Surjektivität / Injektivität < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:41 Di 27.11.2018 | | Autor: | Paivren |
Hallo,
noch eine Frage zu komplexen Funktionen:
Ich will zeigen oder widerlegen, dass die folgende Funktion surjektiv oder injektiv ist:
[mm] f(z)=sin^{8}(z) [/mm] - [mm] sin^{5}(z) +\sqrt{13}sin^{4}(z) +\pi [/mm]
[edit: f: [mm] \IC [/mm] --> [mm] \IC]
[/mm]
Ich hatte gehofft, mit der Substitution c=sin(z) erstmal den Sinus wegzubekommen, aber dann steht da immer noch ein Polynom 8-ter Ordnung...
Die sin() Funktionen kann man mittels e-Funktionen darstellen. Aber bei so hohen Exponenten wird das am Ende dann trotzdem schnell ungemütlich.
Seht ihr einen einfachen Trick, mit dem man diese Funktion angehen kann?
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Di 27.11.2018 | | Autor: | Chris84 |
> Hallo,
>
> noch eine Frage zu komplexen Funktionen:
>
> Ich will zeigen oder widerlegen, dass die folgende Funktion
> surjektiv oder injektiv ist:
>
> [mm]f(z)=sin^{8}(z)[/mm] - [mm]sin^{5}(z) +\sqrt{13}sin^{4}(z) +\pi[/mm]
>
> Ich hatte gehofft, mit der Substitution c=sin(z) erstmal
> den Sinus wegzubekommen, aber dann steht da immer noch ein
> Polynom 8-ter Ordnung...
> Die sin() Funktionen kann man mittels e-Funktionen
> darstellen. Aber bei so hohen Exponenten wird das am Ende
> dann trotzdem schnell ungemütlich.
>
> Seht ihr einen einfachen Trick, mit dem man diese Funktion
> angehen kann?
Huhu,
Definitions- und Wertebereich waeren nett ;)
Sonst kann man nicht viel zur Surjektivitaet und Injektivitaet aussagen ;)
Lg,
Chris
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:46 Di 27.11.2018 | | Autor: | Paivren |
Sorry!
Die Funktion geht von C nach C!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:17 Mi 28.11.2018 | | Autor: | fred97 |
Das war keine Frage
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:16 Mi 28.11.2018 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> noch eine Frage zu komplexen Funktionen:
>
> Ich will zeigen oder widerlegen, dass die folgende Funktion
> surjektiv oder injektiv ist:
>
> [mm]f(z)=sin^{8}(z)[/mm] - [mm]sin^{5}(z) +\sqrt{13}sin^{4}(z) +\pi[/mm]
>
> [edit: f: [mm]\IC[/mm] --> [mm]\IC][/mm]
>
> Ich hatte gehofft, mit der Substitution c=sin(z) erstmal
> den Sinus wegzubekommen, aber dann steht da immer noch ein
> Polynom 8-ter Ordnung...
> Die sin() Funktionen kann man mittels e-Funktionen
> darstellen. Aber bei so hohen Exponenten wird das am Ende
> dann trotzdem schnell ungemütlich.
>
> Seht ihr einen einfachen Trick, mit dem man diese Funktion
> angehen kann?
>
>
Ich bin nicht im Bilde, was Ihr verwenden dürft und könnt.
Zunächst ist
(1) [mm] \sin( \IC)=\IC.
[/mm]
Nun sei p ein komplexes Polynom vom Grad [mm] \ge [/mm] 1 und $f(z):=p( [mm] \sin [/mm] z).$
Weiter sei [mm] w_0 \in \IC. [/mm] Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat das Polynom [mm] p-w_0 [/mm] eine Nullstelle [mm] v_0 [/mm] in [mm] \IC, [/mm] wir haben also [mm] p(v_0)=w_0.
[/mm]
Wegen (1) gibt es ein [mm] z_0 \in \IC [/mm] mit [mm] v_0 [/mm] = [mm] \sin z_0.
[/mm]
Damit ist [mm] f(z_0)=w_0.
[/mm]
Fazit: f ist surjektiv.
f ist nicht injektiv, denn f ist $2 [mm] \pi$ [/mm] - periodisch.
Zu den Zutaten:
ich denke , dass Du den Fundamentalsatz der Algebra verwenden darfst.
Sollte Dir (1) nicht bekannt sein, so versuche mal (1) zu zeigen. Ich helfe Dir, falls Du damit Probleme haben solltest.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:46 Mi 28.11.2018 | | Autor: | Paivren |
Vielen Dank, so ist es leicht lösbar!
|
|
|
|
