Stetigkeit zeigen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Seien $a < b < c$ reelle Zahlen und $f : [a,b] \to \IR$ und $g : [b,c] \to \IR$ stetige Funktionen mit $f(b)=g(b).$ Zeigen Sie die Stetigkeit von
$h : [a,c] \to \IR,$ $h(x):=\begin{cases} f(x), & \mbox{für } x \in [a,b], \\ g(x), & \mbox{für } x \in {]b,c{]. \end{cases}$ |
Hallo,
obwohl ich seit einiger Zeit versuche, die Definition für Stetigkeit auf diese Aufgabe anzuwenden, komme ich auf keinen grünen Zweig.
Definition:
Sei $ D \subset \IR $ und $ x_{0} \in D. $ Eine Funktion $ f: D \to \IR $ heißt stetig in $ x_{0}, $ wenn es zu jedem $ \varepsilon > 0 $ ein $ \delta>0 $ gibt derart, dass für alle $ x \in D $ gilt: Ist $ \left| x - x_{0} \right|<\delta, $ so ist $ \left| f(x)-f(x_{0}) \right|<\varepsilon. $
Satz:
"Sind f und g stetig auf einem gemeinsamen Definitionsbereich D, so sind auch f + g, f - g, f * g und $ \bruch{f}{g} $ stetig; allerdings muss der Definitionsbereich von $ \bruch{f}{g} $ für den Fall, dass g eine oder mehrere Nullstellen hat, auf den Bereich $ D':=\{x \in D : g(x)\not=0\} $ eingeschränkt werden."
Ich bin für jeden Tipp wirklich sehr dankbar!
Schöne Feiertage!
Gruß
el_grecco
|
|
| |
|
Hi!
Für $ x [mm] \in [/mm] [a,b] $ und $ x [mm] \in [/mm] [b,c] $ gilt nichts zu zeigen.
Von Bedeutung ist hier die Nahtstelle $ b $.
Da $ f $ stetig ist, gilt für alle Folgen $ [mm] x_n \in [/mm] [a,b] $ mit $ [mm] \lim x_n [/mm] = b $, dass $ [mm] \lim f(x_n) [/mm] = f(b) $
Da $ g $ stetig ist, gilt für alle Folgen $ [mm] y_n \in [/mm] ]b, c] $ mit $ [mm] \lim y_n [/mm] = b $, dass $ [mm] \lim g(y_n) [/mm] = g(b) $
Wegen $ f(b) = g(b) $ gilt dann für alle Folgen [mm] $\xi_n [/mm] $ aus $ [a,b] [mm] \cup [/mm] ]b,c] $ mit $ [mm] \xi_n \to [/mm] b $, dass $ [mm] h(\xi_n) \to [/mm] h(b) $.
Also ist $ h $ im Punkt $ b $ stetig. Und Da $ f, g$ stetig sind, ist $ h $ auf $ [a,b] [mm] \cup [/mm] ]b,c] = [a,c] $ stetig.
Grüße
ChopSuey
|
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Seien $a < b < c$ reelle Zahlen und $ f : [a,b] \to \IR $ und $ g : [b,c] \to \IR $ stetige Funktionen mit $ f(b)=g(b). $ Zeigen Sie die Stetigkeit von
$ h : [a,c] \to \IR, $ $ h(x):=\begin{cases} f(x), & \mbox{für } x \in [a,b], \\ g(x), & \mbox{für } x \in {]b,c{]. \end{cases} $ |
Danke für Deine Ausführung, ChopSuey.
Es wäre sehr nett, wenn Du auf meine Fragen unten nur mit einem kurzen Kommentar (damit es für Dich auch nicht zu zeitaufwendig ist) noch eingehen könntest.
Zur Sicherheit frage ich besser direkt nach. Hast Du hier diese Aussage (aus Wikipedia) verwendet?
"Der Begriff der Stetigkeit einer Funktion lässt sich auch mit Hilfe des Begriffs des Grenzwerts einer Funktion definieren: Eine Funktion $f$ ist stetig in $x_{0} \in D$ genau dann, wenn der Grenzwert von $f$ für $x \to x_{0}$ existiert und $\lim_{x \to x_{0}}f(x)=f\left(x_{0}\right)$ gilt oder wenn $x_{0}$ ein isolierter Punkt ist."
> Für [mm]x \in [a,b][/mm] und [mm]x \in [b,c][/mm] gilt nichts zu zeigen.
>
> Von Bedeutung ist hier die Nahtstelle [mm]b [/mm].
>
> Da [mm]f[/mm] stetig ist, gilt für alle Folgen [mm]x_n \in [a,b][/mm] mit
> [mm]\lim x_n = b [/mm], dass [mm]\lim f(x_n) = f(b)[/mm]
>
> Da [mm]g[/mm] stetig ist, gilt für alle Folgen [mm]y_n \in ]b, c][/mm] mit
> [mm]\lim y_n = b [/mm], dass [mm]\lim g(y_n) = g(b)[/mm]
Ist die Nahtstelle das [mm] $x_{0}$ [/mm] aus der obigen Definition?
> Wegen [mm]f(b) = g(b)[/mm] gilt dann für alle Folgen [mm]\xi_n[/mm] aus
> [mm][a,b] \cup ]b,c][/mm] mit [mm]\xi_n \to b [/mm], dass [mm]h(\xi_n) \to h(b) [/mm].
>
> Also ist [mm]h[/mm] im Punkt [mm]b[/mm] stetig. Und Da [mm]f, g[/mm] stetig sind, ist
> [mm]h[/mm] auf [mm][a,b] \cup ]b,c] = [a,c][/mm] stetig.
Ich verstehe leider noch nicht, was die Formulierung "eine Funktion ist in einem bestimmten Punkt stetig" genau meint. Stetigkeit in einem bestimmten Intervall ist klar, aber wie kann in einem einzigen Punkt Stetigkeit herrschen?
Vielen Dank für Deinen support! 
Gruß
el_grecco
|
|
|
| |
|
Hi grec,
> Seien [mm]a < b < c[/mm] reelle Zahlen und [mm]f : [a,b] \to \IR[/mm] und [mm]g : [b,c] \to \IR[/mm]
> stetige Funktionen mit [mm]f(b)=g(b).[/mm] Zeigen Sie die Stetigkeit
> von
>
> [mm]h : [a,c] \to \IR,[/mm] [mm]h(x):=\begin{cases} f(x), & \mbox{für } x \in [a,b], \\ g(x), & \mbox{für } x \in {]b,c{]. \end{cases}[/mm]
>
> Danke für Deine Ausführung, ChopSuey.
> Es wäre sehr nett, wenn Du auf meine Fragen unten nur mit
> einem kurzen Kommentar (damit es für Dich auch nicht zu
> zeitaufwendig ist) noch eingehen könntest.
Klar doch.
>
> Zur Sicherheit frage ich besser direkt nach. Hast Du hier
> diese Aussage (aus Wikipedia) verwendet?
>
> "Der Begriff der Stetigkeit einer Funktion lässt sich auch
> mit Hilfe des Begriffs des Grenzwerts einer Funktion
> definieren: Eine Funktion [mm]f[/mm] ist stetig in [mm]x_{0} \in D[/mm] genau
> dann, wenn der Grenzwert von [mm]f[/mm] für [mm]x \to x_{0}[/mm] existiert
> und [mm]\lim_{x \to x_{0}}f(x)=f\left(x_{0}\right)[/mm] gilt oder
> wenn [mm]x_{0}[/mm] ein isolierter Punkt ist."
Genau. Das ist die Folgendefinition der Stetigkeit (dazu weiter unten) $ [mm] x_0 \in [/mm] D $ wobei $ D $ der Definitionsbereich ist.
>
> > Für [mm]x \in [a,b][/mm] und [mm]x \in [b,c][/mm] gilt nichts zu zeigen.
> >
> > Von Bedeutung ist hier die Nahtstelle [mm]b [/mm].
> >
> > Da [mm]f[/mm] stetig ist, gilt für alle Folgen [mm]x_n \in [a,b][/mm] mit
> > [mm]\lim x_n = b [/mm], dass [mm]\lim f(x_n) = f(b)[/mm]
> >
> > Da [mm]g[/mm] stetig ist, gilt für alle Folgen [mm]y_n \in ]b, c][/mm] mit
> > [mm]\lim y_n = b [/mm], dass [mm]\lim g(y_n) = g(b)[/mm]
>
> Ist die Nahtstelle das [mm]x_{0}[/mm] aus der obigen Definition?
Jo, das ist ganz einfach eine Stelle, an der mit großer Wahrscheinlichkeit Unstetigkeit vorliegen kann. Ganz einfach, weil das genau der Punkt ist, an dem von der Funktion $ f $ nach $ g $ gewechselt wird. (Du steigt von einem Zug in den anderen und dieser kann auf einem anderen Gleis liegen).
>
> > Wegen [mm]f(b) = g(b)[/mm] gilt dann für alle Folgen [mm]\xi_n[/mm] aus
> > [mm][a,b] \cup ]b,c][/mm] mit [mm]\xi_n \to b [/mm], dass [mm]h(\xi_n) \to h(b) [/mm].
>
> >
> > Also ist [mm]h[/mm] im Punkt [mm]b[/mm] stetig. Und Da [mm]f, g[/mm] stetig sind, ist
> > [mm]h[/mm] auf [mm][a,b] \cup ]b,c] = [a,c][/mm] stetig.
>
> Ich verstehe leider noch nicht, was die Formulierung "eine
> Funktion ist in einem bestimmten Punkt stetig" genau meint.
> Stetigkeit in einem bestimmten Intervall ist klar, aber wie
> kann in einem einzigen Punkt Stetigkeit herrschen?
Das geht ganz einfach aus der oben formulierten Folgendefinition her.
Die Frage ist nicht, wie in einem Punkt stetigkeit herrschen kann, sondern wie eine Funktion in einem bestimmten Punkt stetig sein kann. Denn Stetigkeit ist ja keine Eigenschaft die man Punkten zuweist, sondern Funktionen in diesen Punkten.
Es ist so:
Sei $ f: D [mm] \subseteq \IR \to \IR [/mm] $ eine beliebige Funktion. $ f $ sei auf ganz $ D $ definiert. Dann ist $ f $ entweder stetig (in allen Punkten $ x [mm] \in [/mm] D $).
Oder es existiert mindestens ein Punkt $ [mm] \xi \in [/mm] D $, in dem $ f $ nicht stetig ist. Gibt es mehrere solcher Stellen, so ist $ f $ eben an mehreren Stellen nicht stetig.
Man sagt also eine Funktion sei stetig, wenn sie auf dem ganzen Definitionsbereich stetig ist. Gibt es mindestens eine solche Unstetigkeitsstelle $ [mm] \xi \in [/mm] D $, so ist $ f $ nicht stetig auf $ D $, sondern eben explizit nur für alle $ x [mm] \in [/mm] D $ mit $ x [mm] \not= \xi [/mm] $.
Was heißt das nun? Das heißt konkret nichts anderes, als dass mindestens eine konvergente Folge $ [mm] x_n \in [/mm] D $ existiert, mit $ [mm] \lim x_n [/mm] = [mm] \xi [/mm] $. Für die aber (und genau darum geht es) $ [mm] \lim f(x_n) \not= f(\xi) [/mm] $ gilt.
In Worten: Es existiert eine Folge aus dem Definitionsbereich, die den Grenzwert $ [mm] \xi [/mm] $ hat. Die Bilder dieser Folge konvergieren aber nicht gegen das Bild des Grenzwertes $ [mm] \xi [/mm] $. (Das ist genau dann der Fall, wenn die Funktion einen Sprung macht)
Und man stellt sich das tatsächlich genau so vor, wie du es vorhin beschrieben hast. Also Stift absetzen, dort unstetig usw.
Die Folgendefinition ist also nichts anderes als die mathematische Präzisierung der "Stift-Definition".
>
> Vielen Dank für Deinen support!
Nichts zu danken!
>
> Gruß
> el_grecco
>
Viele Grüße
ChopSuey
|
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Seien $a < b < c\!\$ reelle Zahlen und $ f : [a,b] \to \IR $ und $ g : [b,c] \to \IR $ stetige Funktionen mit $f(b)=g(b).\!\$ Zeigen Sie die Stetigkeit von
$ h : [a,c] \to \IR, $ $ h(x):=\begin{cases} f(x), & \mbox{für } x \in [a,b], \\ g(x), & \mbox{für } x \in {]b,c{]. \end{cases} $ |
Hallo,
hier die Musterlösung zu dieser Aufgabe:
Es ist lediglich die Stetigkeit von $h\!\$ bei b zu zeigen, da die Einschränkung von $h\!\$ auf $[a,b]\!\$ gleich $f\!\$ ist und die Einschränkung von $h\!\$ auf $[b,c]\!\$ gleich $g\!\$ ist.
Ist also $\varepsilon > 0$ dann existiert nach der Stetigkeitsvoraussetzung für $f\!\$ ein $\delta_{f} > 0$ und für $g\!\$ ein $\delta_{g} > 0,$ so dass:
$\forall 0<b-x<\delta_{f} \forall 0<x'-b<\delta_{g} : \left| f(b)-f(x) \right|<\varepsilon$ und $\left| g(x')-g(b) \right|<\varepsilon$
Setzt man nun $\delta = \mbox{min}\{\delta_{f},\delta_{g}\},$ dann gilt
$\forall \left| b-x \right|<\delta : \left| h(b)-f(x) \right|<\varepsilon$
Dies zeigt die Stetigkeit von $h\!\$ im Punkt b und es folgt die Behauptung.
Hierzu habe ich zwei Fragen:
- Müsste in der ersten Zeile der Angabe das Intervall $g : [b,c] \to \IR$ links nicht offen sein (so wie in der Fallunterscheidung darunter)?
- Ich habe Schwierigkeiten, das $0<b-x<\delta_{f}$ und $0<x'-b<\delta_{g}$ nachzuvollziehen. Warum ist das jeweils größer 0 und kleiner $\delta$?
Vielen Dank für die Mühe!
Gruß
el_grecco
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:23 Sa 22.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
