www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Maßtheorie" - Push-Forward Maß
Push-Forward Maß < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Maßtheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Push-Forward Maß: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:47 Do 28.09.2023
Autor: Jellal

Tag zusammen,

ich lese gerade ein Buch ueber statistische Mechanik ("Free energy computations - a mathematical perspective").

Wir betrachten ein System mit Ortskoordinaten [mm] q\in \mathcal{D}\subset\IR^{3N} [/mm] und Geschwindigkeiten [mm] p\in \IR^{3N}. [/mm] 3N steht fuer 3 Dimensionen und N Teilchen.
Im "kanonischen Ensemble" sind dies Zufallsvariablen mit Verteilung
[mm] \mu(dqdp)=\frac{1}{Z_{\mu}}e^{-H(q,p)}dqdp, [/mm] mit skalarer Hamilton-Funktion H (dies ist die Gesamtenergie des Systems) und Normalisierungskonstante [mm] Z_{\mu}. [/mm]

Da die Dimensionalitaet 3N haeufig zu groß ist, um praktische Fragestellungen anzugehen, fuehrt man sogenannte Reaktionskoordinaten [mm] \xi: \mathcal{D} \to \IR^{m} [/mm] with m<<3N ein und beschreibt das System in dieser reduzierten Form.
Die Level-Mengen von [mm] \xi [/mm] seien [mm] \Sigma(z)=\{q\in \mathcal{D}| \xi(q)=z\} [/mm] und es gelte [mm] \mathcal{D}=\bigcup_{z}\Sigma(z), [/mm]
[mm] \Sigma(z_1)\not=\Sigma(z_2) [/mm] for [mm] z_1\not=z_2, [/mm] und [mm] \Sigma(z) [/mm] ist einfach zusammenhaengend.

Im Buch wird nun gesagt, dass die Verteilung von [mm] \xi [/mm] gegeben ist durch

[mm] \mu^{\xi}(dz)=\Big( \frac{1}{Z_\mu} \integral_{\Sigma(z)\times \IR^{3N}} e^{-H(q,p)}\delta_{\xi(q)-z}(dq)dp \Big) [/mm] dz, wobei

[mm] \delta_{\xi(q)-z}(dq):=\frac{\sigma_{\Sigma(z)}(dq)}{|\nabla \xi{q}|} [/mm] mit [mm] \sigma_{\Sigma(z)}(dq) [/mm] dem Flaechenmaß, das vom Lebesgue Maß auf der Submanifold [mm] \Sigma(z) [/mm] induziert wird (bin nicht so sicher mit dieser Begrifflichkeit).

Ferner wird gesagt, dass [mm] \delta_{\xi(q)-z}(dq)dz [/mm] = dq, und dass [mm] \mu^{\xi} [/mm] einfach das Bildmaß von [mm] \mu [/mm] unter [mm] \xi [/mm] ist.

Mir ist nicht ganz klar, wie man auf den Ausdruck fuer [mm] \mu^{\xi} [/mm] kommt. Intuitiv macht der Ausdruck Sinn. Das [mm] \delta_{\xi(q)-z}(dq) [/mm] in dem Integral erinnert etwas an die Dirac-Delta-Funktion: Um die Dichte von [mm] \xi [/mm] an der Stelle z zu bekommen, muss ich saemtliche Wahrscheinlichkeit von q,p aufsummieren, fuer die [mm] \xi(q)=z [/mm] gilt.
Rigoros mathematisch verstehe ich es aber nicht so ganz.

Das "Bild-Maß" scheint das gleiche zu sein, wie das "Push-Forward" Maß. Laut der Wikipedia-Definition []https://en.wikipedia.org/wiki/Pushforward_measure, muesste aber erst mal gelten:
Sei Z eine Borelmenge in [mm] \IR^{m}. [/mm] Dann ist das Push-Forward-Maß gegeben durch

[mm] \mu^{\xi}(Z):=\mu(\xi^{-1}(Z))=\frac{1}{Z_\mu}\integral_{\xi^{-1}(Z)\times \IR^{3N}}{e^{-H(q,p)}dqdp} [/mm]  (streng genommen muesste man [mm] \xi [/mm] dafuer wohl eher definierten als Funktion auf [mm] \mathcal{D}\times \IR^{3N}). [/mm]
Wie komme ich von hier nun auf die Darstellung von [mm] \mu^{\xi} [/mm] weiter oben?

VG.
Jellal

        
Bezug
Push-Forward Maß: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 So 01.10.2023
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Maßtheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]