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Forum "Analysis-Sonstiges" - Vitali-Mengen nicht L-messbar
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Vitali-Mengen nicht L-messbar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:44 So 05.11.2023
Autor: Euler123

Aufgabe
Wir betrachten folgende Äquivalenzrelation auf [mm] \mathbb{R}: [/mm]

x [mm] \sim [/mm] y, x, y [mm] \in \mathbb{R} \quad: \Leftrightarrow \quad [/mm] x-y [mm] \in \mathbb{Q} [/mm]

und bezeichnen die Menge der Äquivalenzklassen mit [mm] \mathbb{R} [/mm] / [mm] \mathrm{Q}. [/mm] Dann ist jede reelle Zahl zu einer Zahl im Intervall [0,1] äquivalent. Wir wählen zu jeder Äquivalenzklasse [x] [mm] \in \mathbb{R} [/mm] / [mm] \mathbb{Q} [/mm] einen Repräsentanten v[x] [mm] \in[0,1] [/mm] und setzen

[mm] V:=\{v[x]:[x] \in \mathbb{R} / \mathbb{Q}\} [/mm] .


Man nennt V eine Vitali-Menge. Nach Konstruktion hat V die Eigenschaft, dass es zu jedem x [mm] \in \mathbb{R} [/mm] genau ein v [mm] \in [/mm] V gibt mit x [mm] \sim [/mm] v.

Zeigen Sie, dass die Vitali-Menge V nicht [mm] \mathcal{L}^{1}-messbar [/mm] ist. Gehen Sie dabei wie folgt vor:
Es sei [mm] q_{1}, q_{2}, \ldots [/mm] eine Abzählung von [-1,1] [mm] \cap \mathbb{Q} [/mm] und

[mm] V_{k}:=\left\{v+q_{k}: v \in V\right\}, \quad [/mm] k [mm] \in \mathbb{N} [/mm] .

a) Zeigen Sie, dass [mm] V_{k} \cap V_{\ell}=\emptyset [/mm] für k [mm] \neq \ell. [/mm]
b) Zeigen Sie

[0,1] [mm] \subset \bigcup_{k=0}^{\infty} V_{k} \subset[-1,2] [/mm]

c) Nehmen Sie nun an, dass V [mm] \mathcal{L}^{1}-messbar [/mm] ist und leiten Sie daraus einen Widerspruch her.

Teilaufgabe a) habe ich mittels Repräsentanten und Teilaufgabe c) mittles  (simga-Additivität + Monotonie des Maßes = Abschätzung --> Translationsinvarianz  --> Wiedersprich) gezeigt!

Bei Teilaufgabe b) komme ich einfach nicht weiter - Wie kann ich [0,1] [mm] \subset \bigcup_{k=0}^{\infty} V_{k} \subset[-1,2] [/mm] zeigen?

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt!


        
Bezug
Vitali-Mengen nicht L-messbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:34 Mo 06.11.2023
Autor: statler

Hi!
  

> Bei Teilaufgabe b) komme ich einfach nicht weiter - Wie
> kann ich [0,1] [mm]\subset \bigcup_{k=0}^{\infty} V_{k} \subset[-1,2][/mm]
> zeigen?

Jede Zahl in [0, 1] hat einen Repräsentanten in [0, 1], von dem sie sich um eine rationale Zahl [mm] q_{k} [/mm] unterscheidet, weswegen sie in [mm] V_{k} [/mm] liegt, also auch in der Vereinigung.
Jede Zahl in der Vereinigung liegt in einem [mm] V_{k}, [/mm] ist also Summe aus einer Zahl aus [0, 1] und einer Zahl aus [-1, 1], liegt also in [-1, 2].

Gruß Dieter

Bezug
                
Bezug
Vitali-Mengen nicht L-messbar: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:55 Mo 06.11.2023
Autor: Euler123

Hallo Dieter,
Ich danke dir vielmals für deine rasche Antwort und die Erklärende Ausführung (ist im Nachhinein, wie so oft, eigentlich doch ganz einfach und simpel :)).
LG Euler

Bezug
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