Wesentliche Singularität < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:59 Sa 28.07.2012 | | Autor: | Blubie |
Hallo. Gegeben ist [mm] f(z):=e^{1/z}, z_{0}=0. [/mm] Wieso folgt aus [mm] z_{n}=1/n [/mm] -> 0, [mm] f(z_{n})=e^n [/mm] -> unendl sowie [mm] z_{n'}=-1/n [/mm] -> 0, [mm] f(z_{n'})=e^{-n} [/mm] -> 0 (n -> unendl.), dass [mm] z_{0} [/mm] eine wesentliche Singularität ist? bzw. man muss doch eigentlich zeigen, dass [mm] \limes_{z \rightarrow z_{0}}|f(z)| \not= \infty.
[/mm]
Vielen Dank im Voraus :)
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Man muß zeigen, daß der Limes
[mm]\lim_{z \to 0} \left| \operatorname{e}^{\frac{1}{z}} \right|[/mm]
nicht existiert (das ist nicht dasselbe wie zu sagen, daß er [mm]\neq \infty[/mm] ist), und zwar weder eigentlich (dann gäbe es eine hebbare Lücke) noch uneigentlich (dann gäbe es einen Pol).
Und genau die Nichtexistenz des Limes wird hier gezeigt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 Sa 28.07.2012 | | Autor: | Blubie |
Aber worauf beruht das, bzw. woraus folgert man dann, dass der limes nicht existiert.
ich dachte immer existent heißt, dass ein konkreter wert ungleich unendlich angenommen wird
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Wenn der Limes für [mm]z \to 0[/mm] existiert, muß sich bei jeder Annäherung an 0 dieser Wert einstellen. Bei der Annäherung mit den Stellen [mm]z_n = \frac{1}{n}[/mm] stellt sich [mm]\infty[/mm] als uneigentlicher Wert ein, bei der Annäherung mit [mm]z_n = - \frac{1}{n}[/mm] stellt sich dagegen 0 als Wert ein. Also existiert der Limes nicht.
Wenn man sich übrigens mit [mm]z_n = \frac{\operatorname{i}}{n \pi}[/mm] an die 0 annähern würde, bekäme man ein Hinundher-Flackern zwischen 1 und -1.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:00 Sa 28.07.2012 | | Autor: | fred97 |
Aus f(1/n) [mm] \to \infty [/mm] folgt , dass [mm] z_0=0 [/mm] keine hebbare Sing. von f ist.
Aus f(-1/n) [mm] \to [/mm] 0 folgt , dass [mm] z_0=0 [/mm] kein Pol von f ist.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Sa 28.07.2012 | | Autor: | Blubie |
worauf beruhen die zwei folgerungen, also dass 0 keine hebbare singularität bzw. ein pol ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 Sa 28.07.2012 | | Autor: | teo |
Hallo, Singularitäten können entweder Pole sein, hebber oder wesentlich.
Folglich ist [mm] z_0 [/mm] genau dann eine wesentliche Singularität wenn [mm] z_0 [/mm] weder Pol noch hebbare Singularität ist.
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:15 So 29.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> worauf beruhen die zwei folgerungen, also dass 0 keine
> hebbare singularität bzw. ein pol ist?
Aus f(1/n) $ [mm] \to \infty [/mm] $ folgt, dass f in der Nähe von 0 nicht beschränkt ist.
Was sagt Riemann dazu ?
Aus f(-1/n) $ [mm] \to [/mm] 0$ folgt, dass |f(z)| [mm] \to \infty [/mm] (z [mm] \to [/mm] 0) nicht gilt.
FRED
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