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Oberstufenmathematik - Analysis/Analytische Geometrie
Aufgabenblatt 5
Abgabe: Do 29.01.2009 19:00		30.12.2008
Aufgabe 1

Gegeben seien die Funktionen $ f(x) = x^3 - 9x^2 + 24x $ und $ g(x) = x^3 - 6x^2 - 9x $.

a) Untersuchen Sie f auf Nullstellen, Extrema und Wendepunkte. Bestimmen Sie jeweils die Koordinaten der Punkte und geben Sie diese an.
b) Erstellen Sie eine Wertetabelle für $ 1 \le x \le 5 $.
c) Zeichnen Sie die Graphen von f und g für $ -0,5 \le x \le 5,5 $ in ein gemeinsames Koordinatensystem.
d) Zeigen Sie, dass f und g genau zwei Punkte gemeinsam haben.
e) Zeigen sie, dass die Graphen von f und g sich in gleichgrossen Winkeln schneiden und bestimmen Sie die grösse dieser Schnittwinkel.
f) Bestimmen Sie den Flächeninhalt der von f und g eingeschlossenen Fläche.
g) Zeigen Sie, dass die Wendetangenten von f und g parallel verlaufen. Die Wendetangenten bilden mit den Koordinatenachsen ein Trapez. Bestimmen Sie dessen Flächeninhalt.
h) Die Graphen von f und g schneiden aus den Parallelen zur y-Achse für $ 0 \le x \le 5 $ eine Strecke heraus. Bestimmen Sie die maximale Länge dieser Strecken.
Aufgabe 2


Gegeben seien die Funktionen $ f(x) = -x^4 + 2x^3 $ und $ g(x) = -(x-1)^2 + 1 $

a) Bestimmen Sie Nullstellen, Extrema und Wendepunkte von f.
b) Zeichnen Sie die Graphen von f und g im Intervall $ -0,5 \le x \le 2,5 $ in ein gemeinsames Koordinatensystem.
c) Bestimmen Sie die Schnittpunkte von f und g im betrachteten Intervall.
d) Bestimmen Sie die Grösse der Schnittwinkel für die ermittelten Schnittpunkte.
e) Bestimmen Sie den Inhalt der von f und g im ersten Qudranten eingeschlossenen Fläche.
f) Ein achsenparalleles Rechteck mit einer Ecke im Ursprung und der gegenüberliegenden auf dem Graphen von f soll maximalen Inhalt haben. Bestimmen Sie den entsprechenden x-Wert.
g) Für welches a (0 < a < 2) ist der Inhalt zwischen dem Graphen von g und der x-Achse gleich $ \bruch{3}{4}\ a $ ?
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