nicht rektifizierbar < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:31 Di 12.09.2006 | | Autor: | Reaper |
| Aufgabe | | Warum ist die Kurve f:]0,1] -> IR, f(x) = sin(1/x) nicht rektifizierbar? |
sin(1/x) windet sich im Punkt 0 unendlich oft. (habs in Mathematica eingegeben.) Also unbeschränkte Variation. Aber der Punkt 0 ist ja gar nicht dabei darum macht mich das Bsp. stuzig.
Also eine Kurve ist rektifizierbar wenn sie stetig diffbar ist. Das ist die Fkt....also so kanns nicht gehen.
Nun haben wir gelernt dass die Fkt. von beschränkter Variation sein muss auf gut deutsch die Summe der Geradenstücke welche die Länge der Kurve annähern muss endlich sein. Aber wie prüf ich das nach?
mfg,
Reaper
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:45 Mi 13.09.2006 | | Autor: | DirkG |
> Also eine Kurve ist rektifizierbar wenn sie stetig diffbar ist.
Das stimmt für abgeschlossene Intervalle, wenn die Differenzierbarkeit zumindest einseitig auch auf die Intervallenden zutrifft - das ist hier nicht der Fall!
> Nun haben wir gelernt dass die Fkt. von beschränkter Variation sein muss
> auf gut deutsch die Summe der Geradenstücke welche die Länge der Kurve annähern muss endlich sein.
> Aber wie prüf ich das nach?
Gib eine streng monoton gegen Null fallende Argumentfolge [mm](x_n)[/mm] an, für die abwechselnd die Funktionswerte [mm]\pm 1[/mm] herauskommen, d.h. z.B. [mm]y_{2n}=f(x_{2n})=+1[/mm] und [mm]y_{2n+1}=f(x_{2n+1})=-1[/mm], das ist bei dieser Funktion [mm]f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right)[/mm] leicht möglich. Dann betrachte den Streckenzug [mm](x_1,y_1) \to (x_2,y_2) \to (x_3,y_3) \to \ldots[/mm], der kürzer als die Kurvenlänge ist (ich erinnere an "die Gerade ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten") und trotzdem aber die Länge [mm]\infty[/mm] hat.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:57 Do 14.09.2006 | | Autor: | Reaper |
Hallo..ok die Folge wäre:
[mm] sin(\bruch{1}{(\bruch{\pi}{2} + \pi*n)^{-1}}
[/mm]
Wenn ich sie aufsummieren kommt mir klarerweiße immer abwechselnd 0 und 1 heraus. Ich weiß nicht was du da am Schluss genau meinst.
mfg,
Reaper
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:35 Do 14.09.2006 | | Autor: | DirkG |
Wenn du was aufsummierst??? Etwa die Funktionswerte???
Du musst die Streckenlängen aufsummieren, und da hast du vom Punkt [mm](x_{2n},y_{2n}) = (x_{2n},1)[/mm] bis zum Punkt [mm](x_{2n+1},y_{2n+1}) = (x_{2n+1},-1)[/mm] nach Pythagoras die Weglänge
[mm] $$\sqrt{(x_{2n+1}-x_{2n})^2+(1-(-1))^2} [/mm] = [mm] \sqrt{(x_{2n+1}-x_{2n})^2+2^2} [/mm] > 2$$
genauso dann von [mm](x_{2n+1},y_{2n+1})[/mm] zu [mm](x_{2n+2},y_{2n+2})[/mm] usw.
Graphisch veranschaulichen und mitdenken!
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