www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Analysis-Sonstiges" - Triadische Darstellung-Cantor
Triadische Darstellung-Cantor < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Analysis-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Triadische Darstellung-Cantor: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 20:37 Fr 20.10.2023
Autor: Euler123

Aufgabe
Folgern Sie, dass  x [mm] \in [/mm] C  genau dann gilt, wenn x eine triadische Darstellung hat mit [mm] x_{j} \in\{0,2\} [/mm] für alle j [mm] \in \mathbb{N}. [/mm]

Ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich diese Aufgabe zeigen soll - ich hätte es jatzt mal folgendermaßen probiert:

Man zeigt: x [mm] \in \bigcup_{j=1}^{2^{n+1}} K_{n, j} [/mm] genau dann, wenn x eine triadische Entwicklung [mm] x=\sum \limits_{k=1}^{\infty} x_{k} 3^{-k} [/mm] besitzt, für die [mm] x_{k} \in\{0,2\} [/mm] für alle k=1, [mm] \ldots, [/mm] n+1 gilt.

Denn x [mm] \in \bigcup_{j=1}^{2^{n+1}} K_{n, j} [/mm] genau dann, wenn für den linken Eckpunkt [mm] \alpha [/mm] eines der [mm] K_{n, j} \left(j=1, \ldots, 2^{n+1}\right) [/mm]
gilt

[mm] \alpha \leqslant [/mm] x [mm] \leqslant \alpha+3^{-n-1} [/mm]

mit [mm] \alpha=\sum \limits_{k=1}^{n+1} \alpha_{k} 3^{-k} [/mm] und  [mm] \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n+1} \in\{0,2\}. [/mm]

Behauptung: [mm] \alpha \leqslant [/mm] x [mm] \leqslant \alpha+3^{-n-1} [/mm] genau dann, wenn  [mm] \alpha_{k}=x_{k} [/mm]  für  k=1, [mm] \ldots, [/mm] n+1.
Ist [mm] x=\alpha+3^{-n-1}, [/mm] so ist [mm] x=\sum \limits_{k=1}^{n+1} \alpha_{k} 3^{-k}+\sum \limits_{k=n+2}^{\infty} [/mm] 2 [mm] \cdot 3^{-k} [/mm]  und die Behauptung ist richtig.

Ist [mm] \alpha \leqslant x<\alpha+3^{-n-1}, [/mm] muss in jeder triadischen Entwicklung [mm] x=\sum \limits_{k=1}^{\infty} x_{k} 3^{-k} [/mm] mit  [mm] x_{k} \in\{0,1,2\}, [/mm] k [mm] \in \mathbb{N}, [/mm] gelten, dass [mm] \alpha_{k}=x_{k} [/mm] für k=1, [mm] \ldots, [/mm] n+1  (Koeffizientenvergleich).

Damit folgt sofort: Das Cantorsche Diskontinuum enthält genau diejenigen x [mm] \in[0,1], [/mm] die eine triadische Entwicklung besitzen in der die Ziffer 1 nicht vorkommt.

Kann ich die gegebene Aufgabe so zeigen?

In weitere Folge soll ich dann auch noch zeigen:
Sei x [mm] \in[0,1]. [/mm] Schließen Sie, dass x [mm] \in A_{k} [/mm] genau dann gilt, wenn x eine triadische Darstellung hat mit [mm] x_{j} \in\{0,2\} [/mm] für alle [mm] \( [/mm] j=1, [mm] \ldots, [/mm] k .
[mm] A_{k} [/mm] ist hierbei folgendermaßen definiert:
[mm] A_{k}:=\frac{1}{3} A_{k-1} \cup \frac{1}{3}\left(A_{k-1}+2\right) [/mm]  für k [mm] \in \mathbb{N}. [/mm]
Wie könnte ich das anschaulich zeigen?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Triadische Darstellung-Cantor: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:20 Fr 20.10.2023
Autor: fred97

Zunächst solltest du klären, was für eine Menge  C ist.

Desweiteren ist die Definition von [mm] K_{n,j} [/mm] nirgendwo zu sehen.

Weiter fehlt die Bedeutung von [mm] A_0. [/mm]



Bezug
                
Bezug
Triadische Darstellung-Cantor: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:42 Sa 21.10.2023
Autor: Euler123

Hallo fred97,
Da hast du natürlich recht - dumm von mir, dass ich vergessen habe die Definition beizufügen:

Bei C handelt es sich in diesem Fall um die Cantor-Menge.
Kn,j stet für die Intervalle [mm] K_{n, j}=\left[\alpha_{n, j}, \alpha_{n, j}+\right. \left.3^{-n-1}\right], [/mm] j=1, [mm] \ldots, 2^{n+1}. [/mm]
[mm] A_{0} [/mm] ist außerdem folgendermaßen definiert [mm] A_{0}:=[0,1] [/mm]

Bezug
        
Bezug
Triadische Darstellung-Cantor: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:20 Mi 25.10.2023
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Analysis-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]