Wurzelkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:14 So 15.04.2012 | | Autor: | db60 |
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(\wurzel[n]{n}-3)^{n}
[/mm]
wenn bei dieser Folge das Wurzelkriterium anwende bekommt ich eine Grenzwert von -2. Das heißt doch a<1 und somit ist die Reihe konvergent ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:30 So 15.04.2012 | | Autor: | DM08 |
Hi,
du hast was vergessen..
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(\wurzel[n]{n}-3)^{n}
[/mm]
Nach WK : [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|} [/mm] (hier fehlt ein "sup") mit [mm] a_n:=(\wurzel[n]{n}-3)^{n} \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}|\wurzel[n]{n}-3)| [/mm] (hier fehlt wieder ein sup), den Rest kannst du dir denken. Es folgt Divergenz.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:36 So 15.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> du hast was vergessen..
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(\wurzel[n]{n}-3)^{n}[/mm]
>
> Nach WK : [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|}[/mm] (hier
> fehlt ein "sup") mit [mm]a_n:=(\wurzel[n]{n}-3)^{n} \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}|\wurzel[n]{n}-3)|[/mm]
> (hier fehlt wieder ein sup), den Rest kannst du dir denken.
> Es folgt Divergenz.
Es fehlt kein "sup" ! Denn der GW ex.
> Betrachte [mm]\summe_{n=1}^{\infty}q^n[/mm] mit
> [mm]q:=\wurzel[n]{n}-3.[/mm] (geometrische Reihe) nur für |q|<1
> folgt Konvergenz !
Das ist Quatsch !
Das q in der geom. Reihe darf nicht von n abhängen
FRED
>
> Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:48 So 15.04.2012 | | Autor: | DM08 |
Hi,
Stimmt, tut mir leid. Aber das mit dem "sup" habe ich nur hingeschrieben, damit er das sonst nicht vergisst als "Definition".
Das mit der geometrischen Reihe war wohl zu schnell gedacht und ist natürlich falsch.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 So 15.04.2012 | | Autor: | db60 |
> Hi,
>
> du hast was vergessen..
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(\wurzel[n]{n}-3)^{n}[/mm]
>
> Nach WK : [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|}[/mm] (hier
> fehlt ein "sup") mit [mm]a_n:=(\wurzel[n]{n}-3)^{n} \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}|\wurzel[n]{n}-3)|[/mm]
> (hier fehlt wieder ein sup), den Rest kannst du dir denken.
was ist ein sup ? supremum ? Kann man das vielleicht noch weiter erläutern. Das habe ich noch nicht verstanden ?
> Es folgt Divergenz. Betrachte [mm]\summe_{n=1}^{\infty}q^n[/mm] mit
> [mm]q:=\wurzel[n]{n}-3.[/mm] (geometrische Reihe) nur für |q|<1
> folgt Konvergenz !
>
> Gruß
Und warum darf man hier einfach die geomtrische Reihe verwenden [mm] q:=\wurzel[n]{n}-3.[/mm] [/mm] ich dachte man muss immer im ganznen ein hoch n stehen haben. Damit man das benutzen darf ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 So 15.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Hi,
> >
> > du hast was vergessen..
> >
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(\wurzel[n]{n}-3)^{n}[/mm]
> >
> > Nach WK : [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|}[/mm] (hier
> > fehlt ein "sup") mit [mm]a_n:=(\wurzel[n]{n}-3)^{n} \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}|\wurzel[n]{n}-3)|[/mm]
> > (hier fehlt wieder ein sup), den Rest kannst du dir
> denken.
>
> was ist ein sup ? supremum ? Kann man das vielleicht noch
> weiter erläutern. Das habe ich noch nicht verstanden ?
Mein Vorredner meint den limes superior. Den braucht man hier aber nicht, denn der GW ex.
FRED
> > Es folgt Divergenz. Betrachte [mm]\summe_{n=1}^{\infty}q^n[/mm] mit
> > [mm]q:=\wurzel[n]{n}-3.[/mm] (geometrische Reihe) nur für |q|<1
> > folgt Konvergenz !
> >
> > Gruß
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 So 15.04.2012 | | Autor: | db60 |
> > > Hi,
> > >
> > > du hast was vergessen..
> > >
> > > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(\wurzel[n]{n}-3)^{n}[/mm]
> > >
> > > Nach WK : [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|}[/mm] (hier
> > > fehlt ein "sup") mit [mm]a_n:=(\wurzel[n]{n}-3)^{n} \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}|\wurzel[n]{n}-3)|[/mm]
> > > (hier fehlt wieder ein sup), den Rest kannst du dir
> > denken.
> >
> > was ist ein sup ? supremum ? Kann man das vielleicht noch
> > weiter erläutern. Das habe ich noch nicht verstanden ?
>
>
> Mein Vorredner meint den limes superior. Den braucht man
> hier aber nicht, denn der GW ex.
>
> FRED
> > > Es folgt Divergenz. Betrachte [mm]\summe_{n=1}^{\infty}q^n[/mm]
> mit
> > > [mm]q:=\wurzel[n]{n}-3.[/mm] (geometrische Reihe) nur für |q|<1
> > > folgt Konvergenz !
> > >
> > > Gruß
> >
>
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(\wurzel[n]{n}-3)^{n}
[/mm]
Ich versuche jetzt die Aufgabe mit Hilfe des Vergleichskriteriums auf konvergenz zu prüfen?
Kann man die Reihe auf Teilen in [mm] \bruch{n^{3}}{3}+ \bruch{1}{3}^{n} [/mm] ? was kann ich nun machen um deutlich zu zeigen, dass diese Reihe konvergent ist ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:09 So 15.04.2012 | | Autor: | DM08 |
Hi, du hattest doch schon alles fertig, "nur" den Betrag vergessen..
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\wurzel[n]{n}-3| [/mm] = ?
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 So 15.04.2012 | | Autor: | db60 |
> Hi, du hattest doch schon alles fertig, "nur" den Betrag
> vergessen..
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\wurzel[n]{n}-3|[/mm] = ?
>
> Gruß
Das sollte eine Übung für mich sein. Wie man das ganze mit dem Vergleichskriterium beweisen kann. Ich würde nur gerne wissen wie ich dann die aufgabe angehen müsste ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:24 So 15.04.2012 | | Autor: | DM08 |
[mm] (a+b)^n\not=a^n+b^n
[/mm]
Dafür bräuchtest du den Binomischen Lehrsatz.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 So 15.04.2012 | | Autor: | db60 |
> Hi, du hattest doch schon alles fertig, "nur" den Betrag
> vergessen..
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\wurzel[n]{n}-3|[/mm] = ?
>
> Gruß
Entschuldigung, habe die falsche Reihe gepostet.
Die Reihe lautet
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{2}+1}{3^{n}}
[/mm]
Hier wollte ich das Vergleichskriterium anwenden :)
und das habe ich dann so umgeformt [mm] \bruch{n^{3}}{3}+ \bruch{1}{3}^{n} [/mm] $
Man darf doch jetzt zeigen, dass wenn die partialsummen konvergent sind. Ist die gesammte Reihe konvergent ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 So 15.04.2012 | | Autor: | DM08 |
[mm] \bruch{n^2+1}{3^n}=\bruch{n^2}{3^n}+\bruch{1}{3^n}=\bruch{n^2}{3^n}+(\bruch{1}{3})^n
[/mm]
Ich weiß nun aber nicht, was du genau damit machen willst. Das liegt vorallem daran, dass du keine Klammern setzt.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 So 15.04.2012 | | Autor: | db60 |
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> [mm]\bruch{n^2+1}{3^n}=\bruch{n^2}{3^n}+\bruch{1}{3^n}=\bruch{n^2}{3^n}+(\bruch{1}{3})^n[/mm]
>
> Ich weiß nun aber nicht, was du genau damit machen willst.
> Das liegt vorallem daran, dass du keine Klammern setzt.
>
> Gruß
Also in der Musterlösung steht, dass man mithilfe des Vergleichskriteriums die Konvergenz gezeigt wurde. Ist der Ansatz so falsch ? [mm] (\bruch{1}{3})^{n} [/mm] ist doch schonmal konvergent. Darf man das einfach so schreiben. Oder wie muss ich das genau nachweisen ? Und wie mache ich das mit dem anderen Summanden ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 So 15.04.2012 | | Autor: | DM08 |
Hi,
du kannst, wenn du [mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_n+b_n [/mm] hast und du weißt, dass diese Reihe konvergiert, darauf schließen, dass [mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_n [/mm] und auch [mm] \summe_{i=1}^{\infty}b_n [/mm] konvergieren. Du willst aber gerade mit einer Summe auf der anderen schließen.. Mit "Vergleichkriterium" meinst du in dem Fall, dass du eine Majorante finden willst. Genau das gleiche kannst du auch tun, wenn du einen Verdacht hast, dass deine Reihe divergiert, dann schätzt du nach unten ab mit einer Reihe von der du weißt, dass sie schon divergiert. Als Beispiel zum letzteren : [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{\sqrt{n}}\ge\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{n} [/mm] und damit hast du eine divergente Minorante gefunden, d.h., dass deine Ursprungsreihe, in dem Fall [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{\sqrt{n}} [/mm] auch divergiert. Ich hoffe, dass dir das weiterhilft..
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:32 So 15.04.2012 | | Autor: | db60 |
> Hi,
>
> du kannst, wenn du [mm]\summe_{i=1}^{\infty}a_n+b_n[/mm] hast und du
> weißt, dass diese Reihe konvergiert, darauf schließen,
> dass [mm]\summe_{i=1}^{\infty}a_n[/mm] und auch
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}b_n[/mm] konvergieren. Du willst aber
> gerade mit einer Summe auf der anderen schließen.. Mit
> "Vergleichkriterium" meinst du in dem Fall, dass du eine
> Majorante finden willst. Genau das gleiche kannst du auch
> tun, wenn du einen Verdacht hast, dass deine Reihe
> divergiert, dann schätzt du nach unten ab mit einer Reihe
> von der du weißt, dass sie schon divergiert. Als Beispiel
> zum letzteren :
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{\sqrt{n}}\ge\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{n}[/mm]
> und damit hast du eine divergente Minorante gefunden, d.h.,
> dass deine Ursprungsreihe, in dem Fall
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{\sqrt{n}}[/mm] auch divergiert.
> Ich hoffe, dass dir das weiterhilft..
>
> Gruß
das ist genau mein Problem. Ich weis nicht was ich nehmen soll. Ich habe mir überlegt den zähler auf [mm] 2^{n} [/mm] zu erweitern. Das muss ich aber mit Induktionbeweisen, dass es auch wirklich größer ist. Gibt es keine einfachere Möglichkeit ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:52 So 15.04.2012 | | Autor: | DM08 |
Naja, da musst du induktiv eigt. nicht viel zeigen, wenn du mit [mm] 2^n [/mm] im Zähler erweitern willst, dann kannst du das immer tun, aber das wird dich nicht weit bringen.
Du hattest ja schon richtig erkannt, dass du es umformen kannst.
[mm] \bruch{n^2+1}{3^n}=\bruch{n^2}{3^n}+\bruch{1}{3^n}=\bruch{n^2}{3^n}+(\bruch{1}{3})^n
[/mm]
Bei solchen Reihen lohnt es sich auch weniger nach einer Majorante oder Minorante zu suchen, ich weiß nicht genau, wieso du das unbedingt machen willst. Wieso probierst du es nicht mit dem QK hier aus ?
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 So 15.04.2012 | | Autor: | db60 |
> Naja, da musst du induktiv eigt. nicht viel zeigen, wenn du
> mit [mm]2^n[/mm] im Zähler erweitern willst, dann kannst du das
> immer tun, aber das wird dich nicht weit bringen.
>
> Du hattest ja schon richtig erkannt, dass du es umformen
> kannst.
>
> [mm]\bruch{n^2+1}{3^n}=\bruch{n^2}{3^n}+\bruch{1}{3^n}=\bruch{n^2}{3^n}+(\bruch{1}{3})^n[/mm]
>
> Bei solchen Reihen lohnt es sich auch weniger nach einer
> Majorante oder Minorante zu suchen, ich weiß nicht genau,
> wieso du das unbedingt machen willst. Wieso probierst du es
> nicht mit dem QK hier aus ?
>
> Gruß
Also mit der QK habe ich es gerade ausprobiert. Es klappt. Unser Institut hat uns das so vorgeschlagen, dass wir bei dieser Aufgabe das VK anwenden sollen. Ich wollte eben [mm] 2^{n} [/mm] verwenden damit ich daraus [mm] (\bruch{2}{3})^{n} [/mm] machen kann. Und das ist eine bekannte geometrische Reihe und somit konvergent. Das war nur eine Idee.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:10 So 15.04.2012 | | Autor: | DM08 |
Nun gut, dennoch solltest du nicht vergessen, dass meistens das QK dich weiterbringen wird. Ich schildere dir mal, wie ich es mit Reihen mache, vllt. hilft dir das :
Gegeben sei die Reihe : [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n
[/mm]
1. Ist diese zusammengesetzt ? Wenn ja, untersuche einzeln die Bestandteile.
2. Spezieller Typ ? geometrische Reihe, alternierende Reihe, Wechselsumme, verallgemeinerte harmonische Reihe ?
3. Nullfolge ? (Trivialkriterium)
4. QK
5. WK
6. Majorante
7. Minorante
8. Hier nachfragen :P
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:22 So 15.04.2012 | | Autor: | db60 |
Alles klar, danke! Der 8. Punkt hat mich zum lachen gebracht. An diesen Punkt gelangen die meisten recht schnell :D
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:39 Mo 16.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Naja, da musst du induktiv eigt. nicht viel zeigen, wenn du
> > mit [mm]2^n[/mm] im Zähler erweitern willst, dann kannst du das
> > immer tun, aber das wird dich nicht weit bringen.
> >
> > Du hattest ja schon richtig erkannt, dass du es umformen
> > kannst.
> >
> >
> [mm]\bruch{n^2+1}{3^n}=\bruch{n^2}{3^n}+\bruch{1}{3^n}=\bruch{n^2}{3^n}+(\bruch{1}{3})^n[/mm]
> >
> > Bei solchen Reihen lohnt es sich auch weniger nach einer
> > Majorante oder Minorante zu suchen, ich weiß nicht genau,
> > wieso du das unbedingt machen willst. Wieso probierst du es
> > nicht mit dem QK hier aus ?
> >
> > Gruß
>
> Also mit der QK habe ich es gerade ausprobiert. Es klappt.
> Unser Institut hat uns das so vorgeschlagen, dass wir bei
> dieser Aufgabe das VK anwenden sollen. Ich wollte eben
> [mm]2^{n}[/mm] verwenden damit ich daraus [mm](\bruch{2}{3})^{n}[/mm] machen
> kann. Und das ist eine bekannte geometrische Reihe und
> somit konvergent. Das war nur eine Idee.
Das ist doch eine gute Idee ! Es ist
[mm]\bruch{n^2}{3^n} \le (\bruch{2}{3})^{n}[/mm] für n [mm] \ge [/mm] 4
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:34 Mo 16.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> du kannst, wenn du [mm]\summe_{i=1}^{\infty}a_n+b_n[/mm] hast und du
> weißt, dass diese Reihe konvergiert, darauf schließen,
> dass [mm]\summe_{i=1}^{\infty}a_n[/mm] und auch
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}b_n[/mm] konvergieren.
Das ist doch Blödsinn !!!
Nimm mal [mm] a_n=n [/mm] und [mm] b_n [/mm] = -n.
FRED
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