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Forum "Stochastik" - Bedingte Wahrscheinlichkeit
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Bedingte Wahrscheinlichkeit: Abhängigkeit und Mächtigkeit
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:08 Sa 29.07.2023
Autor: b.reis

Aufgabe
Elementarereignisse:

P(A) = [mm] \bruch{1}{3} [/mm]

P(B) = [mm] \bruch{1}{3} [/mm]

P(C) = [mm] \bruch{1}{3} [/mm]

OMEGA = {A,B,C}

Es gelten also La Place Regeln.
Ich könnte auch sagen es ist ein Würfel mit 3 Augen.

Weiter ist eine Liste beliebiger länge gegeben [A,B,C,A,C,C,A,B,B,A,A.....]

Also die Länge spielt nicht wirklich eine Rolle.
Was wichtig ist, ist die Frage nach der Wahrscheinlichkeit des Auftretens von A,B oder C in dieser liste.

Bei eins angefangen [A,.,.,.,......] beträgt die Wahrscheinlichkeit für

P(A) = [mm] \bruch{1}{3} [/mm]

So da ich jetzt das erste Ereignis kenne kann ich mich Fragen

was ist P(B|A)

also wie wahrscheinlich ist es, dass B als zweites Element in der Liste [A,B,......]  erscheint, unter der Bedingung dass, das erste Element A ist

P(B|A)

Ist das überhaupt möglich oder sind die Mengen

{A},{B},{C} Disjunkt ?

Aber dann denke ich dass die Länge der Liste doch eine Rolle spielt und die Menge {[A,B,....]} = X = {A,B} , Reihenfolge egal.

Dann Müsste die Menge Y ={A,(B,C)} also die bekannte Menge sein

und dann sieht die Formel der Bedingten Wahrscheinlichkeit für das auftreten von X unter der Bedingung Y so aus.

Gegeben:

X={A,B}

Y={A,B,C}

[mm] P(X|Y)=\bruch{P(X \cap Y)}{P(Y)} [/mm]

P(X [mm] \cap [/mm]  Y)= {A,B} [mm] =2*\bruch{1}{3}=\bruch{2}{3} [/mm]

P(Y) = 1

[mm] =\bruch{\bruch{2}{3}}{1} =\bruch{2}{3} [/mm]

Aber irgendwie drehe ich mich hier im Kreis,

denn eigentlich ist die Wahrscheinlichkeit für jedes Ereignis [mm] \bruch{1}{3} [/mm]
aber die Wahrscheinlichkeit von B muss doch steigen wenn A oder C bereits gewürfelt wurden.

Danke



        
Bezug
Bedingte Wahrscheinlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:18 Sa 29.07.2023
Autor: statler

Hi!

> Elementarereignisse:
>  
> P(A) = [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>  
> P(B) = [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>  
> P(C) = [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>  
> OMEGA = {A,B,C}
>  
> Es gelten also La Place Regeln.
>  Ich könnte auch sagen es ist ein Würfel mit 3 Augen.

Gemeint ist wohl: mit 3 Seiten. Oder besser: ein normaler Würfel mit 2 Einsen, 2 Zweien und 2 Dreien.

>  
> Weiter ist eine Liste beliebiger länge gegeben
> [A,B,C,A,C,C,A,B,B,A,A.....]
>  
> Also die Länge spielt nicht wirklich eine Rolle.
>  Was wichtig ist, ist die Frage nach der Wahrscheinlichkeit
> des Auftretens von A,B oder C in dieser liste.
>  
> Bei eins angefangen [A,.,.,.,......] beträgt die
> Wahrscheinlichkeit für
>  
> P(A) = [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>  
> So da ich jetzt das erste Ereignis kenne kann ich mich
> Fragen
>
> was ist P(B|A)
>
> also wie wahrscheinlich ist es, dass B als zweites Element
> in der Liste [A,B,......]  erscheint, unter der Bedingung
> dass, das erste Element A ist
>
> P(B|A)
>  Ist das überhaupt möglich oder sind die Mengen
>
> {A},{B},{C} Disjunkt ?

Das sieht man doch hoffentlich: ja!

>
> Aber dann denke ich dass die Länge der Liste doch eine
> Rolle spielt und die Menge {[A,B,....]} = X = {A,B} ,
> Reihenfolge egal.
>  
> Dann Müsste die Menge Y ={A,(B,C)} also die bekannte Menge
> sein
>  
> und dann sieht die Formel der Bedingten Wahrscheinlichkeit
> für das auftreten von X unter der Bedingung Y so aus.
>  
> Gegeben:
>  
> X={A,B}
>  
> Y={A,B,C}
>  
> [mm]P(X|Y)=\bruch{P(X \cap Y)}{P(Y)}[/mm]
>  
> P(X [mm]\cap[/mm]  Y)= {A,B} [mm]=2*\bruch{1}{3}=\bruch{2}{3}[/mm]
>  
> P(Y) = 1
>  
> [mm]=\bruch{\bruch{2}{3}}{1} =\bruch{2}{3}[/mm]

Nee, so wird das nix. Du könntest X = {(*,B)} und Y = {(A,*)} nehmen. Das zugehörige Modell ist hier 'Ziehen mit Zurücklegen'. Der Würfel (bzw. die Urne) hat kein Gedächtnis. Wenn das anders wäre, käme man in die Welt der Markow-Prozesse.

>  
> Aber irgendwie drehe ich mich hier im Kreis,
>
> denn eigentlich ist die Wahrscheinlichkeit für jedes
> Ereignis [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>  aber die Wahrscheinlichkeit von B muss doch steigen wenn A
> oder C bereits gewürfelt wurden.

Das ist der bekannte Roulette-Irrtum: Wenn 10mal hintereinander 'Rot' gefallen ist, ist im 11. Versuch die Wahrscheinlichkeit für 'Schwarz' immer noch 1/2.

Gruß Dieter


Bezug
        
Bezug
Bedingte Wahrscheinlichkeit: passenden W'keitsraum wählen !
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:29 So 30.07.2023
Autor: Al-Chwarizmi

Gemäß deiner Beschreibung sind A,B und C die (je gleichwahrscheinlichen) Ausgänge einer einzelnen Ausführung des Zufallsexperiments.
Der Wahrscheinlichkeitsraum Omega beschreibt also nur diesen simplen "Laplace-Raum".
Wenn du dann aber Serien beliebiger Länge von Einzelausführungen dieses Versuches betrachten willst, brauchst du auch entsprechend ausgewählte Wahrscheinlichkeitsräume, deren Elemente eben Sequenzen (der gewählten Länge) wie etwa  <A,C,B,B,C>  etc. sein können.

LG ,    Al-Chwarizmi

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