Stetigkeit metrischer Räume < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | [1] Sei X eine Menge.
Auf X betrachten wir die diskrete Metrik.
Sei (Y; d) ein weiterer metrischer Raum.
Welche Funktionen f : X [mm] \to [/mm] Y sind stetig? |
| Aufgabe 2 | [2] Aus der Vorlesung wissen Sie, dass jede beschränkte und abgeschlossene Teilmenge des [mm] R^{2} [/mm] (allgemeiner des [mm] R^{n}), [/mm] versehen mit der Standardmetrik, kompakt ist.
Gilt dies auch für den [mm] R^{2} [/mm] mit der französischen Eisenbahnmetrik? |
| Aufgabe 3 | [3] Geben Sie eine Funktion f : [mm] R^{2} \to [/mm] R an, die stetig bezüglich der französischen Eisenbahnmetrik, aber nicht stetig bzgl. der Standardmetrik auf [mm] R^{2} [/mm] ist.
Dabei sei der Bildraum R mit der Standardmetrik versehen. |
Um soweit ehrlich zu sein, fällt es mir insgesamt schwer, mich in die Aufgaben so richtig hinein zu denken. Mir wird vermutlich versichert, dass das grundlegende Dinge sind, aber manchmal sieht man es eben einfach nicht.
Soweit so gut:
zu [1] Fehlt mir einfach die Idee, die ich verfolgen soll um voran zu kommen.
zu [2] Ich weiß nicht so wirklich, wie ich von der Standardmetrik auf die Eisenbahnmetrik in der Betrachtung switchen soll. Was die jeweiligen Metriken sind ist schnell nachgeschlagen ... aber die Verbindung zu schlagen, das sehe ich gerade nicht.
zu [3] Und hier kenne ich zwar die Defintionen der Metriken, weiß aber nicht so wirklich wie ich ansetzen soll, die jeweiligen Funktionen zu definieren.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:04 Sa 11.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [1] Sei X eine Menge.
> Auf X betrachten wir die diskrete Metrik.
> Sei (Y; d) ein weiterer metrischer Raum.
> Welche Funktionen f : X [mm]\to[/mm] Y sind stetig?
> zu [1] Fehlt mir einfach die Idee, die ich verfolgen soll
> um voran zu kommen.
$f [mm] \colon [/mm] X [mm] \to [/mm] Y$ ist genau dann stetig, wenn gilt: Für jede [mm] $d\,$-offene [/mm] Menge
$O [mm] \subseteq [/mm] Y$ ist [mm] $f^{-1}(O)$ $m\,$-offen, [/mm] wenn wir mit $m [mm] \colon [/mm] X [mm] \times [/mm] X [mm] \to \IR$ [/mm] die diskrete
Metrik auf [mm] $X\,$ [/mm] bezeichnen. (Der metrische Raum heißt dann [mm] $(X,m)\,.$)
[/mm]
Versuche erstmal, die offenen Mengen bzgl. [mm] $(X,m)\,$ [/mm] zu beschreiben. Ist
$x [mm] \in X\,,$ [/mm] so beschreibe mal
[mm] $$U_{\epsilon}(x):=\{z \in X:\;\;m(x,z) < \epsilon\}\,,$$
[/mm]
indem Du die Fälle $0 < [mm] \epsilon \le [/mm] 1$ und [mm] $\epsilon [/mm] > 1$ betrachtest.
Jetzt wird's relativ harmlos: Für jedes $O [mm] \subseteq [/mm] Y$ gilt natürlich
[mm] $O=\{o \in Y:\;\;o \in O\}=\bigcup_{o \in O}\{o\}\,.$
[/mm]
Dann gilt das natürlich auch für jede [mm] $d\,$-offene [/mm] Menge $O [mm] \subseteq Y\,.$
[/mm]
Nun gilt "allgemein" die Regel
[mm] $f^{-1}(\bigcup_{i \in I}A_i)=\bigcup_{i \in I}f^{-1}(A_i)\,.$
[/mm]
Die Offenheit von [mm] $f^{-1}(O)$ [/mm] in [mm] $(X,m)\,$ [/mm] erkennst Du dann wegen
[mm] $$f^{-1}(O)=f^{-1}(\bigcup_{o \in O}\{o\})=\bigcup_{o \in O}f^{-1}(\{o\})\,.$$
[/mm]
Das Ganze ist jetzt ein wenig chaotisch aufgeschrieben, ordne es halt mal
und denk' drüber nach, ob Du den Beweis verstehst. (Z.B. musst Du Dir
klarmachen, dass einpunktige Mengen in [mm] $(X,m)\,$ $m\,$-offen [/mm] sind!)
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Alternativ:
Es sei $f [mm] \colon [/mm] X [mm] \to [/mm] Y$ mit [mm] $(X,m)\,$ [/mm] metrischer Raum, versehen mit der diskreten
Metrik [mm] $m\colon [/mm] X [mm] \times [/mm] X [mm] \to \IR$ [/mm] und [mm] $(Y,d)\,$ [/mm] irgendein metrischer Raum.
Sei $x [mm] \in X,\;\epsilon [/mm] > 0$ und [mm] $U_\epsilon(y):=\{z \in Y:\;\;d(z,y) < \epsilon\}$ [/mm] die [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] von $y [mm] \in [/mm] Y$
für [mm] $\blue{\mathbf{y:=f(x)}}\,.$ [/mm] Setze [mm] $\delta:=\tfrac{1}{2} [/mm] > [mm] 0\,$ ($\delta$ [/mm] ist sogar UNABHÄNGIG von [mm] $x\,$!)
[/mm]
(Anmerkung: Auch jede andere Zahl $0 < [mm] \delta \le [/mm] 1$ wäre geeignet!)
Zeige: [mm] $\forall \tilde{x} \in U_{\frac{1}{2}}(x):=\{r \in X:\;\;m(r,\tilde{x}) < \tfrac{1}{2}\}$ [/mm] gilt [mm] $f(\tilde{x}) \in U_{\epsilon}(y)=U_{\epsilon}(f(x))\,.$
[/mm]
Was zeigst Du damit? Du zeigst, dass JEDE Abbildung $X [mm] \to [/mm] Y$ (sogar gleichmäßig)
stetig ist!
P.S. Die ALTERNATIVE LÖSUNG passt vermutlich besser zur Eurer Definition
des Stetigkeitsbegriffes, den man für eine Funktion zwischen metrischen Räumen
verwendet. Die Lösung davor ist schon eher eine "topologische Lösung"!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Di 14.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:21 Do 16.05.2013 | | Autor: | Helbig |
> [2] Aus der Vorlesung wissen Sie, dass jede beschränkte
> und abgeschlossene Teilmenge des [mm]R^{2}[/mm] (allgemeiner des
> [mm]R^{n}),[/mm] versehen mit der Standardmetrik, kompakt ist.
>
> Gilt dies auch für den [mm]R^{2}[/mm] mit der französischen
> Eisenbahnmetrik?
Nein. Betrachte die bzgl. der Eisenbahnmetrik abgeschlossene und beschränkte aber nicht kompakte Menge [mm] $\bigl\{(1,1/n)\colon n\in \IN\bigr\}\,.$
[/mm]
Gruß,
Wolfgang
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