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Laplace-Verschiebungssatz
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Laplace-Verschiebungssatz

Verschiebungssätze



Eine Funktion $ f(t) $ wird im Zeitbereich längs der t-Achse verschoben. Wir achten hier natürlich auf die Verschiebungsrichtung und betrachten daher die Auswirkung auf die Bildfunktion in zwei Fällen:



1. Fall: die Verschiebung um den Wert $ a $ mit $ a>0 $

$ \mathcal{L}\{f(t-a)\}=\integral_0^\infty{f(t-a)\cdot{}e^{-st}\ dt} $


durch Substitution ergibt sich

$ u=t-a\quad t=u+a\quad dt=du $


die Substitution hat folgende Auswirkung auf die Integrationsgrenzen


untere Grenze: $ t=0\ \Rightarrow\ u=-a $
obere Grenze:  $ t=\infty\ \Rightarrow\ u=\infty $


$ \mathcal{L}\{f(t-a)\}=\integral_{-a}^\infty{f(u)\cdot{}e^{-s(u+a)}\ du}=e^{-as}\cdot{}\integral_{-a}^\infty{f(u)\cdot{}e^{-su}\ du} $


dieses Integral kann unterteilt werden im Intervall $ -a<u<0\quad und\quad 0\le u<\infty $

im ersten Intervallabschnitt ist es indentisch 0 und findet keine Berücksichtigung bei der weiteren Betrachtung, somit erhält man

$ \mathcal{L}\{f(t-a)\}=e^{-as}\cdot{}\integral_0^\infty{f(u)\cdot{}e^{-su}\ du}=e^{-as}\cdot{}F(s) $





2.Fall: die Verschiebung um den Wert $ a $ mit $ a<0 $

$ \mathcal{L}\{f(t+a)\}=\integral_0^\infty{f(t+a)\cdot{}e^{-st}\ dt} $


durch Substitution ergibt sich hier

$ u=t+a\quad t=u-a\quad dt=du $


die Grenzen verändern sich entsprechend zu

untere Grenze: $ t=0\ \Rightarrow u=a $
oberer Grenze: $ t=\infty\ \Rightarrow\ u=\infty $



$ \mathcal{L}\{f(t+a)\}=\integral_{a}^\infty{f(u)\cdot{}e^{-s(u-a)}\ du}=e^{as}\cdot{}\integral_{a}^\infty{f(u)\cdot{}e^{-su}\ du} $


da das Intervall des Integrals im 2.Fall erst bei $ +a $ startet, aber bereits bei $ 0 $ mit der Integration begonnen wird, muss der Wert des Intagrals im Teilintervall $ 0<u<a $ subtrahiert werden


$ \mathcal{L}\{f(t+a)\}=e^{as}\cdot{}\left(\integral_{0}^\infty{f(u)\cdot{}e^{-su}\ du}-\integral_{0}^a{f(u)\cdot{}e^{-su}\ du}\right)=e^{as}\cdot{}\left(F(s)-\integral_{0}^a{f(u)\cdot{}e^{-su}\ du}\right) $





Für die Zusammenfassung ersetze ich wieder das $ u $ durch $ t $, um den Zeitbezug deutlich zu machen (bitte z.K.: diese Substitution hat aber nichts mit vorhergehnder zu tun).



erster Verschiebungssatz

$ \mathcal{L}\{f(t-a)\}=e^{-as}\cdot{}\integral_0^\infty{f(t)\cdot{}e^{-st}\ dt}=e^{-as}\cdot{}F(s) $



zweiter Verschiebungssatz

$ \mathcal{L}\{f(t+a)\}=e^{as}\cdot{}\left(\integral_{0}^\infty{f(t)\cdot{}e^{-st}\ dt}-\integral_{0}^a{f(t)\cdot{}e^{-st}\ dt}\right)=e^{as}\cdot{}\left(F(s)-\integral_{0}^a{f(t)\cdot{}e^{-st}\ dt}\right) $





Beispiele folgen




zur Laplacetransformation

Letzte Änderung: Fr 24.11.2006 um 11:32 von Herby
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