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Forum "Geraden und Ebenen" - Dreiseitige Pyramide ...
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Dreiseitige Pyramide ...: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 20:20 Do 16.02.2023
Autor: hase-hh

Aufgabe
Gegeben ist eine schiefe dreiseitige Pyramide mit den Punkten ABCP, und der Grundfläche ABC. Die Grundfläche liegt in der x-y-Ebene. Die Pyramide wird außerdem durch die Ebenen [mm] E_1, E_2 [/mm] und [mm] E_3 [/mm] begrenzt.

[mm] E_1 [/mm] :  7x-7y-5z = 7                [mm] E_2: [/mm]  7x +7y +6z = 35.

Die Ebene [mm] E_3 [/mm] enthält die Punkte B und C und steht senkrecht zur x-y-Ebene.

B (-3 / -4 / 0).


a) Weisen Sie nach, dass der Eckpunkt A die Koordinaten (3 / 2 / 0) besitzt.

b) Berechnen Sie aller Punkt [mm] C_i [/mm] in der x-y-Ebene, für die die Dreiecke [mm] ABC_i [/mm] rechtwinklig sind (AB [mm] \perp AC_i) [/mm] und einen Flächeninhalt von 30 FE haben.

c) Der Punkt C (8 / -3 ( 0) ist ein Punkt der Ebene [mm] E_3. [/mm] Ermitteln Sie eine parameterfreie Gleichung der Ebene [mm] E_3. [/mm]

d) Geben Sie die Koordinaten des Punktes P an. Berechnen Sie anschließend das Volumen der Pyramide ABCP.

e) Eine Ebene [mm] E_4 [/mm] geht durch den Punkt P und liegt parallel zu der Geraden durch B und C. Sie teilt die Pyramide ABCP in zwei Teilkörper [mm] K_1 [/mm] und [mm] K_2, [/mm] wobei A ein Eckpunkt des Teilkörpers [mm] K_1 [/mm] ist. Das Verhältnis der Volumina von [mm] K_1 [/mm] und [mm] K_2 [/mm] ist 1:3. Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene [mm] E_4. [/mm]





Moin Moin,

mich interessieren zunächst Lösungsansätze und ob es ggf. andere (einfache) Lösungswege gibt...

zu a)  

Wenn die Ebenen [mm] E_1, E_2, E_3 [/mm] die Pyramide begrenzen, enthalten diese Ebenen jeweils eine Seitenfläche der Pyramide.

Da [mm] E_2 [/mm] die Punkte B und A enthält, enthält [mm] E_2 [/mm] die vordere Seitenfläche der Pyramide.

Da [mm] E_1 [/mm] den Punkt A enthält, enthält [mm] E_1 [/mm] die linke Seitenfläche der Pyramide.

A muss daher auf der Schnittgeraden der beiden Ebenen [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_2 [/mm] liegen.

[mm] E_1 [/mm] - [mm] E_2 [/mm]   - - >   -14y -11 z = -28

Da A in der x-y-Ebene liegt muss z =0 sein  =>  y = 2.

Dies in [mm] E_2 [/mm] oder [mm] E_1 [/mm] eingesetzt  ergibt für A die x-Koordinate

bspw.  7x -7*2 -5*0 = 7    => x = 3


Gibt es weitere oder auch einfachere Ideen?


zu b)

Da der rechte Winkel bei A liegen soll, müssen die Vektoren [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AC_i} [/mm] orthogonal verlaufen, d.h.
ihr Skalarprodukt muss null ergeben.

[mm] \overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AC_i} [/mm] = 0

[mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = [mm] \vektor{-3 \\ -4 \\0} [/mm] - [mm] \vektor{3 \\ 2 \\0} [/mm]

[mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = [mm] \vektor{-6 \\ -6 \\0} [/mm]

[mm] \overrightarrow{AC_i} [/mm] = [mm] \vektor{c_1 \\ c_2 \\0} [/mm] - [mm] \vektor{3 \\ 2 \\0} [/mm]

[mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = [mm] \vektor{c_1 -3 \\ c_2 -2 \\0} [/mm]


[mm] \vektor{-6 \\ -6 \\0} \circ \vektor{c_1 -3 \\ c_2 -2 \\0} [/mm]
= 0

[mm] -6c_1 [/mm] + 18 [mm] -6c_2 [/mm] +12 = 0

[mm] -6c_1 [/mm] + 30 = [mm] 6c_2 [/mm]

[mm] c_2 [/mm] = [mm] -c_1 [/mm] +5


[mm] C_i (c_1 [/mm] / [mm] -c_1 [/mm] +5 / 0)


Probe

[mm] \vektor{-6 \\ -6 \\0} \circ \vektor{c_1 -3 \\ -c_1 +5 -2 \\0} [/mm]
= 0


Weiter. Ferner soll der Flächeninhalt eines solchen Dreiecks 30 FE betragen.

1. Weg

[mm] A_{Dreieck} [/mm] = [mm] \bruch{g*h}{2} [/mm]

[mm] A_{Dreieck} [/mm] =  [mm] \bruch{AB*AC_i}{2} [/mm]

| AB | = [mm] \wurzel{(-6)^2 + (-6)^2 +0} [/mm] = [mm] 6*\wurzel{2} [/mm]

| [mm] AC_i [/mm] | = [mm] \wurzel{(c_1 -3)^2 + (-c1 +3)^2 +0} [/mm]

30 = [mm] \bruch{ 6*\wurzel{2}* \wurzel{(c_1 -3)^2 + (-c1 +3)^2 +0}}{2} [/mm]

30 = [mm] 3*\wurzel{2}* \wurzel{(c_1 -3)^2 + (-c1 +3)^2 +0} [/mm]


  10 = [mm] \wurzel{2}* \wurzel{(c_1 -3)^2 + (-c1 +3)^2 +0} [/mm]

100 = [mm] 2*((c_1 -3)^2 [/mm] + (-c1 [mm] +3)^2) [/mm]

[mm] c_{1,1} [/mm] = 8
[mm] c_{1,2} [/mm] = -2


2. Weg

A = 1/2* | [mm] \overrightarrow{AB}x\overrightarrow{AC_i} [/mm]


30 = 1/2* | [mm] \vektor{-6 \\ -6 \\0} [/mm] x [mm] \vektor{c_1 -3 \\ -c_1 +3\\0}| [/mm]


30 = 1/2* | [mm] \vektor{0 \\ 0 \\6c_1-18 - (-6c_1+18)} [/mm] |

30 = 1/2* | [mm] \vektor{0 \\ 0 \\12c_1-36} [/mm] |

60 = [mm] \wurzel{(12c_1-36)^2} [/mm]

3600 = [mm] (12c_1-36)^2 [/mm]  

[mm] 12c_1 [/mm] -36 = [mm] \pm [/mm] 60

[mm] c_{1,1} [/mm] = 8
[mm] c_{1,2} [/mm] = -2


zu c)

Die Ebene [mm] E_3 [/mm] enthält die rechte Seitenfläche der Pyramide.

Sie enthält die Punkte B und C und steht senkrecht zur x-y-Ebene.


1. Weg

D.h. ein Normalenvektor von [mm] E_3 [/mm] muss senkrecht zum Normalenvektor der x-y-Ebene verlaufen.

[mm] \vec{n_3} \circ \vec{n_{xy}} [/mm] = 0

[mm] \vec{n_3} \circ \vektor{0 \\ 0 \\ 1 } [/mm]  = 0

=> [mm] \vec{n_3} [/mm] =  [mm] \vektor{a \\ b \\ 0 } [/mm]


Normalenform von [mm] E_3 [/mm]  

[mm] [\vec{x} [/mm] - [mm] \vektor{-3 \\ -4 \\ 0 }] \circ \vektor{a \\ b \\ 0 } [/mm] = 0


I. ax +by = -3a -4b

Da [mm] E_3 [/mm] den Punkt enthält  


a*8 +b*(-3) = -3a - 4b     bzw.   b = -11a


b eingesetzt in I. ergibt

II.  ax -11ay = -3a +44a

Da a [mm] \ne [/mm] 0 sein muss  =>  [mm] E_3: [/mm]   x - 11y = 41


Gibt es vielleicht noch einfachere Wege?


*** Ergänzung ***  

2. Weg

Da [mm] E_3 [/mm] senkrecht zur x-y-Ebene verlaufen soll, verläuft [mm] E_3 [/mm] in BC-Richtung und in z-Richtung!

=>  [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{-3 \\ -4 \\ 0} +r*\vektor{11 \\ 1 \\ 0} +s*\vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm]


[mm] \vektor{11 \\ 1 \\ 0}x\vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] = [mm] r*\vektor{1 \\ -11 \\ 0} [/mm]


[mm] [\vec{x} [/mm] - [mm] \vektor{-3 \\ -4 \\ 0 }] \circ \vektor{1 \\ -11 \\ 0 } [/mm] = 0

x -11y = 41

***






zu d)

Bei der Berechnung von P ist mir ein Fehler unterlaufen!

Der Punkt P, die Spitze der Pyramide, ist der Punkt, an dem die drei Ebenen [mm] E_1, E_2, E_3 [/mm] sich schneiden.

Ich bilde zunächst die Schnittgeraden von [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_3 [/mm] sowei von [mm] E_2 [/mm] und [mm] E_3. [/mm] Dann ermittle ich den Schnittpunkt der beiden Schnittgeraden und erhalte P.


Auch hier: Gibt vielleicht noch andere Ideen?

[mm] E_1 -7*E_3 [/mm]

     7x-7y-5z = 7

(-)  x -11y = 41   | *7

[mm] g_1: [/mm]     70y -5z = -280    ok


[mm] E_2 -7*E_3 [/mm]

     7x+7y+6z = 35

(-)  x -11y = 41   | *7

[mm] g_2: [/mm]     70y +6z = -252

Ergänzung

[mm] g_2 [/mm] : 84y +6z = -252


[mm] g_1 [/mm] - [mm] g_2 [/mm]

-11z = -28    =>  z = [mm] \bruch{28}{11} [/mm]

z in [mm] g_2 [/mm] eingesetzt   =>  y = - [mm] \bruch{42}{11} [/mm]


und y und z in [mm] E_1 [/mm] eingesetzt  =>  x = -1  


=>  P (-1 /  - [mm] \bruch{42}{11} [/mm] / [mm] \bruch{28}{11}) [/mm]



Ergänzung

[mm] 6*g_1 [/mm] + [mm] 5*g_2 [/mm]

840y = -2940    =>  y = -3,5

y in [mm] g_2 [/mm] eingesetzt   =>  z = 7


und y und z in [mm] E_1 [/mm] eingesetzt  =>  x = 2,5


=>  P (2,5 /  - 3,5 / 7 )

Dies hat natürlich auch Einfluß auf die Volumenberechnung und auf Aufgabenteil e); s.u.!!



Volumenberechnung

1. Weg

V = [mm] \bruch{1}{3}G*h [/mm]

Die Grundfläche  G = [mm] \bruch{1}{2}* [/mm] | [mm] \overrightarrow{AB}x\overrightarrow{AC} [/mm] |

G = [mm] \bruch{1}{2}* [/mm] | [mm] \vektor{-6 \\ -6 \\ 0}x\vektor{5 \\ -5 \\0 }| [/mm]
G = [mm] \bruch{1}{2}* [/mm] | [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 60}| [/mm]

G = 30 FE


Mir fällt gerade auf, dass der C ja zu einem rechtwinkligen Dreieck führt !

Da die Höhe hier der Abstand der Spitze zur x-y-Ebene ist, und die Grundfläche in der x-y-Ebene liegt, kann h direkt abgelesen werden.

Ergänzung

V = [mm] \bruch{1}{3}*30*\bruch{28}{11} \approx [/mm] 25,45 VE

V = [mm] \bruch{1}{3}*30*7 [/mm] = 70 VE

2. Weg

Das Volumen einer dreiseitigen Pyramide kann über 1/6 des Spatprodukts berechnet werden...


V = [mm] \bruch{1}{6}*(\overrightarrow{AB}x\overrightarrow{AC})\circ\overrightarrow{AP} [/mm]

V = [mm] \bruch{1}{6}*\vektor{0 \\ 0 \\ 60} \circ \vektor{-1 -3 \\ -42/11 -2 \\ 28/11} [/mm]


V = [mm] \bruch{1}{6}*60*28/11 \approx [/mm] 25,45


V = [mm] \bruch{1}{6}*\vektor{0 \\ 0 \\ 60} \circ \vektor{2,5 -3 \\ -3,5 -2 \\ 7} [/mm]


V = [mm] \bruch{1}{6}*60*7 [/mm] = 70 VE



zu e)


Ich weiß einen Punkt P (-1 / -42/11 / 28/11)   P (2,5 / -3,5 / 7) der Ebene und eine Richtung der Ebene [mm] \overrightarrow{BC}. [/mm]

Ich kenne das Gesamtvolumen, also auch 1/4 bzw. 3/4 des Volumens.


Lösungsidee. Ich zeichne das Dreieck ABC, welches einen rechten Winkel bei A hat!! Und dann eine Parallele zu BC, diese schneidet die Kanten AB in D bzw. AC in E.

Da die Ebene parallel zu [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ -5 \\ 0} [/mm] verläuft, schneidet sie die x-y-Ebene in den Punkten D und E (auf den Kanten AB und AC) im gleichen Verhältnis.

=>  

[mm] \overrightarrow{OD} [/mm] = [mm] \overrightarrow{OA} +r*\overrightarrow{AB} [/mm]

[mm] \overrightarrow{OD} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 0} +r*\vektor{ -6\\ -6 \\ 0} [/mm]


[mm] \overrightarrow{OE} [/mm] = [mm] \overrightarrow{OA} +r*\overrightarrow{AC} [/mm]

[mm] \overrightarrow{OE} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 0} +s*\vektor{ 5\\ -5 \\ 0} [/mm]


Ich möchte über das Spatprodukt (* 1/6) das Volumen von [mm] K_1 [/mm] berechnen. Dazu brauche ich die Punkte D und E.

[mm] V_{K1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}*(\overrightarrow{AD}x\overrightarrow{AE})\circ\overrightarrow{AP} [/mm]

[mm] V_{K1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}*\bruch{1}{4}*(\overrightarrow{AB}x\overrightarrow{AC})\circ\overrightarrow{AP} [/mm]

[mm] \bruch{1}{6}*(\overrightarrow{AD}x\overrightarrow{AE})\circ\overrightarrow{AP} [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}*\bruch{1}{4}*(\overrightarrow{AB}x\overrightarrow{AC})\circ\overrightarrow{AP} [/mm]


[mm] \overrightarrow{AD} [/mm] = [mm] r*\vektor{ -6\\ -6 \\ 0} [/mm]


[mm] \overrightarrow{AE} [/mm] = [mm] s*\vektor{ 5\\ -5 \\ 0} [/mm]


Da DE eine Parallele zu BC ist, gilt  r = s  !!


Eingesetzt in die Gleichung

[mm] \bruch{1}{6}*( r*\vektor{ -6\\ -6 \\ 0}*s*\vektor{ 5\\ -5 \\ 0})\circ\overrightarrow{AP} [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}*\bruch{1}{4}*(\vektor{ -6\\ -6 \\ 0}*\vektor{ 5\\ -5 \\ 0})\circ\overrightarrow{AP} [/mm]


=> r*s = [mm] \bruch{1}{4} [/mm]

und, wie gesagt, da r = s gilt  ist r = s = [mm] \bruch{1}{2} [/mm]


=> D  ( 0 \ -1 \ 0)   und E (5,5 \ -0,5 \ 0)


=>  [mm] E_4 [/mm] :  [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ -42/11 \\ 28/11 } +\mu*\vektor{1 \\ 31/11 \\ -28/11} +\lambda*\vektor{6,5 \\ 73/22 \\ -28/11} [/mm]  

Ergänzung

=>

[mm] E_4 [/mm] :  [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \overrightarrow{OP} +\mu*\overrightarrow{PD} +\lambda*\overrightarrow{PE} [/mm]



[mm] E_4 [/mm] :  [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2,5 \\ -3,5 \\ 7 } +\mu*\vektor{-2,5 \\ 2,5 \\ -7} +\lambda*\vektor{3 \\ 3 \\ -7} [/mm]  















Danke & Gruß




        
Bezug
Dreiseitige Pyramide ...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:18 Fr 17.02.2023
Autor: statler

Hi!

Erstmal nur zu e):

Die trennende Ebene geht durch P und die Seitenmitten von AB und AC, weil dann die Grundfläche 1:3 geteilt wird. Geht es damit nicht einfacher?

Gruß
Dieter

Bezug
                
Bezug
Dreiseitige Pyramide ...: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:47 Fr 17.02.2023
Autor: hase-hh

Stimmt. Das ist viel einfacher!

:)

Bezug
        
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Dreiseitige Pyramide ...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:54 Fr 17.02.2023
Autor: meili

Hallo hase-hh,

> Gegeben ist eine schiefe dreiseitige Pyramide mit den
> Punkten ABCP, und der Grundfläche ABC. Die Grundfläche
> liegt in der x-y-Ebene. Die Pyramide wird außerdem durch
> die Ebenen [mm]E_1, E_2[/mm] und [mm]E_3[/mm] begrenzt.
>
> [mm]E_1[/mm] :  7x-7y-5z = 7                [mm]E_2:[/mm]  7x +7y +6z = 35.
>  
> Die Ebene [mm]E_3[/mm] enthält die Punkte B und C und steht
> senkrecht zur x-y-Ebene.
>
> B (-3 / -4 / 0).
>  
>
> a) Weisen Sie nach, dass der Eckpunkt A die Koordinaten (3
> / 2 / 0) besitzt.
>
> b) Berechnen Sie aller Punkt [mm]C_i[/mm] in der x-y-Ebene, für die
> die Dreiecke [mm]ABC_i[/mm] rechtwinklig sind (AB [mm]\perp AC_i)[/mm] und
> einen Flächeninhalt von 30 FE haben.
>
> c) Der Punkt C (8 / -3 ( 0) ist ein Punkt der Ebene [mm]E_3.[/mm]
> Ermitteln Sie eine parameterfreie Gleichung der Ebene [mm]E_3.[/mm]
>
> d) Geben Sie die Koordinaten des Punktes P an. Berechnen
> Sie anschließend das Volumen der Pyramide ABCP.
>
> e) Eine Ebene [mm]E_4[/mm] geht durch den Punkt P und liegt parallel
> zu der Geraden durch B und C. Sie teilt die Pyramide ABCP
> in zwei Teilkörper [mm]K_1[/mm] und [mm]K_2,[/mm] wobei A ein Eckpunkt des
> Teilkörpers [mm]K_1[/mm] ist. Das Verhältnis der Volumina von [mm]K_1[/mm]
> und [mm]K_2[/mm] ist 1:3. Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene
> [mm]E_4.[/mm]
>  
>
> Moin Moin,
>  
> mich interessieren zunächst Lösungsansätze und ob es
> ggf. andere (einfache) Lösungswege gibt...
>  
> zu a)  
>
> Wenn die Ebenen [mm]E_1, E_2, E_3[/mm] die Pyramide begrenzen,
> enthalten diese Ebenen jeweils eine Seitenfläche der
> Pyramide.
>
> Da [mm]E_2[/mm] die Punkte B und A enthält, enthält [mm]E_2[/mm] die
> vordere Seitenfläche der Pyramide.
>
> Da [mm]E_1[/mm] den Punkt A enthält, enthält [mm]E_1[/mm] die linke
> Seitenfläche der Pyramide.
>  
> A muss daher auf der Schnittgeraden der beiden Ebenen [mm]E_1[/mm]
> und [mm]E_2[/mm] liegen.
>
> [mm]E_1[/mm] - [mm]E_2[/mm]   - - >   -14y -11 z = -28

>
> Da A in der x-y-Ebene liegt muss z =0 sein  =>  y = 2.

>
> Dies in [mm]E_2[/mm] oder [mm]E_1[/mm] eingesetzt  ergibt für A die
> x-Koordinate
>
> bspw.  7x -7*2 -5*0 = 7    => x = 3
>  
>
> Gibt es weitere oder auch einfachere Ideen?
>  
>

Es genügt zu zeigen A ( 3 / 2 / 0 ) liegt in der x-y-Ebene, in [mm] $E_1$ [/mm] und in [mm] $E_2$. [/mm]
A in [mm] $E_1$: [/mm] $7*3-7*2+5*0=7$ ok
A in [mm] $E_2$: [/mm] $7*3+7*2+6*0=35$ ok
A in  x-y-Ebene, da z = 0

Gruß
meili

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Dreiseitige Pyramide ...: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:12 Sa 18.02.2023
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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