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| Aufgabe | | Es sei [mm] y:I-\IR^2 [/mm] eine reguläre, einfach geschlossene Kurve mit positiver Krümmung k. Angenommen, es existiert ein c [mm] \in \IR, [/mm] so dass [mm] 0 |
Hallo!
ich brauche Hilfe bei dieser Aufgabe:
Die Länge haben wir wie folgt definiert:
[mm] L(y)=\integral_{a}^{b}{\parallel y'(t) \parallel dt} [/mm] und [a,b]=I.
Also da y auf I, einem Intervall liegt und keines angegeben ist, hat man bei der Länge auch a und b unbestimmt, oder?
Die Voraussetzung sagt mit, dass die Krümmung positiv ist und nach oben beschränkt(durch c).
In der Vorlesung haben wir für die Umlaufzahl n folgende Gleichung bewiesen:
[mm] n=\bruch{1}{2\pi}*\integral_{a}^{b}{k(t)*\parallel y'(t)\parallel dt}
[/mm]
Außerdem haben wir gezeigt, dass die Umlaufzahl einer geschlossenen Kurve [mm] n=\pm [/mm] 1(Kurve einfach geschlossen=>Kurve geschlossen)
[mm] =>\pm 1=\bruch{1}{2\pi}*\integral_{a}^{b}{k(t)*\parallel y'(t)\parallel dt}
[/mm]
Und jetzt schätz ich k(t) ab durch [mm] \le [/mm] c
[mm] =>\pm1\ge\bruch{1}{2\pi}*\integral_{a}^{b}{c*\parallel y'(t)\parallel dt}
[/mm]
Wenn man jetzt umstellt, hat man
[mm] \pm \bruch{2\pi}{c}\ge\integral_{a}^{b}{\parallel y'(t)\parallel dt}
[/mm]
Ok, sieht nicht ganz so aus, wie ich es haben möchte, aber scheint wohl der richtige Weg zu sein.
Kann mir einer zeigen, wo mein Abschätzungsfehler ist und wie regele ich das mit dem Vorzeichen?
Vielen Dank für die Hilfe
Gruß
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:26 Fr 28.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Idee ist richtig, aber deine Abschatzung wo du lapidar schreibst
"Und jetzt schätz ich k(t) ab durch $ [mm] \le [/mm] $ c"
solltest du überprüfen , am besten indem du begründest, dann merkst du den Fehler selbst
Gruss leduart
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Hallo
Ok, ich versuchs nochmal.
Irgendwie tu ich mir grad sehr schwer bei den Abschätzungen.
Es gilt:
[mm] $\bruch{1}{2\pi}\integral_{a}^{b}{k(t)\parallel y'(t)\parallel dt} [/mm] $ [mm] \le [/mm] $ [mm] \bruch{c}{2\pi}\cdot{}\integral_{a}^{b}{\cdot{}\parallel y'(t)\parallel dt} [/mm] $ nach Vor. [mm] 0
Es gilt auch [mm] \pm1\le1
[/mm]
Dann gilt insgesamt
[mm] \cdot{}\integral_{a}^{b}{\cdot{}\parallel y'(t)\parallel dt} \le \pm \bruch{2\pi}{c} \le \bruch{2\pi}{c}
[/mm]
Das erste Ungleichung gilt, weil wir ja das Integral nach unten abschätzen und deshalb ist die Umlaufzahl( [mm] \pm [/mm] 1) kleiner.
Und daraus folgt ja direkt
L(y) [mm] \ge \bruch{2\pi}{c}
[/mm]
Ist das soweit richtig?
gruß
TheBozz-mismo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:13 Sa 29.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum nicht hinschreiben:
[mm] 1=....\le [/mm] $ [mm] \bruch{c}{2\pi}\cdot{}\integral_{a}^{b}{\cdot{}\parallel y'(t)\parallel dt} =\bruch{c}{2\pi}*L$
[/mm]
und dann direkt L(y) $ [mm] \ge \bruch{2\pi}{c} [/mm] $
Aber ausser ein bissel wirr ist es richtig.
Gruss leduart
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Vielen Dank für deine Antwort
Gruß
TheBozz-mismo
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