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| Aufgabe | [mm] \limes_{b\rightarrow\infty}\integral_{1}^{b}{(\bruch{1}{2})^x dx}
[/mm]
Hinweis : [mm] (\bruch{1}{2})^x [/mm] = [mm] e^{ln*\bruch{1}{2}*x} [/mm] |
Hallo !
Ich komme leider bei diesem Integral nicht weiter ... und ich weiß auch nicht wie man auf den Hinweis kommt.Das wäre das erste, was mich interessieren würde.
Bei der e funktion würde mir vielleicht die Substitutionsmethode einfallen ? ...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:28 Mo 01.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
wenn du eine positive Zahl zuerst logarithmierst und dann das Ergebnis als Exponenten an e setzt, dann hast du wieder die ursprüngliche Zahl. Das heißt, es gilt
[mm] $\left(\frac{1}{2}\right)^x [/mm] = [mm] e^{\ln \left(\frac{1}{2}\right)^x}$ \qquad [/mm] (1)
Nun gibt es aber ein Logarithmengesetz (lies das bitte nach, wenn du es nicht mehr weißt, der Beweis ist auch sehr einfach!), nach dem
[mm] $\log_b a^x [/mm] = x [mm] \log_b [/mm] a$ ist. (natürlich nur für positive a)
Damit kannst du den Ausdruck (1) vereinfachen zu
[mm] $e^{x \cdot \ln \frac{1}{2}}$
[/mm]
Damit sollte der Hinweis klar sein.
Deine Idee, zu substituieren, ist korrekt. Versuch es mal. Wenn du nicht weiterkommst, frag noch einmal nach.
Viel Erfolg!
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Hallo!
Die Substitutionsmethode wäre für das Integral m.E. etwas sehr schematisch und mit Kanonen auf Spatzen geschossen. Ein "scharfer Blick", wie man ihn im Laufe der Schulmathematik entwickeln sollte, liefert die Lösung schneller. Solange der Exponent (wie hier) lediglich die Form a·x hat (ln (1/2) ist eine Konstante [mm] \not= [/mm] 0), kann man einfach durch umgekehrtes Anwenden der Kettenregel die Stammfunktion ermitteln und die Lösung durch Ableiten überprüfen.
[mm] \integral {e^{ax} dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{a}*e^{ax} [/mm] (+c)
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Gut, also habe ich dann :
[mm] \limes_{b\rightarrow\infty}\integral_{1}^{b}{e^{x*ln*0,5} dx}= \bruch{1}{ln(0,5)}*e^{x*ln*0,5}
[/mm]
Soll ich dann einfach ganz normal Vorgehen mit F(b)-F(1) und eben für b unendlich einsetzen ?
Ich würde dann für F(b) 0 herausbekommen und für F(1) -0,72 ... bedeutet das Integral ist 0,72 im Intervall 1 bis b ; wobei b gegen unendlich strebt.
Stimmt das so ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:24 Mo 01.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich würde dann für F(b) 0 herausbekommen
Das ist unpräzise formuliert. F(b) geht gegen 0 für [mm]b\rightarrow\infty[/mm].
> und für F(1) -0,72
Nicht ganz, das ist eine Approximation. Du bekommst [mm]-\bruch{1}{2\ln2}[/mm] heraus, das ist nicht gleich 0,72, nur annähernd gleich.
> ... bedeutet das Integral ist 0,72 im Intervall 1 bis b ;
> wobei b gegen unendlich strebt.
> Stimmt das so ?
Ja, das Ergebnis für den Grenzwert ist [mm]\bruch{1}{2\ln2}[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:30 Mo 01.10.2007 | | Autor: | Eisquatsch |
Ok ich habs :D
Vielen vielen Dank an Euch alle für Eure Hilfe !
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ok ich hab da doch ein paar Probleme ...
(1) z=x*ln*0,5
(2) [mm] z'=\bruch{dz}{dx}=x
[/mm]
[mm] dx=\bruch{dz}{x}
[/mm]
(3) [mm] \integral{ \bruch{e^z}{x} dz}
[/mm]
ich wüsste nicht , wie ich hier weiter machen sollte ... oder sollte ich für x etwas einsetzen.ich könnte z=x*ln*0,5 nach x umformen ... dann würde da x= [mm] \bruch{z}{ln*0,5} [/mm] rauskommen.
Und wie mach ich dann weiter ? Ich hab ja dann [mm] e^x [/mm] im Zähler stehen ... irgendwie muss ich ja dann weiter machen ...
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Hallo EQ,
da haste aber falsch abgeleitet:
[mm] $z=x\cdot{}\ln\left(\frac{1}{2}\right)=\ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot{}x\Rightarrow z'=\frac{dz}{dx}=\ln\left(\frac{1}{2}\right)\Rightarrow [/mm] dx=....$
Damit sollte das aber nun kein Problem mehr sein...
LG
schachuzipus
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