Variation der Konstanten < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Lösen Sie das Anfangswertproblem dur VdK:
[mm] xy'=y+\wurzel{a²-x²}; y(\bruch{a}{2})=b [/mm] (a>0)
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so die Lösung der homogenen Gleichung ist:
xy'-y=0
[mm] y(x)=C*e^{-\integral{-\bruch{1}{x}}dx}
[/mm]
=y(x)=C*x
aber wie geht es dann weiter?
Ist es bis dahin richtig?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:19 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo Lotusbluete,
die homogene Lösung der DGL hast Du ja bereits bestimmt. Eine partikuläre Lösung findest Du durch Variation der Konstanten mit dem Ansatz $ [mm] y_p [/mm] (x) = u(x) x $, wobei das x durch die Lösung Deiner homogenen Gleichung reinkommt. Setzt Du diesen Ansatz in die ursprüngliche DGL ein, so bekommst Du aufgrund der ersten Ableitung einen Ausdruck für $ [mm] u^{'}(x) [/mm] $. Dies ist ein Bruch, in dessen Zähler die rechte Seite steht und dessen Nenner das Produkt der homogenen Lösung mit dem Koeffizient des $ [mm] y^{'} [/mm] (x) $ -Terms ist, also bei Dir
$$ [mm] u^{'}(x) [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{a^2-x^2}}{x \cdot x} [/mm] $$ Diesen Auadruck musst Du nun nach x integrieren und in die partikuläre Lösung einsetzen.
Viel Spaß dabei wünscht
Infinit
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Mir ist das noch nicht so ganz klar. Die Variation der konstanten sagt doch, das ich die Integrationskonstante aus der homogenen Gleichung durch eine Funktion ersetzen soll. Aber wie du dann auf deine Lösung kommst ist mir leider noch ein Rätsel. Für eine kurze Erklärung wäre ich sehr dankbar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:38 So 20.01.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo Lotusbluete,
gehe davon aus dass der Ansatz der Variation der Konstanten wirklich anwendbar ist (dies zu zeigen, ist eine andere, schwierigere Sache), so kommst Du auf meine Gleichung, indem Du diesen Ansatz einmal ableitest und in die DGL einsetzt.
Ich starte mal von der Gleichung
$$ [mm] a_1(x) y^{'} [/mm] + [mm] a_0(x) [/mm] y = r(x) $$ und berechne mir die erste Ableitung für den Ansatz der Variation der Konstanten, dies soll eine partikuläre Lösung [mm] y_p [/mm] ergeben, also
$$ [mm] y_p(x) [/mm] = C(x) [mm] y_h(x) [/mm] $$ und dies abgeleitet gibt
$$ [mm] y_p^{'} [/mm] (x) = [mm] C^{'}(x) y_h(x) [/mm] + C(x) [mm] y_h^{'}(x) \, [/mm] . $$ In die DGL eingesetzt erhält man
[mm] a_1(x) \cdot (C^{'}(x) y_h(x) [/mm] + C(x) [mm] y_h^{'}(x)) [/mm] + [mm] a_0(x) C(x)y_h(x) [/mm] = r(x) $$ und dies leicht umsortiert liefert
$$ C(x) [mm] \cdot (a_1(x) y_h^{'}(x) [/mm] + [mm] a_0(x) y_h [/mm] (x)) + [mm] a_1 [/mm] (x) [mm] C^{'}(x)y_h(x)= [/mm] r(x) [mm] \,. [/mm] $$
Die beiden ersten Terme auf der linken Seite der Gleichung ergeben aber genau 0, da [mm] y_h (x) [/mm] genau Lösung der homogenen DGL ist. Es bleibt also nur noch ein Term auf der linken Seite übrig, den Du einfach nach [mm] C^{#}(x) [/mm] auflösen kannst und das ist genau die von mir angegebene Gleichung.
Alles klar?
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:43 So 20.01.2008 | | Autor: | Hing |
hi,
du möchtest gerne diese aufgabe mit hilfe "Variation der Konstanten" lösen.
ihr habt beide den homogenen teil gelöst. der ist bis hier bei Variation der Konst. und partikuläre lösung gleich.
für partiküläre lösung wird ab diesem punkt zB im papula eine tabelle präsentiert, in der man eine vorgegebene störfunktion hat und dann einen lösungsansatz erhält. so ein lösungsansatz gibt mein buch aber leider nicht her für eine wurzelfunktion!
Infinit hat dann mit der Variation der Konstanten weitergemacht.
ich bin mir sicher das eine partikuläre lösung vorhanden ist, aber ich kann das nicht. ich könnte (bin mir also unsicher) mir vorstellen, dass es mit, [mm] y_{p} [/mm] als Störfunktion, so aussieht:
[mm] y_{p}=\wurzel{C^{2}+x^{2}}
[/mm]
man beachte, dass ich a gegen C ausgetauscht habe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:02 So 20.01.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo Hing,
die Hilfsfunktionen zur Bestimmung der partikulären Lösung setzen darauf, dass die rechte Seite durch Basislösungen dargestellt werden kann, als da sind die e-Funktionen, Sinus- und Cosinusterme und Produkte daraus. Eine Wurzel kannst Du nicht mit Hilfe solcher Funktionen exakt darstellen und deswegen kann dieser Ansatz, der Ansatz vom Typ der rechten Seite, nicht gelingen.
Viele Grüße,
Infinit
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hallo,
sorry das ich so dermassen auf dem Schlauch sehe.
Ich kann nicht sehen was da Null werden soll. Aber das liegt bestimmt daran das ich eine variable falsch interpretiert habe.
[mm] y_{h}=Cx [/mm] y'_{h}=1
[mm] a_{1}(x)=x
[/mm]
[mm] a_{0}(x)=-1
[/mm]
stimmt das soweit?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:23 Mi 23.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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