkeits-"definition": "zeichnen, ohne den Stift abzusetzen" schon die Grenze zur Überforderung.
Wer dann Mathematik studiert oder eine andere Richtung, in der man (erwartet oder unerwartet) wieder mit Mathematik zu tun hat, der sollte auch in der Lage sein, gewisse Aussagen der Schulmathematik über Bord zu werfen, ohne daran seelischen Schaden zu nehmen.
Also: Entspannt bleiben.
Allen einen schönen Abend
Euer Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:01 Do 09.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich wurde gerade auf diesen Thread aufmerksman gemacht:
> Hallo rabilein !
>
> genau da liegt wohl das Pfefferkorn im Hasen !
> Ich erinnere mich noch genau an die Definition der
> Stetigkeit, wie wir sie damals an der Schule lernten:
>
> f ist an einer Stelle [mm]x_0[/mm] genau dann stetig, falls
> folgende beiden Bedingungen erfüllt sind:
>
> 1.) [mm]f(x_0)[/mm] existiert, d.h. [mm]x_0 \in D_f[/mm]
>
> 2.) [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)[/mm] (x [mm]\in D_f)[/mm]
>
> Nach dieser Definition ist f: x [mm]\to \bruch{1}{x}[/mm]
> an der
> Stelle [mm]x_0[/mm] = 0 nicht stetig.
Das mag' sein, dass ihr das so in der Schule gelernt habt. Aber ich finde, eine vernünftigere Definition wäre:
[mm] $f\,$ [/mm] heißt an der Stelle [mm] $x_0 \in D_f \cap H(D_f)$ [/mm] (d.h. [mm] $x_0$ [/mm] liegt im Definitionsbereich von [mm] $f\,$ [/mm] und [mm] $x_0$ [/mm] ist Häufungspunkt des Definitionsbereiches) genau dann stetig, wenn [mm]\limes_{D_f \ni x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)[/mm].
Ich finde es übrigens nicht besonders interessant, zu untersuchen, ob eine Funktion an einer Stelle, wo sie nicht definiert ist, stetig ist oder nicht. Bei der 'Schuldefinition' sind automatisch alle Punkte, an denen [mm] $f\,$ [/mm] nicht definiert ist, Unstetigkeitsstellen.
(Also ist auch $f:x [mm] \mapsto \frac{1}{x}$ [/mm] unstetig in $i [mm] \in \IC \setminus \{0\}$, [/mm] wenn [mm] $D_f=\IR \setminus \{0\}$. [/mm] Aber wenn [mm] $D_f= \IC \setminus \{0\}$ [/mm] ist, ist [mm] $f\,$ [/mm] stetig in [mm] $i\,.$)
[/mm]
Betrachte ich $f: [mm] \IR \setminus \{0\} \to \IR\,,$ [/mm] $x [mm] \mapsto f(x)=1/x\,,$ [/mm] so ist diese Funktion nach der 'Unidefinition' stetig. Nach der Schuldefinition sollte sie auch stetig sein, wenn man zudem die Sprechweise vereinbart:
[mm] "$f\,$ [/mm] heißt stetig, wenn [mm] $f\,$ [/mm] an allen Stellen [mm] $x_0 \in D_f$ [/mm] stetig ist."
Warum man sich in der Schule dann quasi 'die Mühe macht, Stellen außerhalb des Definitionsbereichs von [mm] $f\,$ [/mm] auch Unstetigkeitsstellen zu nennen', erschließt sich mir jedenfalls nicht.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Hallo Marcel,
es ging mir in jenem Beitrag nicht darum, diese vielleicht
ein wenig veraltete Definition zu rechtfertigen. Darin
wurde ja einfach vermittelt: ist eine Funktion an einer
Stelle nicht definiert, so ist sie dort auch nicht stetig.
So wie vor Gericht ein Alibi benützt wird: Wenn X zum
Zeitpunkt t nicht in der Stadt S war, so kann X zum
Zeitpunkt t nicht in der Stadt S einen Einbruch begangen
haben.
Jetzt bliebe noch die Frage, ob man dann, wenn eine
Funktion an einer Stelle x nicht stetig ist, sagen darf,
die Funktion sei an dieser Stelle unstetig bzw. x sei
eine "Unstetigkeitsstelle" von f. Ob wir damals diesen
substantivierten Begriff auch schon benützt haben, weiss
ich schon gar nicht mehr...
Schöne Ostern ! Al
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:03 Do 24.07.2008 | | Autor: | smarty |
Hallo,
ick würde hier einfach für f(0)=1/2 annehmen, wa
Grüße
Smarty
|
|
|
|
