Vektorraum Beweise für Knobler < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei V ein K-Vektorraum und U,W [latex]c[/latex] V Unterräume.
a) Zeigen Sie, dass U [mm] [latex]\cap[/latex]W [/mm] ein Unterraum von V ist, jedoch U [mm] [latex]\cup[/latex] [/mm] W i. A. nicht. Finden
Sie Voraussetzungen an U und W unter denen U [mm] [latex]\cup[/latex]W [/mm] stets ein Unterraum ist.
Quasi als Vektorraum-“Ersatz” für U [W deVnieren wir die Menge
U +W := {u + w | u element U; w element W} [latex]c[/latex]V
und nennen sie die (Vektorraum-)Summe von U und W (in V ). Falls U [mm] [latex]\cap[/latex]W [/mm] = {0} ist, so
schreiben wir U [mm] \oplus [/mm] V statt U + V und nennen sie die direkte Summe von U und W.
b) Zeigen Sie: Ist V endlichdimensional, so gilt
dimK(U +W) = dimK(U) + dimK(W) - dimK(U [mm] [latex]\cap[/latex]W).
[/mm]
c) Zeigen Sie: Ist Y c V ein Unterraum mit U [mm] [latex]\cup[/latex] [/mm] V c Y , so gilt auch U + W c Y .
Folgern Sie, dass für einen Unterraum Y c V mit U [mm] [latex]\cup[/latex] [/mm] V c Y und Y c U + W,
bereits Y = U +W gelten muss.
Wir können daher sagen, dass U +W der kleinste Unterraum von V ist, der sowohl U als
auch W enthält. OUensichtlich ist U [mm] [latex]\cap[/latex] [/mm] W der größte Unterraum von V , der sowohl in U
als auch W enthalten ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Bitte um Hilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:45 Fr 11.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ulrike,
erstmal ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Zu Deiner Frage: Ich bitte Dich, Dir mal die Forenregeln (klick!) anzugucken.
Wenn Du gerne möchtest, dass auf die Frage so geantwortet wird, dass man
Dir hilft, die Aufgaben zu lösen, dann biete auch eigene Lösungsansätze oder
sag', warum Dir meinetwegen schon der Anfang schwer fällt.
So, wie Du die Frage formuliert hast, ist das aus meiner Sicht jedenfalls
eine Aufgabe, mit der sich diejenigen beschäftigen sollen, die Spaß dran
haben - das heißt, Du "brauchst" selbst die Aufgabe gar nicht.
Wenn dem nicht so ist und Du Hilfe beim Lösen der Aufgabe brauchst, dann,
wie gesagt, schreibe, was Dir bis dato eingefallen ist und wo es hängt. Der
Status wird dann auch wieder entsprechend angepasst (wenn Du das
wünschst).
Gruß,
Marcel
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> Es sei V ein K-Vektorraum und U,W [latex]c[/latex] V
> Unterräume.
> a) Zeigen Sie, dass U [mm]\cap W[/mm] ein Unterraum
> von V ist, jedoch U [mm]\cup[/mm] W i. A. nicht.
Hallo,
.
Wie schon Marcel sagt: es geht in diesem Forum nicht darum, sich langweilende Leute mit Knobelaufgaben zu beschäftigen, und es ist auch nicht als Lösungsmaschine gedacht.
Der Plan ist vielmehr, daß diejenigen, die sich mit ihren Aufgaben beschäftigen und aus irgendwelchen Gründen nicht weiterkommen, die Hilfe erhalten, die sie in die Lage versetzt, die Aufgabe zu lösen.
Wenn Du zeigen sollst, daß U [mm]\cap W[/mm] ein Unterraum von V ist, liegt es doch nahe, die Unterraumkriterien abzuarbeiten.
Wie lauten sie?
Was hast Du versucht?
Um die Unterraumeigenschaft von [mm] U\cup [/mm] W zu widerlegen, bringst Du ein Gegenbeispiel, z.B. zwei Unterräume des [mm] \IR^2, [/mm] deren Vereinigung kein VR ist.
LG Angela
> Finden
> Sie Voraussetzungen an U und W unter denen U
> [mm][latex]\cup[/latex]W[/mm] stets ein Unterraum ist.
> Quasi als Vektorraum-“Ersatz” für U [W deVnieren wir
> die Menge
> U +W := {u + w | u element U; w element W}
> [latex]c[/latex]V
> und nennen sie die (Vektorraum-)Summe von U und W (in V ).
> Falls U [mm][latex]\cap[/latex]W[/mm] = {0} ist, so
> schreiben wir U [mm]\oplus[/mm] V statt U + V und nennen sie die
> direkte Summe von U und W.
> b) Zeigen Sie: Ist V endlichdimensional, so gilt
> dimK(U +W) = dimK(U) + dimK(W) - dimK(U
> [mm][latex]\cap[/latex]W).[/mm]
> c) Zeigen Sie: Ist Y c V ein Unterraum mit U
> [mm][latex]\cup[/latex][/mm] V c Y , so gilt auch U + W c Y .
> Folgern Sie, dass für einen Unterraum Y c V mit U
> [mm][latex]\cup[/latex][/mm] V c Y und Y c U + W,
> bereits Y = U +W gelten muss.
> Wir können daher sagen, dass U +W der kleinste Unterraum
> von V ist, der sowohl U als
> auch W enthält. OUensichtlich ist U [mm][latex]\cap[/latex][/mm] W
> der größte Unterraum von V , der sowohl in U
> als auch W enthalten ist.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt. Bitte um Hilfe
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