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Grenzwert mit L´hospital: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:39 Fr 19.02.2010
Autor: egal

Aufgabe
[mm] \limes_{n\rightarrow\0}(1+sin)^{1/x} [/mm]

Hallo,

nun habe ich hier den Grenzwert zu bestimmen.
Ich gehe hier natürlich mit l´hopital heran.

Ich habs dann so weit abgeleitet, dass ich folgendes raus habe:

[mm] \limes_{n\rightarrow\0}e^{\bruch{cos(x)}{1+sin(x)}} [/mm]

man kann hier ja schon ablesen, dass der Grenzwert e ist.

Meine Frage ist nun, woran erkenne ich, wann ich aufhören soll mit dem ableiten. Ich meine, man kann hier noch weiter ableiten, so dass rauskommt:


[mm] \limes_{n\rightarrow\0}e^{\bruch{-sin(x)}{cos(x)}} [/mm] dann wäre der Grenzwert aber 1. Ich bin jetzt total verwirrt mit l´hospital.

Wäre für Hilfe dankbar


Grüße

egal

        
Bezug
Grenzwert mit L´hospital: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:58 Fr 19.02.2010
Autor: wilmi

Hallo,

Du musst l´Hospital immer so lange anwenden bis du eindeutig kürzen kannst bzw. eine eindeutige Lösung hast.

Du musst dir auch klar machen, wann du l´Hospital anwenden darfst!

Hier steht nach Umformung: lim(exp((1/x)*ln(1+sin(x)))

Das heißt im Nenner steht zwar unendlich aber im Zähler doch nicht!

Noch eine Frage: soll der Limes gegen Unendlich gehen oder gegen was?

mfg wilmi


Bezug
                
Bezug
Grenzwert mit L´hospital: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:24 Fr 19.02.2010
Autor: egal

Hi,

vielen Dank für deine Antwort.

Der Limes soll gegen Null gehen, ja, habs vergessen zu verändern.

Das Geheimnis ist also, dass es eine eindeutige Lösung gibt, sobald man kürzen kann, ja?

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert mit L´hospital: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:36 Fr 19.02.2010
Autor: wilmi

Ja genau. Der Sinn von l´Hospital liegt darin, dass du nach Anwendung entweder kürzen kannst oder dass die "problematische Stelle" (z.b wenn man durch Null teilen würde) verschwindet. In deinem Beispiel ist die Problematische ^(1/x).
Am besten schreibst du es erstmal um als: e^((1/x)*ln(1+sin(x))
Dann betrachtest du nur den Exponenten gesondert:
ln(1+sin(x))/x  da siehst du wenn x gegen Null läuft steht im Zähler ln(1)=0 und im Nenner auch O also insgesamt 0/0, d.h jetzt kommt l´Hospital. Das ergibt dann: cos(x)/(1+sin(x)) . Jetzt schaust du ob im Nenner eine "kritische Stelle ist , d.h hier Nenner =0. Wenn ja dann nochmals l´Hospital. In diesem Fall ist sin(0) + 1 = 1 also alles ok. Cos(0) ist 1. Das ergibt insgesammt 1/1. Jetzt setzt du 1 wieder als exponent ein und erhälst: [mm] e^1 [/mm] = e

Hoffe ich konnte dir helfen!

mfg wilmi

Bezug
                                
Bezug
Grenzwert mit L´hospital: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:42 Fr 19.02.2010
Autor: egal

konntest du auf jeden fall, danke sehr

Bezug
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