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Dietlind Bäro
Daniel Metzsch		www.matheraum.de
Mathe für's ABI 2009
Aufgabenblatt 1
Abgabe: So 01.02.2009 15:00		04.01.2009
Aufgabe 1
Gegeben sei die Funktion f durch $ f(x) = \bruch{x^4 - 17 x^2 + 16}{3 x^2} $

1. Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich, das Symmetrieverhalten, Nullstellen (mit Steigung in den Nullstellen) und Extrempunkte sowie die Näherungsfunktion a(x) für betragsmäßig große x.
Zeichnen Sie die Graphen von f und a in dasselbe Koordinatensystem über dem Intervall [-5;5].
Die 2. Ableitung der Funktion lautet: $ f''(x) = \bruch{2(x^4 + 48)}{3 x^4} $  

2. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Graphen von f und der x-Achse umschlossen wird.

3. Die Graphen von f und a umschließen zwischen der rechten Minimalstelle $ x_1 $ von f und der größten Nullstelle $ x_0 $ von f eine Fläche $ A_{1,0} $.
Berechnen Sie diese Fläche.
Bestimmen Sie den prozentualen Anteil dieser Fläche an der ins Unendliche reichenden Fläche zwischen den beiden Graphen über dem Intervall $ [x_1;8[. $

4. Betrachten Sie einen Punkt P(u;v) auf dem Graphen von f mit 1< u <4.
Die Parallele zur x-Achse durch P, die y-Achse und die Verbindungsstrecke von P zum tiefsten Punkt der Näherungsfunktion a(x) bilden ein Dreieck.
Weisen Sie nach, dass es unter diesen Dreiecken eines gibt, das den kleinsten Flächeninhalt besitzt.
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