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| Aufgabe | Sind die nachfolgenden Funktionen im Punkt (0,0) stetig? ( f:R² -> R)
(a) f(x,y):= [mm] \{ {\bruch{y^3 - x^2y}{(x^2 + y^2)^2}, (x,y) \not= (0,0),
0 , (x,y) = (0,0).} } [/mm] |
Um das zu zeigen, müsste ich ja zeigen, dass die Funktion aus stetigen Funktion zusammen gesetzt ist. Wie kann ich da rangehen? Was nehme ich für x und y?
Danke schon mal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:40 Di 28.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo lilalaunebäri!
Um hier die Stetigkeit zu zeigen bzw. zu widerlegen, solltest Du in Polarkoordinaten umwandeln und [mm] $r\rightarrow [/mm] 0$ ermitteln:
$$x \ := \ [mm] r*\cos(\varphi)$$
[/mm]
$$y \ := \ [mm] r*\sin(\varphi)$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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> Hallo lilalaunebäri!
>
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> Um hier die Stetigkeit zu zeigen bzw. zu widerlegen,
> solltest Du in Polarkoordinaten umwandeln und [mm]r\rightarrow 0[/mm]
> ermitteln:
>
> [mm]x \ := \ r*\cos(\varphi)[/mm]
> [mm]y \ := \ r*\sin(\varphi)[/mm]
>
Achso, okay und wie gehe ich dabei vor? Wie wandel ich um?
> Gruß
> Loddar
LG.
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:02 Di 28.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo lilalaunebäri!
Die "Umwandlung" habe ich Dir doch direkt vorgegeben. Setze nun in die Funktionsvorschrift ein und fasse zusammen.
Denke dabei aber auch z.B. an: [mm] $\sin^2(\varphi)+\cos^2(\varphi) [/mm] \ = \ 1$ .
Gruß
Loddar
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Okay, wenn ich es richtig verstanden habe, dann erhalte ich:
[mm] \bruch{sin(\phi)(sin^2(\phi)-cos^2(\phi))}{r}
[/mm]
Richtig?
Und wie fahre jetzt weiter fort?
LG.
Vielen Dank für deine Bemühungen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:31 Di 28.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo lilalaunebäri!
> [mm]\bruch{sin(\phi)(sin^2(\phi)-cos^2(\phi))}{r}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Sehr gut ...
> Und wie fahre jetzt weiter fort?
Führe nun die Grenzwertbetrachtung [mm] $r\rightarrow 0\downarrow$ [/mm] durch. Ergibt sich hier der Grenzwert für $f(0,0) \ = \ 0$ ?
Gruß
Loddar
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> > [mm]\bruch{sin(\phi)(sin^2(\phi)-cos^2(\phi))}{r}[/mm]
>
> Sehr gut ...
>
> Führe nun die Grenzwertbetrachtung [mm]r\rightarrow 0\downarrow[/mm]
> durch.
>
Wie meinst du das? Wie soll ich jetzt [mm] r\to0\downarrow [/mm] betrachten?! Ich weiß doch nichts über den Zähler
> Ergibt sich hier der Grenzwert für [mm]f(0,0) \ = \ 0[/mm] ?
Wie meinst du das?
> Gruß
> Loddar
>
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:34 Di 28.04.2009 | | Autor: | Rino |
Nimm dir ein festes [mm] $\phi=\bruch{\pi}{2}$ [/mm] und lasse $r$ gegen $0$ streben. Wäre $f$ nun stetig, so müsste gelten: [mm] $\lim_{r\to0}\bruch{sin(\phi)(sin^2(\phi)-cos^2(\phi))}{r}=0$. [/mm] Mit [mm] $\Phi=\bruch{\pi}{2}$ [/mm] folgt nun:
[mm] $\lim_{r\to0}\bruch{sin(\phi)(sin^2(\phi)-cos^2(\phi))}{r}=\lim_{r\to0}\bruch{sin(\bruch{\pi}{2})(sin^2(\bruch{\pi}{2})-cos^2(\bruch{\pi}{2}))}{r}=\lim_{r\to0}\bruch{1(1-0)}{r}=\lim_{r\to0}\bruch{1}{r}=+\infty$
[/mm]
Also ist $f$ nicht stetig in $(0,0)$.
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> Nimm dir ein festes [mm]\phi=\bruch{\pi}{2}[/mm] und lasse [mm]r[/mm] gegen [mm]0[/mm]
> streben.
Hier habe noch eine Frage! Ist dieses [mm] \phi [/mm] beliebig!? Letztendlich steht r am Ende, unabhängig von
[mm] \phi, [/mm] im Nenner! Und da r gegen 0 läuft, ist [mm] \phi [/mm] beliebig!
Richtig?
> Wäre [mm]f[/mm] nun stetig, so müsste gelten:
> [mm]\lim_{r\to0}\bruch{sin(\phi)(sin^2(\phi)-cos^2(\phi))}{r}=0[/mm].
> Mit [mm]\Phi=\bruch{\pi}{2}[/mm] folgt nun:
>
> [mm]\lim_{r\to0}\bruch{sin(\phi)(sin^2(\phi)-cos^2(\phi))}{r}=\lim_{r\to0}\bruch{sin(\bruch{\pi}{2})(sin^2(\bruch{\pi}{2})-cos^2(\bruch{\pi}{2}))}{r}=\lim_{r\to0}\bruch{1(1-0)}{r}=\lim_{r\to0}\bruch{1}{r}=+\infty[/mm]
> Also ist [mm]f[/mm] nicht stetig in [mm](0,0)[/mm].
LG
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Hallo lilalaunebaeri,
> > Nimm dir ein festes [mm]\phi=\bruch{\pi}{2}[/mm] und lasse [mm]r[/mm] gegen [mm]0[/mm]
> > streben.
>
> Hier habe noch eine Frage! Ist dieses [mm]\phi[/mm] beliebig!?
> Letztendlich steht r am Ende, unabhängig von
> [mm]\phi,[/mm] im Nenner! Und da r gegen 0 läuft, ist [mm]\phi[/mm]
> beliebig!
>
> Richtig?
Hmm, nochmal klarer:
Wenn der Grenzwert [mm] $\lim\limits_{r\to 0\downarrow}\frac{\sin(\phi)(\cos^2(\phi)-\sin^2(\phi))}{r}$ [/mm] unabhängig vom Winkel [mm] $\phi$, [/mm] also für beliebiges [mm] $\phi$ [/mm] existiert und $=0=f(0,0)$ ist, dann ist das Biest stetig.
Mein Vorredner hat aber mit dem Winkel [mm] $\phi=\frac{\pi}{2}$ [/mm] einen Winkel gefunden, für den das Teil hier gegen [mm] $\infty$ [/mm] abhaut
Also kann $f$ in $(0,0)$ nicht stetig sein
>
>
>
> > Wäre [mm]f[/mm] nun stetig, so müsste gelten:
> >
> [mm]\lim_{r\to0}\bruch{sin(\phi)(sin^2(\phi)-cos^2(\phi))}{r}=0[/mm].
> > Mit [mm]\Phi=\bruch{\pi}{2}[/mm] folgt nun:
> >
> >
> [mm]\lim_{r\to0}\bruch{sin(\phi)(sin^2(\phi)-cos^2(\phi))}{r}=\lim_{r\to0}\bruch{sin(\bruch{\pi}{2})(sin^2(\bruch{\pi}{2})-cos^2(\bruch{\pi}{2}))}{r}=\lim_{r\to0}\bruch{1(1-0)}{r}=\lim_{r\to0}\bruch{1}{r}=+\infty[/mm]
> > Also ist [mm]f[/mm] nicht stetig in [mm](0,0)[/mm].
>
>
> LG
>
Gruß
schachuzipus
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Okay, habe mir nochmal ne andere Aufgabe rausgesucht bei der ich wieder nicht weiter komme!
Und zwar: [mm] f(x,y)=\begin{cases}\bruch{xy}{\wurzel[]{|x^2|}+y^2} , & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \mbox{ } \\ 0 & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Ich habe die Vermutung das diese Funktion stetig ist!
Mein erster Schritt war wieder die Umwandlung in die Polarkoordinaten. Ich erhalte: [mm] \bruch{r^2sin(\phi)cos(\phi)}{\wurzel{|rcos(\phi)|}+r^2sin^2(\phi)} [/mm] !
So, jetzt habe ich zum Bsp [mm] \phi=\bruch{\pi}{2} [/mm] eingesetzt und bei [mm] r\rightarrow0 [/mm] strebt dieser Bruch gegen Null!
Wie zeige ich das aber jetzt für ein beliebiges [mm] \phi?
[/mm]
LG
Vielen Dank für die Bemühungen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:09 Mi 29.04.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
> Okay, habe mir nochmal ne andere Aufgabe rausgesucht bei
> der ich wieder nicht weiter komme!
>
> Und zwar:
> [mm]f(x,y)=\begin{cases}\bruch{xy}{\wurzel[]{|x^2|}+y^2} , & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \mbox{ } \\ 0 & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> Ich habe die Vermutung das diese Funktion stetig ist!
Ist sie aber nicht. Zumindest nicht im Ursprung. Betrachte:
[mm] $\lim_{x\to 0}f(x,0)=0$
[/mm]
[mm] $\lim_{x\to 0}f(x,x)=1$ [/mm] (hier wurde 2 mal Regel von L'Hospital angewendet)
Damit ist der Grenzwert im Ursprung nicht eindeutig und die Funktion dort nicht stetig.
Gruß
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> Hallo,
>
> > Okay, habe mir nochmal ne andere Aufgabe rausgesucht bei
> > der ich wieder nicht weiter komme!
> >
> > Und zwar:
> > [mm]f(x,y)=\begin{cases}\bruch{xy}{\wurzel[]{|x^2|}+y^2} , & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \mbox{ } \\ 0 & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \mbox{} \end{cases}[/mm]
Hey,
habe mich verschrieben! Die Funktion lautet:
[mm]f(x,y)=\begin{cases}\bruch{xy}{\wurzel[]{|x|}+y^2} , & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \mbox{ } \\ 0 & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \mbox{} \end{cases}[/mm]
Wie sieht das jetzt hier aus? Immer noch nicht stetig!?
Kannst du mir nochmal kurz zeigen, wie du die Grenzwerte bestimmst!?
>
> >
> > Ich habe die Vermutung das diese Funktion stetig ist!
>
> Ist sie aber nicht. Zumindest nicht im Ursprung.
> Betrachte:
>
> [mm]\lim_{x\to 0}f(x,0)=0[/mm]
> [mm]\lim_{x\to 0}f(x,x)=1[/mm] (hier
> wurde 2 mal Regel von L'Hospital angewendet)
>
> Damit ist der Grenzwert im Ursprung nicht eindeutig und die
> Funktion dort nicht stetig.
>
> Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:22 Do 30.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo,
> >
> > > Okay, habe mir nochmal ne andere Aufgabe rausgesucht bei
> > > der ich wieder nicht weiter komme!
> > >
> > > Und zwar:
> > > [mm]f(x,y)=\begin{cases}\bruch{xy}{\wurzel[]{|x^2|}+y^2} , & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \mbox{ } \\ 0 & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> Hey,
> habe mich verschrieben! Die Funktion lautet:
>
> [mm]f(x,y)=\begin{cases}\bruch{xy}{\wurzel[]{|x|}+y^2} , & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \mbox{ } \\ 0 & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> Wie sieht das jetzt hier aus? Immer noch nicht stetig!?
Doch !
Es ist
$|f(x,y)| [mm] \le \wurzel{|x|}|y|$ [/mm] für alle $(x,y)$
Also
[mm] $\limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)}f(x,y) [/mm] = 0 = f(0,0)$
FRED
>
> Kannst du mir nochmal kurz zeigen, wie du die Grenzwerte
> bestimmst!?
>
> >
> > >
> > > Ich habe die Vermutung das diese Funktion stetig ist!
> >
> > Ist sie aber nicht. Zumindest nicht im Ursprung.
> > Betrachte:
> >
> > [mm]\lim_{x\to 0}f(x,0)=0[/mm]
> > [mm]\lim_{x\to 0}f(x,x)=1[/mm] (hier
> > wurde 2 mal Regel von L'Hospital angewendet)
> >
> > Damit ist der Grenzwert im Ursprung nicht eindeutig und die
> > Funktion dort nicht stetig.
> >
> > Gruß
>
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| Aufgabe | $ [mm] f(x,y)=\begin{cases}\bruch{xy}{\wurzel[]{|x|}+y^2} , & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \mbox{ } \\ 0 & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \mbox{} \end{cases} [/mm] $
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Ich habe da immer noch ein klitzekleines problem mit der grenzwert bestimmung.
ich habe also:
$ [mm] \bruch{r^2sin(\phi)cos(\phi)}{\wurzel{|rcos(\phi)|}+r^2sin^2(\phi)} [/mm] $
und wie genau zeige ich das für ein beliebiges $ [mm] \phi? [/mm] $
vielleicht hat fred ja die lösung schon geschrieben, nur versteh ich seinen schritt nicht!
danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:28 Di 05.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f(x,y)=\begin{cases}\bruch{xy}{\wurzel[]{|x|}+y^2} , & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \mbox{ } \\ 0 & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
>
> Ich habe da immer noch ein klitzekleines problem mit der
> grenzwert bestimmung.
>
> ich habe also:
> [mm]\bruch{r^2sin(\phi)cos(\phi)}{\wurzel{|rcos(\phi)|}+r^2sin^2(\phi)}[/mm]
>
> und wie genau zeige ich das für ein beliebiges [mm]\phi?[/mm]
> vielleicht hat fred ja die lösung schon geschrieben, nur
> versteh ich seinen schritt nicht!
Ich habe Dir geschrieben:
$ |f(x,y)| [mm] \le \wurzel{|x|}|y| [/mm] $ für alle (x,y)
Das erhält man durch Äquivalenzumformungen (rechne mal selbst):
[mm] \bruch{|xy|}{\wurzel{|x|}+y^2} \le \wurzel{|x|}|y| \gdw [/mm]
0 [mm] \le \wurzel{|x|}|y|+y^2
[/mm]
Die letzte Ungleichung ist zweifelsohne richtig
FRED
>
> danke
>
>
>
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hey fred
deine umgleichung verstehe ich, und ich komme auch auf dasselbe ergebniss nur weiß ich nicht so genau, was mir das bringen soll und woher du dir die rechte seite nimmst. also ich meine das hier: : [mm] \le \wurzel{|x|}|y|
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:47 Di 05.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Man kanns auch mit einer Abschätzung erledigen, aber das ist ja nicht so beliebt. Trotzdem:
$ [mm] \bruch{|xy|}{\wurzel{|x|}+y^2} \le \bruch{|xy|}{\wurzel{|x|}} =\wurzel{|x|}|y| [/mm] $
FRED
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jez weiß ich ja, dass die fkt. kleiner gleich istund falls x,y gegen 0,0 läuft, läuft der fkt.wert auch gegen 0, reicht das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:10 Di 05.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Ja, wenn Du es ordentlich aufschreibst.
FRED
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