Summen berechnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie die folgenden Summen jeweils für n ∈ N
a)
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{3k(k + 1)}{n^{3}}
[/mm]
b)
[mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k(1 − [mm] q){q^{k-1}} [/mm] |
Kann mir da jemand mit Ansätzen aushelfen? Ich stehe da total auf dem Schlauch.
tichworte reichen mir da schon. Ich suche niemanden, der mir die Aufgaben löst, sondern ich brauche einen "Schubser" in die richtige Richtung.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo chrisxpred, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Da kann ich Dir Tipps geben:
> Berechnen Sie die folgenden Summen jeweils für n ∈ N
>
> a)
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{3k(k + 1)}{n^{3}}[/mm]
Ziehe [mm] \bruch{3}{n^3} [/mm] vor die Summe, multipliziere den Rest aus und verwende die Summenformeln für [mm] k^2 [/mm] und für k.
> b)
> [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] k(1 − [mm]q){q^{k-1}}[/mm]
Diese Summe ist nett. Schreib sie mal aus, sagen wir für n=2,3,4.
Man kommt auf eine andere Darstellung der Summe.
Dann ist es gut zu wissen, dass [mm] \bruch{1-q^{n+1}}{1-q}=\summe_{k=\blue{0}}^{n}q^k
[/mm]
Achte auf den Index unter der Summe!
> Kann mir da jemand mit Ansätzen aushelfen? Ich stehe da
> total auf dem Schlauch.
> tichworte reichen mir da schon. Ich suche niemanden, der
> mir die Aufgaben löst, sondern ich brauche einen
> "Schubser" in die richtige Richtung.
Na, dann mal los. 
Grüße
reverend
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Hallo und danke für deine Antwort!
Die hat mir definitiv schon mal weitergeholfen.
Für a) komme ich jetzt auf
[mm] \bruch{{n^2}+3n+2}{{n^2}}
[/mm]
Laut meiner Lösung (ich habe nur die Ergebnisse, keine Wege), ist das jetzt richtig, wenn auch noch nicht maximal vereinfacht.
Meine Frage: Gibt es für solche Ansätze konkrete Vorgehensweisen, oder macht braucht man da einfach Erfahrung? Ich meine, man muss ja irgendwie sehen oder wissen, dass man durch das Auseinanderziehen der Summe diese auf 2 "einfachere" Summen bringen kann?!
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Hallo nochmal,
ich wüsste von keiner grundsätzlichen Regel. Das Auseinanderziehen ist allerdings eine der Standardvorgehensweisen. Sie hilft aber nur, wenn höchstens eine der Teilsummen divergent ist. Aber immerhin, man kanns ja mal probieren.
Ansonsten tippst Du wahrscheinlich richtig: man braucht einfach ein bisschen Rechenerfahrung. Die bekommst Du im Lauf der Zeit aber von selbst. Da ist es wie mit dem Integrieren, das ist und bleibt schwierig, aber man erkennt immer mehr Typen, für die ein bestimmter Ansatz nützlich ist.
Viel Erfolg bei der zweiten Summe. Die ist hübsch konstruiert. Man bekommt einen unerwartet regelmäßigen Ausdruck und ein "Restglied", das übrigens für |q|<1 mit wachsendem n immer kleiner wird.
Grüße
reverend
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Ich danke dir jedenfalls vielmals!
Eine Frage habe ich noch, die bezieht sich auf die Summenformeln für k bzw. [mm] k^2.
[/mm]
Sagen wir ich reduziere die Aufgabe a) eben auf die beiden Summenformeln. Gehe ich richtig in der Annahme, dass man diese beiden Summen dann nicht auch noch extra berechnet, sondern einfach "hinschreibt"?
Diese stehen ja selbst in Formelsammlungen, wozu also das Rad zweimal erfinden? Gleiches gilt ja auch für die geometrische Summenformel.
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Hallo,
> Eine Frage habe ich noch, die bezieht sich auf die
> Summenformeln für k bzw. [mm]k^2.[/mm]
>
> Sagen wir ich reduziere die Aufgabe a) eben auf die beiden
> Summenformeln. Gehe ich richtig in der Annahme, dass man
> diese beiden Summen dann nicht auch noch extra berechnet,
> sondern einfach "hinschreibt"?
Bei solchen Aufgaben darf man das sicher tun. Es wird hier nicht verlangt sein, jede "Grundformel" erst selbst herzuleiten und per vollständiger Induktion zu beweisen.
> Diese stehen ja selbst in Formelsammlungen, wozu also das
> Rad zweimal erfinden? Gleiches gilt ja auch für die
> geometrische Summenformel.
Da braucht man ein bisschen Gespür, was gefordert ist. Auch Ergebnisse aus Formelsammlungen müssen manchmal hergeleitet werden.
Im Prinzip verlangt man im Mathematikstudium, dass man alle grundlegenden Dinge einmal selbst hergeleitet hat und damit auch ggf. auf Nachfrage wieder herleiten kann.
Ich gehe dann mal schlafen - und bin in den nächsten Tagen nur sehr wenig hier. Es gibt aber bei weitem genügend andere, die Dir dann weiterhelfen werden. Das ist ja der Sinn eines Forums. 
Grüße
reverend
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:13 Di 16.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich danke dir jedenfalls vielmals!
>
> Eine Frage habe ich noch, die bezieht sich auf die
> Summenformeln für k bzw. [mm]k^2.[/mm]
>
> Sagen wir ich reduziere die Aufgabe a) eben auf die beiden
> Summenformeln. Gehe ich richtig in der Annahme, dass man
> diese beiden Summen dann nicht auch noch extra berechnet,
> sondern einfach "hinschreibt"?
> Diese stehen ja selbst in Formelsammlungen, wozu also das
> Rad zweimal erfinden? Gleiches gilt ja auch für die
> geometrische Summenformel.
die geometrische Summenformel sollte jeder in drei Zeilen beweisen
können:
Sei [mm] $s_n:=\sum_{k=0}^n q^k=q^0+....+q^n\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $q*s_n=q*\sum_{k=0}^n q^k=\sum_{k=0}^n q^{k+1}=\sum_{m=1}^{n+1}q^m\,,$ [/mm] so dass sich ergibt
[mm] $$q*s_n-s_n=q^{n+1}+(\sum_{m=1}^n q^m)-((\sum_{k=1}^n q^k)+q^0)=q^{n+1}-1\,,$$
[/mm]
also
[mm] $$s_n(q-1)=q^{n+1}-1 \gdw s_n(1-q)=1-q^{n+1}\,.$$
[/mm]
Für [mm] $q-1\not=0$ [/mm] folgt die behauptete Formel!
Kurzfassung:
Definiere: [mm] $q^0+...+q^n=s_n\,.$ [/mm] Multipliziere diese Gleichung mit [mm] $q\,,$
[/mm]
schreibe sie drunter und ziehe beide Gleichungen voneinander ab:
[mm] $$\begin{matrix}{& q^0 &+q^1 & +... & +... & +... & +q^n & & =s_n\;\;\\
\red{-} (& &q^1 & +... & +... & +... & +q^n & +q^{n+1})&\;=q*s_n}\end{matrix}
[/mm]
$$
__________________________________________
[mm] $q^0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-q^{n+1}=s_n(1-q)\,.$
[/mm]
Diese Kurzfassung (3 Zeilen!) darf man von jedem Studenten verlangen,
selbst, wenn der nicht so, wie ich oben, mit dem Summenzeichen
rechnen will. Die letzten 3 Zeilen würde ich als Lehrer sogar in einer HÜ in
einer Schule erwarten (jedenfalls spätestens(!) ab der 10en Klasse)!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:27 Di 16.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
> Hallo nochmal,
>
> ich wüsste von keiner grundsätzlichen Regel. Das
> Auseinanderziehen ist allerdings eine der
> Standardvorgehensweisen. Sie hilft aber nur, wenn
> höchstens eine der Teilsummen divergent ist.
kannst Du mir gerade erklären, was Du da meinst? Die Summen, die
hier stehen, sind ja endlicher Natur: $n [mm] \in \IN$ [/mm] wird festgehalten, also
wie ein Parameter angesehen. Von Grenzwertbetrachtungen ist hier
nirgends die Rede??!!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:37 Di 16.10.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Marcel,
> kannst Du mir gerade erklären, was Du da meinst? Die
> Summen, die
> hier stehen, sind ja endlicher Natur: [mm]n \in \IN[/mm] wird
> festgehalten, also
> wie ein Parameter angesehen. Von Grenzwertbetrachtungen
> ist hier
> nirgends die Rede??!!
Oops. Da hast Du natürlich Recht; ich war wohl noch im Kopf bei einem anderen Thread. Danke für den Hinweis!
Grüße
reverend
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Also ich habe mich jetzt einige Zeit an der zweiten Summe versucht, komme da aber nicht wirklich weiter. Irgendwie stehe ich auf dem Schlauch, scheinbar übersehe ich da irgendwas elementares...
Weitere Hilfe wäre also klasse!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:52 Mo 15.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also ich habe mich jetzt einige Zeit an der zweiten Summe
> versucht, komme da aber nicht wirklich weiter. Irgendwie
> stehe ich auf dem Schlauch, scheinbar übersehe ich da
> irgendwas elementares...
>
>
> Weitere Hilfe wäre also klasse!
dort steht (sowas solltest DU zitieren!):
> $ [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] $ k(1 − $ [mm] q){q^{k-1}} [/mm] $
Ersetze mal [mm] $q\,$ [/mm] durch [mm] $x\,,$ [/mm] und wir definieren [mm] $f_k(x):=x^k\,.$ [/mm] Dann
gilt
[mm] $$\sum_{k=1}^n k(1-x)x^{k-1}=\sum_{k=1}^n (1-x)*(f_k(x))'=(1-x)*\sum_{k=1}^n (f_k(x))'\,.$$
[/mm]
Jetzt wäre es schön, rauszufinden, was denn [mm] $\sum_{k=1}^n (f_k(x))'$ [/mm]
eigentlich ist:
Klar ist, dass [mm] $\int \big(\sum_{k=1}^n (f_k(x))'\big) dx=\sum_{k=1}^n \int (f_k(x))'dx\,,$ [/mm] denn da steht eine endliche Summe - das Vertauschen
der Summation und Integration geht also problemlos, auch, weil wir
rechterhand die Stammfunktionen direkt hinschreiben können.
Deswegen:
Schreib' Dir mal hin, was [mm] $\sum_{k=1}^n \int (f_k(x))'dx$ [/mm] ist - das sollte
Dir bekannt vorkommen. Dafür gibt's dann die geometrische
Summenformel, beachte aber, wo der Summationsindex hier startet!
Damit steht dann irgendwie sowas da:
[mm] $$\int \big(\sum_{k=1}^n (f_k(x))'\big) dx=\text{Funktionsterm in }x\,,$$
[/mm]
wobei ich hoffe, Du weißt, was ich rechterhand andeute.
Damit weißt Du dann: Wenn man die rechte Seite (etwa mit der
Quotientenregel, wie Du dann sehen wirst - wenn Du unschick umformst,
brauchst Du eventuell auch andere Regeln) ableitet, entsteht der
Integrand linkerhand - und das Ergebnis kannst Du dann einsetzen.
Das ist allerdings schon ein bisschen "tricky".
Probier mal, ob Dich die Tipps weiterbringen. (Du wirst übrigens sehen,
dass Du bei obiger Vorgehensweise irgendwann mal $x [mm] \not=1$ [/mm] brauchen
wirst - diesen Fall kannst Du aber eh auch direkt vorweg behandeln und
dann im Folgenden o.E. $x [mm] \not=1$ [/mm] annehmen!)
Zudem ein direkter Hinweis:
Da bekanntlich (für $r [mm] \not=1$ [/mm] und $N [mm] \in \IN_0$)
[/mm]
[mm] $$\sum_{k=0}^N r^k=\frac{1-r^{N+1}}{1-r}$$
[/mm]
gilt, folgt für $M [mm] \in \IN_0$ [/mm] mit $0 [mm] \le [/mm] M [mm] \le [/mm] N$
[mm] $$\sum_{k=M}^N r^k=\big(\sum_{k=0}^N r^k\big)-\sum_{\ell=0}^{M-1} r^\ell=\frac{1-r^{N+1}}{1-r}-\frac{1-r^{M}}{1-r}=\frac{r^{M}-r^{N+1}}{1-r}=\frac{r^M-r^{N+1}}{1-r}\,.$$
[/mm]
(Das kannst Du NACHRECHNEN!)
Diese Formel brauchst Du bzw. hilft Dir oben für [mm] $r=x\,,$ $M=1\,$ [/mm] und
[mm] $N=n\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:19 Di 16.10.2012 | | Autor: | chrisxpred |
Der Weg über das Integral und die Ableitung haben mir geholfen, vielen Dank!
Aber ohje...da muss man echt erstmal sehen, dass da mit [mm] k*{q^{k-1}} [/mm] tatsächlich die Ableitung von [mm] {q^k} [/mm] steht!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:21 Di 16.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Der Weg über das Integral und die Ableitung haben mir
> geholfen, vielen Dank!
>
> Aber ohje...da muss man echt erstmal sehen, dass da mit
> [mm]k*{q^{k-1}}[/mm] tatsächlich die Ableitung von [mm]{q^k}[/mm] steht!
ja, aber dafür wirst Du im Laufe der Zeit ein Auge bekommen. Ich hatte so eine
ähnliche Aufgabe, die man aber auch auf anderem Wege lösen konnte, wenn ich
mich recht erinnere, auch schon mal irgendwo hier im Forum gerechnet, deswegen
kannte ich den Weg schon, weil ich in halt mal bei einer anderen Aufgabe analog
gegangen bin. Ich find's eigentlich gar nicht so schwer, zu erkennen, dass da die
Ableitung der Funktion [mm] $q^k$ [/mm] (Funktion in [mm] $q\,$) [/mm] steht - ich fand's eher interessant,
dass sich mit dem HDI dann die Summe über die [mm] $kq^{k-1}$ [/mm] berechnen läßt ^^
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 Di 16.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo chrisxpred,
> Berechnen Sie die folgenden Summen jeweils für n ∈ N
>
> a)
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{3k(k + 1)}{n^{3}}[/mm]
>
> b)
> [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] k(1 − [mm]q){q^{k-1}}[/mm]
> Kann mir da jemand mit Ansätzen aushelfen? Ich stehe da
> total auf dem Schlauch.
> tichworte reichen mir da schon. Ich suche niemanden, der
> mir die Aufgaben löst, sondern ich brauche einen
> "Schubser" in die richtige Richtung.
Marcel hat Dir ja schon einen Schubser gegeben. Man kann b) auch mit einer Teleskopsumme knacken. Das sind Summen der Form
[mm] $(a_1 [/mm] - [mm] a_2) [/mm] + [mm] (a_2 [/mm] - [mm] a_3) [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] (a_{n-1} [/mm] - [mm] a_n)\;.$
[/mm]
Die inneren Terme heben sich gegenseitig auf und übrig bleibt [mm] $a_1-a_n$. [/mm] Die Kunst besteht jetzt darin, eine Teleskopsumme in b) zu erkennen:
[mm] $\sum_{k=1}^n k(1-q)q^{k-1}$ [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^n \left(kq^{k-1} - kq^k\right)$
[/mm]
Wenn jetzt [mm] $(k-1)q^{k-1}$ [/mm] statt [mm] $kq^{k-1}$ [/mm] dasteht, sieht das schon sehr nach einer Teleskopsumme aus. Und jetzt Du...
Gruß,
Wolfgang
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Der Ansatz leuchtet mir ein, aber ich weiß nicht, ob ich mit der Summe richtig verfahre, wenn ich jetzt mit (k-1) statt k rechne:
[mm] (k-1){q^{k-1}} [/mm] = [mm] k{q^{k-1}}-{q^{k-1}}
[/mm]
Im Prinzip subtrahiere ich ja durch die Umformung n mal [mm] {q^{k-1}}.
[/mm]
Also berechne ich die Summe als Teleskopsumme und addiere dann [mm] \summe_{k=1}^{n} {q^{k-1}} [/mm] wieder hinzu. Und diese Summe lässt sich ja recht leicht per geometrischer Summe berechnen.
Habe ich jetzt was übersehen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:47 Di 16.10.2012 | | Autor: | Helbig |
> Der Ansatz leuchtet mir ein, aber ich weiß nicht, ob ich
> mit der Summe richtig verfahre, wenn ich jetzt mit (k-1)
> statt k rechne:
>
> [mm](k-1){q^{k-1}}[/mm] = [mm]k{q^{k-1}}-{q^{k-1}}[/mm]
> Im Prinzip subtrahiere ich ja durch die Umformung n mal
> [mm]{q^{k-1}}.[/mm]
> Also berechne ich die Summe als Teleskopsumme und addiere
> dann [mm]\summe_{k=1}^{n} {q^{k-1}}[/mm] wieder hinzu. Und diese
> Summe lässt sich ja recht leicht per geometrischer Summe
> berechnen.
>
> Habe ich jetzt was übersehen?
Nein. Genau so!
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:27 Mi 17.10.2012 | | Autor: | chrisxpred |
Super, danke vielmals. Hab's jetzt auf diese Weise noch mal gerechnet und komme auf das gleiche Ergebnis wie mit Marcels Ansatz.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:31 Mi 17.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Super, danke vielmals. Hab's jetzt auf diese Weise noch mal
> gerechnet und komme auf das gleiche Ergebnis wie mit
> Marcels Ansatz.
das ist ein gutes Zeichen dafür, dass Du (zweimal) richtig gerechnet hast.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:06 Mi 17.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Wolfgang,
> Marcel hat Dir ja schon einen Schubser gegeben. Man kann b)
> auch mit einer Teleskopsumme knacken. Das sind Summen der
> Form
>
> [mm](a_1 - a_2) + (a_2 - a_3) + \ldots + (a_{n-1} - a_n)\;.[/mm]
>
> Die inneren Terme heben sich gegenseitig auf und übrig
> bleibt [mm]a_1-a_n[/mm]. Die Kunst besteht jetzt darin, eine
> Teleskopsumme in b) zu erkennen:
>
> [mm]$\sum_{k=1}^n k(1-q)q^{k-1}$[/mm] = [mm]\sum_{k=1}^n \left(kq^{k-1} - kq^k\right)$[/mm]
>
> Wenn jetzt [mm](k-1)q^{k-1}[/mm] statt [mm]kq^{k-1}[/mm] dasteht, sieht das
> schon sehr nach einer Teleskopsumme aus. Und jetzt Du...
ja, ich dachte auch gestern noch, dass ich mal zwei Lösungswege für eine
solche Aufgabe irgendwo geschrieben hatte (wenn ich lang genug danach
suche, finde ich die auch wieder ^^ Aber muss ja nicht sein...).
Ich bin aber nicht mehr auf den anderen Lösungsweg gekommen, aber Du
hast Recht:
Die Idee
[mm] $$kq^{k-1}=(k-1)q^{k-1}-kq^k+kq^k+q^{k-1}$$
[/mm]
zu benutzen, ist wesentlich einfacher (da man nur noch elementar mit
der geometrischen Summenformel und Indexshift bei Summen arbeiten
muss).
Gut, dass Du das nochmal erwähnst - denn der Ansatz mit dem HDI war
ja schon ein wenig "großkanonisch losgeschossen".
P.S.
Jetzt muss ich doch nochmal nachrechnen, ob ich hier 'ne sinnvolle
Umformung angegeben habe ^^
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:30 Mi 17.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Marcel,
> Die Idee
> [mm]kq^{k-1}=(k-1)q^{k-1}-kq^k+kq^k+q^{k-1}[/mm]
> zu benutzen, ist wesentlich einfacher (da man nur noch
> elementar mit
> der geometrischen Summenformel und Indexshift bei Summen
> arbeiten
> muss).
Die Idee war eigentlich
[mm] $\sum_{k=1}^n k(1-q)q^{k-1} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^n \left(kq^{k-1} - kq^k\right)$
[/mm]
$= [mm] \sum_{k=1}^n \left((k-1)q^{k-1} - kq^k\right)+\sum_{k=1}^nq^{k-1}$
[/mm]
[mm] $0*q^0-n*q^n+\frac {q^n-1} {q-1}\;.$
[/mm]
Gruß Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:23 Mi 17.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Wolfgang,
> Hallo Marcel,
>
>
> > Die Idee
> > [mm](\*)\;\;\;kq^{k-1}=(k-1)q^{k-1}-kq^k+kq^k+q^{k-1}[/mm]
> > zu benutzen, ist wesentlich einfacher (da man nur noch
> > elementar mit
> > der geometrischen Summenformel und Indexshift bei
> Summen
> > arbeiten
> > muss).
>
> Die Idee war eigentlich
> [mm]\sum_{k=1}^n k(1-q)q^{k-1} = \sum_{k=1}^n \left(kq^{k-1} - kq^k\right)[/mm]
>
> [mm]= \sum_{k=1}^n \left((k-1)q^{k-1} - kq^k\right)+\sum_{k=1}^nq^{k-1}[/mm]
>
> [mm]0*q^0-n*q^n+\frac {q^n-1} {q-1}\;.[/mm]
ja, das hab' ich bei chrisxpred gelesen. Aber prinzipiell sollte es auch
mit obiger Umformung gehen. Ich hatte aber noch keine Lust, das
nachzurechnen. Aber das, was ich oben angedeutet habe, sollte auch
gehen, wenn man irgendwann nochmal einen Faktor [mm] $q\,$ [/mm] vor eine Summe
zieht, und dann die gesuchte Summe als zu berechnende Variable
betrachtet - dann hat man eine Gleichung, wo man nur noch nach dieser
Variablen auflösen braucht. Ich hatte das aber gestern nicht mehr zu Ende
gedacht... Aber irgendwie hatte ich da auch eh zu kompliziert gedacht.
Aber ich schreib' mal das, wie ich das meinte (und dann wirst Du sehen,
dass es da Analogien gibt - meine Vorgehensweise wirkt aber wieder mal
unnötig kompliziert!) - bzw. ich mach' es minimal anders als oben
beschrieben:
Wir setzen [mm] $s_n:=\sum_{k=1}^n kq^{k}\,.$
[/mm]
Dann gilt
[mm] $$\sum_{k=1}^n kq^{k-1}=\frac{1}{q}s_{n}\,.$$
[/mm]
Aus [mm] $(\*)$ [/mm] folgt dann mit Deiner Formel für die Teleskopsumme ( ich zitiere
sie nur, weil ich sowas triviales gerade nicht herleiten will ):
[mm] $$\frac{1}{q} s_n=-nq^n+s_n+\frac{1-q^n}{1-q}$$
[/mm]
Das sollte sich nach [mm] $s_n$ [/mm] auflösen lassen - sofern $q [mm] \not=1\,,$ [/mm] was wir
aber eh schon vorher oben annehmen sollten - zumal der Fall [mm] $q=1\,$ [/mm] nur
einer trivialen Behandlung bedarf!
Und danach dann [mm] $1/q*s_n$ [/mm] zu berechnen ist nicht allzu schwer. Aber ich
sehe gerade: Da muss man den Sonderfall [mm] $q=0\,$ [/mm] nochmal separat
betrachten - aber auch das geht ja schnell!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:52 Mi 17.10.2012 | | Autor: | Marcel |
P.S.
> Die Idee war eigentlich
> [mm]\sum_{k=1}^n k(1-q)q^{k-1} = \sum_{k=1}^n \left(kq^{k-1} - kq^k\right)[/mm]
>
> [mm]= \sum_{k=1}^n \left((k-1)q^{k-1} - kq^k\right)+\sum_{k=1}^nq^{k-1}[/mm]
>
> [mm]0*q^0-n*q^n+\frac {q^n-1} {q-1}\;.[/mm]
da braucht man jedenfalls nicht mehr als die geometrische Summenformel,
die Formel für Teleskopsummen und Indexshift!
Gruß,
Marcel
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![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]"){kind=small}
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