Wendestelle bestimmen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
gegeben ist die Funktion
f(x) = [mm] \wurzel[3]{2x^2-x^3}
[/mm]
Offensichtlich ist der Definitionsbereich f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] (durch die dritte Wurzel kann man auch einen negativen Ausdruck in der Wurzel haben)
Die zweite Ableitung ist
f''(x) = [mm] \bruch{-8x^2}{9(2x^2-x^3)^{\bruch{5}{3}}}
[/mm]
Die Nullstelle der zweiten Ableitung, also die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist:
f''(x)= 0
Also
[mm] -8x^{2} [/mm] = 0
x = 0
Wenn ich jetzt aber die x = 0 in den Nenner einsetze, teile ich durch 0. War das nicht so eine Regel, dass der Nenner nicht null werden darf ? Hier wird er aber 0.
Ich habe die dritte Ableitung nicht bestimmt. Theoretisch müsste ich die dritte Ableitung bestimmen und dann in die dritte Ableitung x=0 einsetzen, um zu gucken, ob der Punkt wirklich eine Wendestelle ist. Aber da der Nenner bei der zweiten Ableitung für x = 0 Null wird, dachte ich, es gibt keine Wendestelle.
Wo ist mein Denkfehler?
EDIT: Ich sehe gerade, wenn man die Funktion f(x) plotten lässt, ist der Def.bereich (- [mm] \infty, [/mm] 2] , aber wenn man f(3) berechnet, kommt ungefähr -2,08 raus. Warum wird das ignoriert?
Vielen Dank im Voraus.
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Hallo,
> gegeben ist die Funktion
>
> f(x) = [mm]\wurzel[3]{2x^2-x^3}[/mm]
>
> Offensichtlich ist der Definitionsbereich f: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm]
> (durch die dritte Wurzel kann man auch einen negativen
> Ausdruck in der Wurzel haben)
da würde ich aufpassen und ggf. nachfragen. Oft hat man heute Definitionen, welche Wurzeln generell nur für [mm] x\ge{0} [/mm] definieren. Siehe dazu ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia.
> Die zweite Ableitung ist
>
> f''(x) = [mm]\bruch{-8x^2}{9(2x^2-x^3)^{\bruch{5}{3}}}[/mm]
>
Ich bin mir da nicht so sicher, ob die Ableitung stimmt. Solche Wurzelfunktionen sind Biester in Sachen Ableitung. Der Funktionsterm ist an den Stellen x=0 und x=2 definiert, die Ableitungen sind es nicht. Ich habe mehrere Formen der 2. Ableitung erhalten (einmal von Hand, dann mit Mathcad). Auf deine Version bin ich jedoch nicht gekommen, möchte sie aber nicht ganz ausschließen. Um das zu klären, solltest du hier wohl oder übel deinen Rechenweg posten.
> Die Nullstelle der zweiten Ableitung, also die notwendige
> Bedingung für einen Wendepunkt ist:
>
> f''(x)= 0
>
> Also
> [mm]-8x^{2}[/mm] = 0
> x = 0
>
> Wenn ich jetzt aber die x = 0 in den Nenner einsetze, teile
> ich durch 0. War das nicht so eine Regel, dass der Nenner
> nicht null werden darf ? Hier wird er aber 0.
Hast du dir das Schaubild genau angesehen, das verrät uns schon viel darüber, was hier passiert. Und noch besser versteht man das alles, wenn man sich (obwohl man sich für Wendepunkte interessiert), die erste Ableitung genauer betrachtet. Banalerweise ist die zweite Ableitung die Ableitung der ersten. So banal ist das aber überhaupt nicht. Betrachte die erste Ableitung an den Stellen x=0 sowie x=2. Du wirst feststellen: bereits die 1. Ableitung ist an den Stellen x=0 und x=2 nicht definiert und damit dort nicht differenzierbar.
> Ich habe die dritte Ableitung nicht bestimmt. Theoretisch
> müsste ich die dritte Ableitung bestimmen und dann in die
> dritte Ableitung x=0 einsetzen, um zu gucken, ob der Punkt
> wirklich eine Wendestelle ist. Aber da der Nenner bei der
> zweiten Ableitung für x = 0 Null wird, dachte ich, es gibt
> keine Wendestelle.
>
> Wo ist mein Denkfehler?
Du hast versucht, mit den üblichen Algorithmen zum Ziel zu kommen ohne zu überprüfen, ob diese gültig sind. Die Frage nach Extrem*- und Wendepunkten kann man in diesem Fall nur mit Grenzwertbetrachtungen lösen, meiner Ansicht nach jedenfalls.
*Hier gibt es mit dem Maximum an der Stelle x=4/3 eine Ausnahme.
Gruß, Diophant
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Hallo,
die 2. Ableitung sollte stimmen, habe es noch mal mit Wolfram Alpha getestet.
Das scheint eine komplizierte Aufgabe zu sein. Was mir aber immer noch nicht klar ist: Ist [mm] x_0 [/mm] eine Wendestelle, wenn der Nenner am Punkt [mm] x_0 [/mm] gar nicht definiert ist. Geht sowas?
Die Extrema habe ich bereits gelöst und es ist, wie du schon sagtest, [mm] \bruch{4}{3} [/mm] ein Maximum, mehr gibt es nicht.
Das Thema Grenzwerte werde ich als nächste Frage stellen, wenn ich erstmal mit den Wendestellen fertig bin, die sind noch mal ne Sache für sich, leider.
Also: Wenn man die zweite Ableitung nullsetzt, und die vermeintliche Wendestelle [mm] x_0 [/mm] bestimmt hat, und nun das Problem hat, dass die zweite Ableitung an der Stelle [mm] x_0 [/mm] gar nicht definiert ist, ist [mm] x_0 [/mm] dann wirklich eine Wendestelle?
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Hallo,
>
> die 2. Ableitung sollte stimmen, habe es noch mal mit
> Wolfram Alpha getestet.
Ok. Mathcad hat da traditionell beim Vereinfachen von Termen so seine Probleme.
> Das scheint eine komplizierte Aufgabe zu sein.
In der Tat, das ist so.
> Was mir aber
> immer noch nicht klar ist: Ist [mm]x_0[/mm] eine Wendestelle, wenn
> der Nenner am Punkt [mm]x_0[/mm] gar nicht definiert ist. Geht
> sowas?
Vorsicht: welcher Nenner? Die Funktion ist je nach Ansicht auf ganz [mm] \IR [/mm] oder für [mm] x\le{2} [/mm] definiert. Sie ist jedoch an den Stellen x=0 und x=2 nicht differenzierbar, das ist der springende Punkt.
>
> Die Extrema habe ich bereits gelöst und es ist, wie du
> schon sagtest, [mm]\bruch{4}{3}[/mm] ein Maximum, mehr gibt es
> nicht.
Auch das ist falsch. An der Stelle x=0 existiert ein lokales Minimum. Auch dieses lässt sich jedoch nicht mit dem Ansatz f'(x)=0 bekommen, aus den o.g. Gründen.
> Das Thema Grenzwerte werde ich als nächste Frage stellen,
> wenn ich erstmal mit den Wendestellen fertig bin, die sind
> noch mal ne Sache für sich, leider.
Bringe da nicht zwei Dinge durcheinander: wenn du hier die (einzige) Wendestelle x=2* nachweisen möchtest, dann musst du zeigen, dass die uneigentlichen Grenzwerte der zweiten Ableitung für [mm]x \rightarrow _{}^{+/-}\textrm{2}[/mm] nicht gleich sind, dass die 2. Ableitung also links von x=2 ein anderes Vorzeichen besitzt als rechts davon. Das kann man zur Not auch ohne Grenzwertbetrachtung durch Nachrechnen machen (eine sehr nachlässige Methode, die aber immer öfter geduldet wird).
> Also: Wenn man die zweite Ableitung nullsetzt, und die
> vermeintliche Wendestelle [mm]x_0[/mm] bestimmt hat, und nun das
> Problem hat, dass die zweite Ableitung an der Stelle [mm]x_0[/mm]
> gar nicht definiert ist, ist [mm]x_0[/mm] dann wirklich eine
> Wendestelle?
Das hat hier nur bedingt miteinander zu tun. Berechne mal dazu spaßeshalber die Extrempunkte der Funktion f mit
[mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \textrm{für } x=0 \\ x*sin\left(\frac{1}{x}\right), & \textrm{für } x\ne{0} \end{cases}[/mm]
* Alles unter der Voraussetzung, dass wir Wurzeln mit ungeradem Wurzelexponeten auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert zulassen.
Gruß, Diophant
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Hallo,
also dann von vorne:
Wir haben f(x) = [mm] \wurzel[3]{2x^2-x^3}
[/mm]
Wir haben f'(x) = [mm] \bruch{4x-3x^2}{3(2x^2-x^3)^{\bruch{2}{3}}}
[/mm]
Wir haben f''(x) = $ [mm] \bruch{-8x^2}{9(2x^2-x^3)^{\bruch{5}{3}}} [/mm] $
Jetzt berechnen wir f'(x) = 0
Also die Extrema
Dazu setzen wir den Zähler null, als:
[mm] 4x-3x^2 [/mm] = 0
x(4-3x) = 0
0 geht nicht, da dann die zweite Ableitung null wäre
Also bleibt nur [mm] \bruch{4}{3} [/mm] übrig
Jetzt setzen wir in die zweite Ableitung die [mm] \bruch{4}{3} [/mm] ein
Also [mm] f''(\bruch{4}{3}) [/mm] = [mm] \bruch{-8(\bruch{4}{3})^2}{9(2(\bruch{4}{3})^2-(\bruch{4}{3})^3)^{\bruch{5}{3}}} \sim [/mm] -1,19
Ist also kleiner also 0, deshalb Hochpunkt.
Jetzt Wendestelle: Dazu setzen wir den Zähler der zweiten Ableitung gleich null:
-8x² = 0
x = 0
Vermeintliche Wendestelle am Punkt x= 0
Das Problem: die zweite Ableitung ist am Punkt x = 0 nicht definiert. Daher existiert keine Wendestelle. Das wäre jetzt so meine Argumentation.
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Hallo,
> also dann von vorne:
>
> Wir haben f(x) = [mm]\wurzel[3]{2x^2-x^3}[/mm]
>
> Wir haben f'(x) =
> [mm]\bruch{4x-3x^2}{3(2x^2-x^3)^{\bruch{2}{3}}}[/mm]
>
> Wir haben f''(x) =
> [mm]\bruch{-8x^2}{9(2x^2-x^3)^{\bruch{5}{3}}}[/mm]
>
>
> Jetzt berechnen wir f'(x) = 0
> Also die Extrema
> Dazu setzen wir den Zähler null, als:
>
> [mm]4x-3x^2[/mm] = 0
> x(4-3x) = 0
>
> 0 geht nicht, da dann die zweite Ableitung null wäre
Falsch! 0 geht nicht, da es keine Lösung der Gleichung f'(x)=0 ist. Mache die Probe!
> Also bleibt nur [mm]\bruch{4}{3}[/mm] übrig
>
> Jetzt setzen wir in die zweite Ableitung die [mm]\bruch{4}{3}[/mm]
> ein
>
> Also [mm]f''(\bruch{4}{3})[/mm] =
> [mm]\bruch{-8(\bruch{4}{3})^2}{9(2(\bruch{4}{3})^2-(\bruch{4}{3})^3)^{\bruch{5}{3}}} \sim[/mm]
> -1,19
>
> Ist also kleiner also 0, deshalb Hochpunkt.
>
Das passt.
>
> Jetzt Wendestelle: Dazu setzen wir den Zähler der zweiten
> Ableitung gleich null:
>
> -8x² = 0
> x = 0
> Vermeintliche Wendestelle am Punkt x= 0
>
> Das Problem: die zweite Ableitung ist am Punkt x = 0 nicht
> definiert. Daher existiert keine Wendestelle.
Nein, das ist alles völlig verdreht. Wenn die zweite Ableitung an der Stelle x=0 nicht definiert ist, dann heißt das eines: die Gleichung f''(x)=0 kann nicht die Lösung x=0 besitzen. Mehr heißt es nicht.
Verabschiede dich mal völlig von diesem 'Schuldenken', dass man alles in eine Formel oder einen Algorithmus stopfen kann und am anderen Ende kommt die fertige Lösung heraus. Das hier ist vertrackt, daher hast du es vermutlich als Übungsaufgabe bekommen.
Gruß, Diophant
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Stimmt,
auch am Punkt x = 0 ist die erste Ableitung nicht definiert, daher fällt 0 als Extremum raus.
Und am Punkt x = 0 ist die zweite Ableitung ebenfalls nicht definiert. Das bedeutet jetzt also, dass ich nicht weiß, ob es eine Wendestelle gibt oder nicht. Und da f''(x) = 0 die notwendige Bedingung ist, und da diese Bedingung nicht erfüllt ist, kann ich jetzt zur Wendestelle keine präzisere Angabe machen.
Geht das als Argumentation durch?
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Hallo,
>
> auch am Punkt x = 0 ist die erste Ableitung nicht
> definiert, daher fällt 0 als Extremum raus.
Nein, wie oft soll ich dass denn noch schreiben. An der Stelle x=0 besitzt diese Funktion jedenfalls ein lokales Minimum. Dieses entsteht eben nur nicht 'auf die gewöhnliche Weise', also durch eine waagerechte Tangente. In diesem Fall entsteht es durch einen Knick im Funktionsgraphen.
> Und am Punkt x = 0 ist die zweite Ableitung ebenfalls nicht
> definiert. Das bedeutet jetzt also, dass ich nicht weiß,
> ob es eine Wendestelle gibt oder nicht. Und da f''(x) = 0
> die notwendige Bedingung ist,
Stop: f''(c)=0 kann nur notwendige Bedingung sein, wenn es an der Stelle x=c eine 2. Ableitung gibt. Und das ist hier nicht der Fall.
> und da diese Bedingung nicht
> erfüllt ist, kann ich jetzt zur Wendestelle keine
> präzisere Angabe machen.
Auch falsch. Hier geht doch die eigentliche Aufgabe erst los!*
> Geht das als Argumentation durch?
An der Hochschule mit Sicherheit nicht.
*Bitte kläre vor einer erneuten Rückfrage, ob wir bei Wurzeln mit ungeradem Wurzelexponenten von ganz [mm] \IR [/mm] als Definitionsbereich sprechen oder nicht. Sonst ist das hier eine völlig überflüssige Diskussion.
Gruß, Diophant
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> Nein, wie oft soll ich dass denn noch schreiben. An der
> Stelle x=0 besitzt diese Funktion jedenfalls ein lokales
> Minimum. Dieses entsteht eben nur nicht 'auf die
> gewöhnliche Weise', also durch eine waagerechte Tangente.
> In diesem Fall entsteht es durch einen Knick im
> Funktionsgraphen.
Ah ok, verstehe, aber woran erkenne ich das mathematisch? Durch eine Skizze, klar, aber wie an den Ableitungen?
> *Bitte kläre vor einer erneuten Rückfrage, ob wir bei
> Wurzeln mit ungeradem Wurzelexponenten von ganz [mm]\IR[/mm] als
> Definitionsbereich sprechen oder nicht.
Der Definitionsbereich soll (- [mm] \infty, [/mm] 2] sein. Das heißt, negative Ausdrücke in der Wurzel sind nicht erlaubt. Ich habe gerade bisschen nachgedacht und das macht auch Sinn. Denn wenn wir eine negative Zahl unter der Wurzel hätte, gäbe es 3 Lösungen (höchstens), und unter diesen 3 Lösungen ist mit Sicherheit eine komplexe dabei, daher macht (- [mm] \infty, [/mm] 2] als Def.bereich schon Sinn.
Okay, gut, dann hätten wir das jetzt geklärt.
Jetzt noch mal zurück zum Extremum und danach zur Wendestelle.
Woran erkenne ich jetzt diesen "Knick" ? Oder woran hast du ihn erkannt, ohne sich das graphisch vorzustellen?
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Hallo,
> > Nein, wie oft soll ich dass denn noch schreiben. An der
> > Stelle x=0 besitzt diese Funktion jedenfalls ein lokales
> > Minimum. Dieses entsteht eben nur nicht 'auf die
> > gewöhnliche Weise', also durch eine waagerechte Tangente.
> > In diesem Fall entsteht es durch einen Knick im
> > Funktionsgraphen.
>
> Ah ok, verstehe, aber woran erkenne ich das mathematisch?
> Durch eine Skizze, klar, aber wie an den Ableitungen?
Du denkst nach wie vor in Automatismen. Das funktioniert so lange, solange wir von Funktionen sprechen, die auf ihrem ganzen Definitionsbereich und am besten auch noch beliebig oft differenzierbar sind. Wenn die Dinge so liegen wie hier, dann gibt es kein Patentrezept. Die einzige Antwort, die ich dir darauf geben kann heißt: Gründliches und eigenständiges Nachdenken. Wenn man etwas Erfahrung gesammelt hat mit einer bestimmten Klasse von Problemen, dann hilft (zumindest bei mir) auch die Intuition weiter. Und bei Funktionen fom Typ [mm] \IR\to\IR [/mm] ist eine Skizze noch nie eine schlechte Idee gewesen.
>
> > *Bitte kläre vor einer erneuten Rückfrage, ob wir bei
> > Wurzeln mit ungeradem Wurzelexponenten von ganz [mm]\IR[/mm] als
> > Definitionsbereich sprechen oder nicht.
>
> Der Definitionsbereich soll (- [mm]\infty,[/mm] 2] sein. Das heißt,
> negative Ausdrücke in der Wurzel sind nicht erlaubt. Ich
> habe gerade bisschen nachgedacht und das macht auch Sinn.
Das wird kontrovers gehandhabt. Aber wir brauchen dann über Wendepunkte dieser Funktion nicht mehr diskutieren.
> Denn wenn wir eine negative Zahl unter der Wurzel hätte,
> gäbe es 3 Lösungen (höchstens), und unter diesen 3
> Lösungen ist mit Sicherheit eine komplexe dabei, daher
> macht (- [mm]\infty,[/mm] 2] als Def.bereich schon Sinn.
Das hat jetzt aber mit unserem Problem hier nichts zu tun. Auch die Gleichung [mm] x^4=1 [/mm] besitzt vier komlexe Lösungen. Mit deiner Argumentation müsstest du im Reellen das Radizieren verbieten.
> Okay, gut, dann hätten wir das jetzt geklärt.
>
> Jetzt noch mal zurück zum Extremum und danach zur
> Wendestelle.
> Woran erkenne ich jetzt diesen "Knick" ? Oder woran hast
> du ihn erkannt, ohne sich das graphisch vorzustellen?
Wie gesagt: verabschiede dich bei solchen Aufgaben bitte ganz schnell von der Hoffnung, dass es hier Patentrezepte gibt. Da muss man sich in jeder Situation von neuem wieder die Problematik klar machen und dann enstprechende Ansätze wählen. Ein beliebtes 'Studienobjekt' für diesen Problemkreis sind, wie schon weiter oben angedeutet, Funktionen vom Typ
[mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \textrm{für } x=0 \\ x^n*sin\left(\frac{1}{x}\right), & \textrm{für } x\ne{0} \end{cases}[/mm]
Und für diese Funktionen eben die Frage, um welche Art Punkt es sich beim Koordinatenursprung handelt.
Gruß, Diophant
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Hallo,
> Das wird kontrovers gehandhabt. Aber wir brauchen dann
> über Wendepunkte dieser Funktion nicht mehr diskutieren.
>
ok, verstehe. Dann setzen wir den Definitionsbereich mal auf ganz [mm] \IR, [/mm] weil ich gerne verstehen will, wie man dann sowas berechnet.
Also, wir haben die zweite Ableitung:
f''(x) = $ [mm] \bruch{-8x^2}{9(2x^2-x^3)^{\bruch{5}{3}}} [/mm] $
Die Lösung x = 0 geht nicht, da f''(0) nicht definiert ist, wie du schon weiter oben gesagt hattest, ok. Also 0 [mm] \not= [/mm] f''(0)
Aber dann muss es doch eine Vorgehensweise geben, wie man sonst die Wendestellen berechnen kann. In deiner anderen Antwort meintest du , man soll den Grenzwert betrachten, den linksseitigen und den rechtsseitigen. Ich habe schon viele Kurvendiskussionen gelöst, aber die ist echt hart, daher kenne ich diese Methode mit dem Grenzwert nicht.
Wie geht man da konkret vor, wenn ich jetzt die Wendestelle haben möchte?
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Hallo,
vergiss mal einfach die Begriffe Methode, Berechnen und Vorgehensweise.
So eine Funktion ist mehr als eine bloße Zuordnungsvorschrift. Hinter jeder Funktion verbirgt sich letztendlich ein Prinzip, dass verstanden sein will. Manche solcher Prinzipien sind so elementar, dass sie uns im Alltag ständig begegnen, so elementar, dass wir dafür teilweise kein Bewusstsein haben. Nimm etwa das Prinzip hinter der Sinusfunktion und die Tag-/Nachtlängen über das Jahr. Oder nimm die Flugbahn eines geworfenen Gegenstands (wenn wir den Luftwiderstand vernachlässigen).
Nun, unsere Funktion hier ist kein so elementares Prinzip, aber sie weist zwei ganz charakteristische Merkmale für Wurzelfunktionen auf: Punkte, in denen der Graph senkrecht verläuft sowie Knickstellen. Das sind dann natürlich auch Dinge, die laufen bei mir so ab, dass mir dieser Sachverhalt schon x-mal untergekommen ist und ich ihn kenne.
Aber wenn du eben (noch nicht) in dieser Situation bist, dann solltest du lernen, mit Neugierde, mit sehr viel Gründlichkeit und mit Offenheit für Ungewohntes an solche Aufgaben zu gehen und eben nicht mit dem Anspruch, dass man sich irgendwo eine Methode besorgt und fortan nichts mehr denken muss (denn dazu sind Methoden letztendlich da).
Hier verhält es sich so: wenn wir also nun die Funktion über ganz [mm] \IR [/mm] betrachten (weil wir die klassische Definition von Wurzeln mit ungeraden Wurzelexponenten verwenden), dann können wir durch die Tatsache, dass (wenn man die Ableitung nicht gerade mit wolframalpha berechnen lässt) der Faktor x-2 zunächst im Zähler und im Nenner vorkommt, erst einmal hellhörig werden. Das könnte ja durchaus auch zu einem Grenzwert 0 führen (tut es hier aber nicht). Also kann man daraus jetzt einfach die Motivation gewinnen, das Verhalten der Funktion und ihrer Ableitungen in einer Umgebung von x=2 näher zu betrachten. Und siehe da: auch die erste Ableitung ist dort nicht definiert, die zweite hat links und rechts davon unterschiedliche Vorzeichen. Ein Blick auf den Funktionsgraphen (es leben die modernen Funktionsplotter) erklärt uns das: der Graph schneidet die x-Achse senkrecht und wechselt den Drehsinn. Und wenn wir das alles staunend entdeckt haben: dann müssen wir versuchen, unsere Entdeckungen, die man in der Mathematik Vermutungen nennt, zu verifizieren bzw. zu beweisen. Und dafür gibt es eben kein Patentrezept. Hier könnte man halt die zweite Ableitung bspw. für x=1.9 und x=2.1 berechnen und würde unterschiedliche Vorzeichen feststellen. Da wir aber nicht wissen, ob diese 2. Ableitung im Intervall [1.9;2.1] ihr Vorzeichen in Wahrheit 157-mal ändert, ist diese Methode sehr unsauber bis falsch. Berechnet man hingegen die beiden uneigentlichen Grenzwerte bei der Annäherung an x=2 und bekommt einmal [mm] -\infty, [/mm] das andere mal [mm] \infty [/mm] heraus, dann hat man einen Vorzeichenwechsel in der zweiten Ableitung nachgewiesen. Zusammen mit der Stetigkeit der Funktion an der Stelle x=2 ergibt das dann zwangsläufig einen Wendepunkt.
Aber lerne das alles jetzt bitte nicht auswendig sondern versuche, selbst solche Strategien zu entwickeln. Dafür studiert bzw. lernt man doch Mathematik!
Gruß, Diophant
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Hallo,
vielen lieben Dank für die Antwort. Ich habe jetzt noch mal auf WIkipedia geguckt, während ich auf deine Antwort gewartet habe und das hier gefunden:
" Bei Kurvendiskussionen wird in der Regel eine der beiden folgenden hinreichenden Bedingungen verwendet. In der ersten Bedingung kommt nur die zweite Ableitung vor; dafür muss das Vorzeichen von f''(x) für x < [mm] x_{Wendepunkt} [/mm] und für x > [mm] x_{Wendepunkt} [/mm] untersucht werden.
f ist in einer Umgebung von [mm] x_{Wendepunkt} [/mm] zwei mal differenzierbar UND f''(x) wechselt an der Stelle [mm] x_{Wendepunkt} [/mm] das Vorzeichen
=> [mm] x_{Wendepunkt} [/mm] ist Wendepunkt
Das bedeutet also im Klartext, hat man die Wendestelle, überprüft man, ob ein Vorzeichenwechsel stattfindet.
Dank deiner Antwort weiß ich jetzt, dass man den
[mm] \limes_{x\rightarrow\ x_w^{\pm} } [/mm] bestimmen muss. Und kommen bei dem lim verschiedene Vorzeichen raus, handelt es sich tatsächlich um einen Wendepunkt.
Voraussetzung ist aber, dass ich erstmal eine POTENZIELLE Wendestelle, also den Punkt, habe und das geht, indem ich die zweite Ableitung nullsetze.
Ist das bis hierhin so richtig?
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Hallo,
> vielen lieben Dank für die Antwort. Ich habe jetzt noch
> mal auf WIkipedia geguckt, während ich auf deine Antwort
> gewartet habe und das hier gefunden:
>
>
> " Bei Kurvendiskussionen wird in der Regel eine der beiden
> folgenden hinreichenden Bedingungen verwendet. In der
> ersten Bedingung kommt nur die zweite Ableitung vor; dafür
> muss das Vorzeichen von f''(x) für x < [mm]x_{Wendepunkt}[/mm] und
> für x > [mm]x_{Wendepunkt}[/mm] untersucht werden.
>
> f ist in einer Umgebung von [mm]x_{Wendepunkt}[/mm] zwei mal
> differenzierbar UND f''(x) wechselt an der Stelle
> [mm]x_{Wendepunkt}[/mm] das Vorzeichen
> => [mm]x_{Wendepunkt}[/mm] ist Wendepunkt
>
Ja schon. Aber diese Wikipedia-Schnipsel drehen sich um hinreichende Bedingungen, während wir uns ja eigentlich über die notwendige Bedingung den Kopf zerbrochen haben. Man kann da sonst nichts dazu sagen, da die Zitate so aus dem Zusammenhang gerissen keinen Sinn ergeben (denn da gehören ja immer noch andere Voraussetzungen dazu).
Ich kann dir höchstens nochmal zusammenfassen: die Vorgehensweisen zur Berechnung von Extrem- und Wendepunkten, die du aus der Schule kennst (wenn wir für die hinreichenden Bedingungen mal den Nachweis eines Vorzeichenwechsels zugrunde legen) gelten uneingeschränkt für Funktionen, die
- geschlossen darstellbar
- mindestens zweimal differenzierbar auf dem gesamten Definitionsbereich sind.
Liegen diese Voraussetzungen nicht vor, kann man noch nicht mit Sicherheit sagen, dass die Vorgehensweise nicht mehr klappt. Man kann nur sagen: es wird dann komplizierter!
> Das bedeutet also im Klartext, hat man die Wendestelle,
> überprüft man, ob ein Vorzeichenwechsel stattfindet.
> Dank deiner Antwort weiß ich jetzt, dass man den
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_w^{\pm} }[/mm] bestimmen muss.
Man muss gar nichts. Es war nur in dieser Situation zielführend, dies zu tun.
> Und kommen bei dem lim verschiedene Vorzeichen raus, handelt es
> sich tatsächlich um einen Wendepunkt.
>
Aber eben nur auf die hier diskutierte Funktion bezogen und zwar an der Stelle x=2, und eben nicht allgemeingültig.
> Voraussetzung ist aber, dass ich erstmal eine POTENZIELLE
> Wendestelle, also den Punkt, habe und das geht, indem ich
> die zweite Ableitung nullsetze.
>
> Ist das bis hierhin so richtig?
>
Nein, du hast von dem bisher Geschriebenen noch nicht sehr viel verstanden.
Lies es dir vielleicht nochmals in Ruhe durch, und probiere dich mal an den Beispielen mit dem sin(1/x)-Faktor. Wenn ihr gerade so ewtas macht wie hier, so würde mich das nicht weiter wundern, wenn du damit auch bald konfrontiert wirst. Das sind Klassiker...
Gruß, Diophant
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Hallo nochmal,
also um einen klaren Kopf( :) ) zu bekommen, versuche ich das Ganze jetzt mal zusammenzufassen:
Extrema:
f'(x) = 0 muss noch lange nicht bedeuten, dass x eine Extremalstelle ist. (bestes Beispiel f(x) = [mm] x^3 [/mm] )
Wir müssen ( sollten ) aber trotzdem erstmal f'(x) = 0 bestimmen. Denn die Kadidaten für einen Extremum sind die Randpunkte der Funktion, oder f'(x) = 0 oder die Stellen, an denen f'(x) nicht definiert ist.
Das heißt, wir setzen erstmal f'(x) = 0 und gucken, was rauskommt. Kommt ein Wert c raus, setzen wir diesen in die zweite Ableitung und erst wenn die zweite Ableitung f''(c) UNGLEICH 0 ist, dann war c wirklich ein Extremum.
Wendestelle:
Wie oben, f''(x) = 0 ist noch lange kein Beweis für die Existenz einer Wendestelle. Aber mit irgendeinem Punkt müssen wir ja "anfangen". Also setzen wir die zweite Ableitung null. Kommt da jetzt ein Wert d raus, dann setzen wir einmal Werte größer d und Werte kleiner d in die ZWEITE Ableitung. Und wenn dort ein VZW stattfindet, dann waren wir auf der richtigen Spur und d war wirklich eine Wendestelle.
Die Kandidaten für Wendestellen sind die Stellen, an denen die zweite Ableitung NICHT differenzierbar ist und die Kandidaten mit f''(x) = 0.
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Hallo nochmal,
ich kann jetzt gerade nicht zitieren, da ich vom Smartphone aus schreibe.
Was du im vorigen Beitrag geschrieben hast, ist für sich gesehen fast alles richtig, soweit ich es übersehe (so sollte man einen Vorzeichenwechsel eben nicht durch Einsetzen konkreter Werte zeigen, sondern allgemeingültig etwa für h>0 die Vorzeichen von f''(x-h) und f''(x+h) nachrechnen).
Weiter treffen deine Ausführungen die hier diskutierte Problematik nur bedingt (bei den Extrempunkten) bis überhaupt nicht (bei den Wendepunkten). Es gilt hier bspw. [mm] f''(x)\ne{0}. [/mm] Und du sprichst weiterhin davon, die Gleichung f''(x)=0 zu lösen sowie von so erhaltenen Lösungen..
Ich glaube nicht, dass wir das hier geklärt bekommen. Du möchtest partout einen 'Algorithmus' haben, ich möchte dir von dieser Idee von Mathematik dringend abraten.
Ich habe dir weiter oben geschrieben, unter welchen Bedingungen man mit diesen allseits bekannten Algorithmen arbeiten kann. Dass diese Bedingungen hier nicht erfüllt sind, ist sicherlich zentraler Inhalt dieser Aufgabe und sollte im Verlauf der Diskussion eigentlich klar geworden sein.
Vielleicht kommen wir ja in den nächsten Tagen hier noch weiter, für heute verabschiede ich mich mal. Zur Sicherheit stelle ich mal auf 'teilweise beantwortet'.
Gruß, Diophant
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Hallo nochmal,
ja, ist echt 'ne schwere Geburt heute :D Aber das kommt davon, dass mir solche Aufgaben noch nie begegnet sind.
Ich habe jetzt bisschen abgeschaltet und habe folgendes für Wendepunkte rausgefunden:
Die Kandidaten für Wendepunkte von f : I -> [mm] \IR [/mm] sind:
a) die Punkte aus I, in denen f'' nicht existiert;
b) die Punkte aus I, in denen f'' = 0
So und nehmen wir jetzt die Funktion:
f(x) = [mm] \wurzel[3]{x}
[/mm]
Die zweite Ableitung ist f''(x) = [mm] \bruch{-2}{9x^{\bruch{5}{3}}}
[/mm]
So, ein Kandidat ist die 0 als Wendestelle, obwohl f''(0) nicht definiert ist, ist 0 eine Wendestelle von f''(x)
Weil links von der 0 und rechts von der 0 existieren jeweils verschiedene Vorzeichen. Damit ist (0,0) ein Wendepunkt der Funktion f(x) = [mm] \wurzel[3]{x}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:44 Fr 30.12.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo nochmal,
>
> ja, ist echt 'ne schwere Geburt heute :D Aber das kommt
> davon, dass mir solche Aufgaben noch nie begegnet sind.
>
> Ich habe jetzt bisschen abgeschaltet und habe folgendes
> für Wendepunkte rausgefunden:
>
> Die Kandidaten für Wendepunkte von f : I -> [mm]\IR[/mm] sind:
>
> a) die Punkte aus I, in denen f'' nicht existiert;
>
> b) die Punkte aus I, in denen f'' = 0
>
> So und nehmen wir jetzt die Funktion:
>
>
> f(x) = [mm]\wurzel[3]{x}[/mm]
>
> Die zweite Ableitung ist f''(x) =
> [mm]\bruch{-2}{9x^{\bruch{5}{3}}}[/mm]
>
> So, ein Kandidat ist die 0 als Wendestelle, obwohl f''(0)
> nicht definiert ist, ist 0 eine Wendestelle von f''(x)
da bin ich anderer Meinung. .....
>
> Weil links von der 0 und rechts von der 0 existieren
> jeweils verschiedene Vorzeichen.
was soll das denn bedeuten?
f ist nur für [mm] x\ge [/mm] 0 definiert. daher kannst du links von der 0 vergessen
Damit ist (0,0) ein
> Wendepunkt der Funktion f(x) = [mm]\wurzel[3]{x}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:13 Fr 30.12.2016 | | Autor: | Diophant |
Hallo Fred,
> > So und nehmen wir jetzt die Funktion:
> >
> >
> > f(x) = [mm]\wurzel[3]{x}[/mm]
> >
> > Die zweite Ableitung ist f''(x) =
> > [mm]\bruch{-2}{9x^{\bruch{5}{3}}}[/mm]
> >
> > So, ein Kandidat ist die 0 als Wendestelle, obwohl f''(0)
> > nicht definiert ist, ist 0 eine Wendestelle von f''(x)
>
> da bin ich anderer Meinung. .....
>
Wir haben das ja unter der Annahme diskutiert, dass wir für die ungeraden Wurzeln ganz [mm] \IR [/mm] als Definitionsbereich zulassen. Ich weiß, dass dies heutzutage eher nicht mehr gemacht wird, es wr ein Vorschlag vom Themenstarter, um die Problematik rund um diese Aufgabe verstehen zu können.
> >
> > Weil links von der 0 und rechts von der 0 existieren
> > jeweils verschiedene Vorzeichen.
>
> was soll das denn bedeuten?
>
> f ist nur für [mm]x\ge[/mm] 0 definiert. daher kannst du links von
> der 0 vergessen
Wie gesagt, das liegt hier an den ungewohnten Voraussetzungen.
Gruß, Diophant
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Hallo,
Warum soll f nur für [mm] \ge [/mm] 0 definiert sein? Das stimmt doch so gar nicht, oder?. f ist entweder für (- [mm] \infty, [/mm] 2] definiert, oder für ganz [mm] \IR. [/mm] Je nach dem, wie man die dritte Wurzel definiert.
In f kann ich auch negative Zahlen einsetzen und innerhalb der Wurzel entsteht dann ein positiver Ausdruck. Erstens wegen [mm] x^2 [/mm] und zweitens wegen [mm] -x^3. [/mm] Durch das Quadrat wird die Zahl positiv, und durch [mm] -x^3 [/mm] wird die Zahl ebenfalls positiv. Insgesamt also positiv, sieht man auch an der Skizze.
Auch wenn, 0 kann keine Wendestelle sein, weil wenn ich on die zweite Ableitung -1 einsetze und +1 kommt bei beiden eine negative Zahl als Ergebnis. Es findet also kein VZW statt..folglich ist 0 keine Wendestelle. Denn 0 als Wendestelle würde bedeuten, dass links und rechts von der Null jeweils verschiedene Vorzeichen sind, aber das ist nicht der Fall. Das ist nur der Fall für x=2. Wenn der Def.bereich R ist, ist 2 eine Wendestelle. (2,0) ist also Wendepunkt, für den entsprechenden Def.bereich.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 Fr 30.12.2016 | | Autor: | Loddar |
Hallo pc-doctor!
> Warum soll f nur für [mm]\ge[/mm] 0 definiert sein? Das stimmt doch
> so gar nicht, oder?. f ist entweder für (- [mm]\infty,[/mm] 2]
> definiert, oder für ganz [mm]\IR.[/mm] Je nach dem, wie man die
> dritte Wurzel definiert.
Je nachdem, wie tollerant man mit der Wurzelfunktion umgeht, darfst Du entweder nur nicht-negative Werte als Radikand einsetzen oder gar wirklich auch negative Zahlen.
Das wäre jetzt von Deiner Seite mit zu klären, wie das bei euch gehandhabt wird.
> Auch wenn, 0 kann keine Wendestelle sein, weil wenn ich on
> die zweite Ableitung -1 einsetze und +1 kommt bei beiden
> eine negative Zahl als Ergebnis. Es findet also kein VZW
> statt..folglich ist 0 keine Wendestelle. Denn 0 als
> Wendestelle würde bedeuten, dass links und rechts von der
> Null jeweils verschiedene Vorzeichen sind, aber das ist
> nicht der Fall. Das ist nur der Fall für x=2. Wenn der
> Def.bereich R ist, ist 2 eine Wendestelle. (2,0) ist also
> Wendepunkt, für den entsprechenden Def.bereich.
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") Aufgepasst: An den beiden Stellen [mm] $x_1 [/mm] \ = \ 0$ und [mm] $x_2 [/mm] \ = \ 2$ ist schon die erste Ableitung nicht definiert (und das völlig unabhängig vom Definitionsbereich der eigentlichen Funktion).
Hier ist die Funktion also nicht differenzierbar. Damit brauchst Du an diesen Stellen auch gar nicht erst über Werte der 2. Ableitung nachdenken.
Es gibt also keinerlei Wendestellen! [mm] [green]$\green{\leftarrow}$ [/mm] Bzgl. der Stelle [mm] $\green{x_2 \ = \ 2}$ [/mm] siehe hierzu aber diesen Beitrag ![/green]
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 13:10 Fr 30.12.2016 | | Autor: | Diophant |
Hallo Loddar,
> > Warum soll f nur für [mm]\ge[/mm] 0 definiert sein? Das stimmt
> doch
> > so gar nicht, oder?. f ist entweder für (- [mm]\infty,[/mm] 2]
> > definiert, oder für ganz [mm]\IR.[/mm] Je nach dem, wie man die
> > dritte Wurzel definiert.
>
> Je nachdem, wie tollerant man mit der Wurzelfunktion
> umgeht, darfst Du entweder nur nicht-negative Werte als
> Radikand einsetzen oder gar wirklich auch negative Zahlen.
>
> Das wäre jetzt von Deiner Seite mit zu klären, wie das
> bei euch gehandhabt wird.
>
>
>
> > Auch wenn, 0 kann keine Wendestelle sein, weil wenn ich on
> > die zweite Ableitung -1 einsetze und +1 kommt bei
> beiden
> > eine negative Zahl als Ergebnis. Es findet also kein
> VZW
> > statt..folglich ist 0 keine Wendestelle. Denn 0 als
> > Wendestelle würde bedeuten, dass links und rechts von
> der
> > Null jeweils verschiedene Vorzeichen sind, aber das ist
> > nicht der Fall. Das ist nur der Fall für x=2. Wenn der
> > Def.bereich R ist, ist 2 eine Wendestelle. (2,0) ist
> also
> > Wendepunkt, für den entsprechenden Def.bereich.
>
> Aufgepasst: An den beiden Stellen [mm]x_1 \ = \ 0[/mm]
> und [mm]x_2 \ = \ 2[/mm] ist schon die erste Ableitung nicht
> definiert (und das völlig unabhängig vom
> Definitionsbereich der eigentlichen Funktion).
> Hier ist die Funktion also nicht differenzierbar. Damit
> brauchst Du an diesen Stellen auch gar nicht erst über
> Werte der 2. Ableitung nachdenken.
>
> Es gibt also keinerlei Wendestellen!
Auch das kann man so wieder nicht sagen (es befördert das Durcheinander hier bloß noch mehr, daher meine Intervention).
Wenn du den Standpunkt vertrittst, dass Wurzelfunktionen nur für nichtnegative Werte definiert sind, dann stimmt deine obige Aussage für diesen Fall.
Wenn du aber, was du dem Fragesteller ja immerhin auch freigestellt hast, auch die Möglichkeit einer Definition für ungerade Wurzelexponenten auf ganz [mm] \IR [/mm] in Betracht ziehst, bzw. zulässt: dann ist sie eben falsch!
Gruß, Diophant
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Das sehe ich anders. Für eine Wendestelle ist zweimalige Differenzierbarkeit nicht erforderlich.
Ist f in einer Umgebung von [mm]x_0[/mm] differenzierbar und hat [mm]f[/mm] bei [mm]x_0[/mm] ein lokales Extremum, so ist [mm]x_0[/mm] eine Wendestelle des Graphen von f.
Einfaches Beispiel:
[mm]f(x) = x \cdot |x|[/mm] und [mm]x_0 = 0[/mm]
[mm]f'(x) = 2|x|[/mm] hat bei [mm]x_0 = 0[/mm] ein lokales Minimum.
Jetzt kann man noch darüber streiten, wie das bei uneigentlicher Differenzierbarkeit ist (siehe meinen Beitrag).
EDIT
Fehlenden Faktor korrigiert.
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Hallo nochmal,
nach langem Überlegen:
f''(x) = $ [mm] \bruch{-8x^2}{9(2x^2-x^3)^{\bruch{5}{3}}} [/mm] $
2 ist hier eine Wendestelle, obwohl f''(2) nicht definiert ist! Links von der 2 existiert an anderes Vorzeichen als rechts von der 2. Damit ist (2,0) ein Wendepunkt der Funktion f(x) = [mm] \wurzel[3]{2x^2-x^3}
[/mm]
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Hallo,
> nach langem Überlegen:
nach zu langem Überlegen wohl.
>
> f''(x) = [mm]\bruch{-8x^2}{9(2x^2-x^3)^{\bruch{5}{3}}}[/mm]
>
>
> 2 ist hier eine Wendestelle, obwohl f''(2) nicht definiert
> ist! Links von der 2 existiert an anderes Vorzeichen als
> rechts von der 2. Damit ist (2,0) ein Wendepunkt der
> Funktion f(x) = [mm]\wurzel[3]{2x^2-x^3}[/mm]
Du selbst hast in dem anderen Strang gesagt, dass bei euch Wurzeln grundsätzlich nur für nichtnegative Zahlen definiert sind. Also brauchen wir uns bei einem Randpunkt eines Graphen, ein solcher ist der Punkt (2,0) keine Gedanken darüber machen, ob er ein Wendpunkt ist...
Gruß, Diophant
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Hier einmal meine Sicht der Dinge in aller Ausführlichkeit.
[mm]f(x) = \sqrt[3]{2x^2 - x^3} = \sqrt[3]{x^2 (2-x)} \, , \ \ x \in \mathbb{R}[/mm]
Die dritte Wurzel ist hierbei auch für negative [mm]x[/mm] definiert, einfach als Umkehrung der dritten Potenz.
Berechnen wir die 1. Ableitung.
Es liegt eine Verkettung vor, die innere Funktion [mm]t = h(x) = 2x^2 - x^3 = x^2 (2-x)[/mm] ist ganzrational, die äußere [mm]y = g(t) = \sqrt[3]{t}[/mm] ist die dritte Wurzel. Die dritte Wurzel ist im eigentlichen Sinn an der Stelle [mm]t=0[/mm] nicht differenzierbar. An den Nullstellen [mm]x=0[/mm] und [mm]x=2[/mm] der inneren Funktion ist die Kettenregel daher nicht anwendbar.
Für alle anderen x-Werte geht es problemlos mit der Kettenregel:
[mm]\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{3 \sqrt[3]{t^2}} \, , \ \ t \neq 0[/mm]
[mm]\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} = 4x - 3x^2 = x(4-3x)[/mm]
Durch Multiplikation erhält man als Ableitung:
[mm]f'(x) = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} = \frac{x(4-3x)}{3 \sqrt[3]{x^4 (2-x)^2}} = \frac{4-3x}{3 \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{(2-x)^2}}[/mm], zunächst nur für [mm]x \neq 0[/mm] und [mm]x \neq 2[/mm].
Die Stellen [mm]x=0[/mm] und [mm]x=2[/mm] sind nun getrennt zu untersuchen. Nehmen wir dafür den Differenzenquotienten.
1. Zunächst die Stelle [mm]x=0[/mm]. Sei [mm]h \neq 0[/mm] dem Betrage nach genügend klein:
[mm]\frac{f(h) - f(0)}{h} = \frac{\sqrt[3]{h^2 (2-h)}}{h} = \frac{\sqrt[3]{2-h}}{\sqrt[3]{h}}[/mm]
Es gilt:
[mm]\frac{\sqrt[3]{2-h}}{\sqrt[3]{h}} \to \infty[/mm] für [mm]h \to 0[/mm] mit [mm]h>0[/mm]
[mm]\frac{\sqrt[3]{2-h}}{\sqrt[3]{h}} \to - \infty[/mm] für [mm]h \to 0[/mm] mit [mm]h<0[/mm]
Die Funktion [mm]f[/mm] ist daher bei [mm]x=0[/mm] nicht differenzierbar, auch nicht im uneigentlichen Sinn.
Betrachtet man [mm]x[/mm] in der Nähe von 0 mit [mm]x \neq 0[/mm], so zeigt
[mm]f'(x) = \frac{4-3x}{3 \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{(2-x)^2}}[/mm]
einen Vorzeichenwechsel von - nach +. Verantwortlich dafür ist die [mm]\sqrt[3]{x}[/mm] im Nenner, alle anderen Faktoren sind positiv für [mm]x[/mm] nahe bei 0.
Der Graph von f fällt daher im II. Quadranten von oben mit negativer Steigung in den Ursprung (dort links die Steigung [mm]- \infty[/mm]) und erhebt sich aus dem Ursprung (dort rechts die Steigung [mm]\infty[/mm]) mit positiver Steigung in den I. Quadranten. Anschaulich heißt das: Der Graph hat im Ursprung einen Knick, aus dem sich der Graph wie ein Trichter herausschält.
2. Nun die Stelle [mm]x=2[/mm]. Sei [mm]h \neq 0[/mm] wieder dem Betrage nach genügend klein. Wir betrachten den Differenzenquotienten:
[mm]\frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \frac{\sqrt[3]{(2+h)^2 (-h)}}{h} = - \frac{\sqrt[3]{(2+h)^2}}{\sqrt[3]{h^2}}[/mm]
Es gilt:
[mm]- \frac{\sqrt[3]{(2+h)^2}}{\sqrt[3]{h^2}} \to - \infty[/mm] für [mm]h \to 0[/mm], sowohl [mm]h>0[/mm] als auch [mm]h<0[/mm]
Im eigentlichen Sinn ist f an der Stelle [mm]x=2[/mm] nicht differenzierbar, man kann aber f als uneigentlich differenzierbar mit Steigung [mm]- \infty[/mm] ansehen. Der Graph ist daher in einer Umgebung von [mm]x=2[/mm] glatt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Kommen wir nun zur zweiten Ableitung. Da f an den Stellen [mm]x=0[/mm] und [mm]x=2[/mm] gar nicht differenzierbar ist, kommen für die zweite Ableitung von vorneherein nur die x-Werte [mm]\neq 0,2[/mm] in Betracht. Mit der Kettenregel errechnet man mühevoll, aber letztlich problemlos:
[mm]f''(x) = - \frac{8}{9 \sqrt[3]{x^4} \cdot \sqrt[3]{(2-x)^5}} \, , \ \ x \in \mathbb{R} \setminus \{0,2\}[/mm]
Hierin wechselt nur [mm]\sqrt[3]{(2-x)^5}[/mm] bei [mm]x=2[/mm] das Vorzeichen, also auch [mm]f''(x)[/mm]. Da die Kurve in einer Umgebung von [mm]x=2[/mm] glatt ist, besitzt sie somit den Wendepunkt [mm](2,0)[/mm].
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:14 Fr 30.12.2016 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
obiges ist die Vorgehensweise, die ich die ganze Zeit anregen wollte. Insofern sollte der Themenstarter die obige Antwort von Leopold_Gast als Lösung seiner Fragen anschauen.
Ich habe das aus Zeitgründen in dieser Ausführlichkeit nicht geschafft, daher vielen Dank dafür auch von meiner Seite. Es ist nämlich eine sehr interessante Fragestellung.
Gruß, Diophant
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Hallo und danke für die ausführliche Musterlösung.
Dennoch habe ich eine Frage: Du hast am Ende die zweite Ableitung, die zweite Ableitung existiert für alle x außer für x=2 und x = 0.
Im Buch "Höhere Mathematik 1 von Meyberg und Vachenauer" steht genau das, was du hier geschrieben hast. Für Wendestellen gibt es immer 2 Kandidaten. 1. f''(x) = 0 und 2. die Stellen, an denen die zweite Ableitung nicht definiert ist. Also in diesem Fall die 0 und 2.
Jetzt gilt es, die 0 und 2 genauer unter die Lupe zu nehmen, das sind nämlich potenzielle Kandidaten für Wendestellen. Die 0 fällt im Vorzeichen-Test durch. Die 2 aber nicht. Denn links von der 2 und rechts von der 2 existieren verschiedene Vorzeichen, das wurde mit der zweiten Ableitung gezeigt. Und genau das ist die Definition für eine Wendestelle. Somit ist (2,0) ein Wendepunkt. Du hast es natürlich mathematisch besser aufgeschrieben, aber verbal gesehen meine ich doch das Gleiche, wie deine Rechnung, nehme ich mal an.
Das setzt natürlich alles voraus, dass der Definitionsbereich [mm] \IR [/mm] ist. Und das ist er jetzt auch. Denn in der Aufgabe sind noch Konvexitätsbereiche etc zu bestimmen. Das impliziert schon den Definitionsbereich [mm] \IR, [/mm] weil wenn wir als Definitionsbereich (- [mm] \infty, [/mm] 2] hätten, wäre 2 keine Wendestelle, weil Randpunkte nicht Wendestellen sein können. Das geht nicht.
Tut mir Leid für die unendlichen Fragen, aber wichtig ist, dass ich das verstehe , damit ich später in der Prüfung weiß, was ich machen soll.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:50 Fr 30.12.2016 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Tut mir Leid für die unendlichen Fragen, aber wichtig ist,
> dass ich das verstehe , damit ich später in der Prüfung
> weiß, was ich machen soll.
Das muss es nicht! Das ist hier eine der spannendsten Diskussionen, die ich in den letzten Jahren in Internetforen gesehen oder an denen ich so wie hier selbst teilgenommen habe.
Unabhängig davon: frage, so lange bis alles klar ist!
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:58 Fr 30.12.2016 | | Autor: | sinnlos123 |
sorry (kann gelöscht werden)
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Hallo,
>
> Dennoch habe ich eine Frage: Du hast am Ende die zweite
> Ableitung, die zweite Ableitung existiert für alle x
> außer für x=2 und x = 0.
>
> Im Buch "Höhere Mathematik 1 von Meyberg und Vachenauer"
> steht genau das, was du hier geschrieben hast. Für
> Wendestellen gibt es immer 2 Kandidaten. 1. f''(x) = 0 und
> 2. die Stellen, an denen die zweite Ableitung nicht
> definiert ist. Also in diesem Fall die 0 und 2.
>
> Jetzt gilt es, die 0 und 2 genauer unter die Lupe zu
> nehmen, das sind nämlich potenzielle Kandidaten für
> Wendestellen. Die 0 fällt im Vorzeichen-Test durch. Die 2
> aber nicht. Denn links von der 2 und rechts von der 2
> existieren verschiedene Vorzeichen, das wurde mit der
> zweiten Ableitung gezeigt. Und genau das ist die Definition
> für eine Wendestelle. Somit ist (2,0) ein Wendepunkt. Du
> hast es natürlich mathematisch besser aufgeschrieben, aber
> verbal gesehen meine ich doch das Gleiche, wie deine
> Rechnung, nehme ich mal an.
Ja, jetzt hast du es exakt so verstanden, wie es gemeint war!
>
> Das setzt natürlich alles voraus, dass der
> Definitionsbereich [mm]\IR[/mm] ist. Und das ist er jetzt auch. Denn
> in der Aufgabe sind noch Konvexitätsbereiche etc zu
> bestimmen. Das impliziert schon den Definitionsbereich [mm]\IR,[/mm]
> weil wenn wir als Definitionsbereich (- [mm]\infty,[/mm] 2] hätten,
> wäre 2 keine Wendestelle, weil Randpunkte nicht
> Wendestellen sein können. Das geht nicht.
Da wäre ich jetzt wieder vorsichtig. Wenn Mathematiker etwa sagen, dass irgendwelche Objekte existieren, dann ist auch der Fall gemeint, dass es von dem fraglichen Objekt nur eines gibt. Die ungeklärte Frage des Definitionsbereichs scheint mir hier auch an einer nachlässigen Aufgabenstellung zu liegen (eine Angabe über den Definitionsbereich gehört zu jeder Funktion, und hier kann man ja schön sehen, zu welchen unterschiedlichen Interpretationen man kommt, wenn dies unterbleibt).
Ich würde in dieser Frage die Unterlagen, die ihr verwendet (also insbesondere Skript oder Lehrbuch) zu Rate ziehen und es dann so machen, wie es dort definiert ist.
> Tut mir Leid für die unendlichen Fragen, aber wichtig ist,
> dass ich das verstehe , damit ich später in der Prüfung
> weiß, was ich machen soll.
Vielleicht frägst du auch dazu nochmals gezielt an deiner Hochschule nach.
Die Tücken dieser Aufgabe sowie ihre Behandlung hast du jetzt aber verstanden, so wie es aussieht!
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:17 Fr 30.12.2016 | | Autor: | pc_doctor |
Hallo,
perfekt. Vielen Dank für die zahlreichen Antworten und für die Diskussion! Allen einen guten Rutsch in 2017!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:18 Fr 30.12.2016 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Hallo,
> perfekt. Vielen Dank für die zahlreichen Antworten und
> für die Diskussion! Allein einen guten Rutsch in 2017!
Das wünsche ich dir auch!
Gruß, Diophant
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Ein Vorzeichenwechsel von [mm]f''[/mm] genügt im allgemeinen nicht.
Betrachte für [mm]x \in \mathbb{R}[/mm] die Funktion [mm]g[/mm] mit
[mm]g(x) = \begin{cases} x^2, & x \leq 1 \\ \sqrt{x}, & x \geq 1 \end{cases}[/mm]
Die Funktion ist bei [mm]x=1[/mm] nur scheinbar mehrdeutig definiert. Offenbar ist sie stetig und außer bei [mm]x=1[/mm] auch differenzierbar:
[mm]g'(x) = \begin{cases} 2x , & x<1 \\ \frac{1}{2 \sqrt{x}}, & x>1 \end{cases}[/mm]
Für [mm]x \neq 1[/mm] existiert auch die zweite Ableitung:
[mm]g''(x) = \begin{cases} 2, & x<1 \\ - \frac{1}{4 \sqrt{x^3}}, & x>1 \end{cases}[/mm]
[mm]g''[/mm] hat über [mm]x_0=1[/mm] hinweg auch einen Vorzeichenwechsel. Doch würde man von einer Wendestelle sprechen? Sicher nicht.
Damit [mm]x_0[/mm] eine Wendestelle ist, muß [mm]f'[/mm] in einer Umgebung von [mm]x_0[/mm] existieren und bei [mm]x_0[/mm] ein lokales Extremum besitzen.
So sieht man das üblicherweise. Ich habe das in der konkreten Situation allerdings etwas weiter gefaßt, denn [mm]f'[/mm] existiert in unserem Fall bei [mm]x_0=2[/mm] ja gar nicht. Der Limes des Differenzenquotienten von [mm]f[/mm] bei [mm]x_0=2[/mm] hat jedoch den uneigentlichen Wert [mm]- \infty[/mm], wie ich nachgewiesen habe. Man kann also gewissermaßen doch von einem Minimum mit Wert [mm]- \infty[/mm] sprechen, wenn man auch die uneigentlichen Objekte [mm]\pm \infty[/mm] als Werte für Ableitungen gelten läßt.
Ich finde sogar, man muß das hier so machen. Von der Anschauung her ist das Krümmungsverhalten einer Kurve nämlich invariant unter orientierungserhaltenden euklidischen Bewegungen. Wenn man die Kurve etwa um 90° dreht, verschwinden alle Probleme, und wo wir vorher die Steigung [mm]- \infty[/mm] hatten, haben wir jetzt die Steigung 0 und offensichtlich einen Wendepunkt/Sattelpunkt. Dieser Wendepunkt bleibt aber erhalten, wenn man die Kurve wieder zurückdreht.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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Hallo,
du hast Recht. 1 ist keine Wendestelle. Aber die 1 ist nur ein Kandidat von zwei. Der zweite Kandidat für eine Wendestelle ist 0. Ist 0 eine Wendestelle? Setzt man in die zweite Ableitung einen Wert < 0 ein, ist der Wert positiv. Setzt man einen Wert >0 ein, ist der Wert negativ. Es hat also ein Vorzeichenwechsel stattgefunden. Wie schon in dem anderen Beitrag geschrieben, man muss für eine Wendestelle zwei Teile überprüfen.
1) f ''(x) = 0
2) Stellen, an denen die zweite Ableitung nicht definiert ist.
Dies sind potenzielle Wendestellen. Du hast nur die 1 betrachtet. Aber die zweite Ableitung hat an der Stelle 0 eine Definitionslücke. Die zweite Ableitung an der Stelle 0 existiert also nicht. Doch das schließt nicht aus, dass 0 keine Wendestelle ist. Sie ist eine.
Siehe f(x) = [mm] (x)^{\bruch{1}{3}}
[/mm]
DIe zweite Ableitung dieser Funktion ist an der Stelle 0 nicht definiert, hat aber einen Wendepunkt bei (0,0).
Ich habe kein Beispiel gefunden, wo man die erste Ableitung betrachten muss. Deshalb verstehe ich das nicht so ganz. Für die Wendestellen reicht eine Betrachtung der zweiten Ableitung völlig aus, so habe ich das verstanden. Man muss halt nur aufpassen, was der Definitionsbereich der Funktion ist. Habe auch keine Funktion gefunden, die an einem Randpunkt, an dem sie definiert ist, eine Wendestelle hat, was für mich heißt, dass Wendestellen an Randpunkten nicht existieren können. Es ist also egal, ob die erste Ableitung an der Stelle existiert oder nicht. Wichtig ist, dass sie einen Vorzeichenwechsel an dieser Stelle hat (bezüglich der zweiten Ableitung).
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Ehrlich gesagt verstehe ich deinen Beitrag nicht. Ich weiß gar nicht, wovon du sprichst. Du sagst, 0 sei eine Wendestelle. Ja wovon soll denn 0 eine Wendestelle sein? Von welcher Funktion sprichst du überhaupt?
Und bei einem Subjektwechsel mußt du das neue Subjekt auch nennen. Ein Satz wie
Die zweite Ableitung dieser Funktion ist an der Stelle 0 nicht definiert, hat aber einen Wendepunkt bei (0,0).
ist gut gemeint, aber wörtlich genommen blühender Unsinn. Denk einmal darüber nach. Subjekt!
Ich weiß auch gar nicht, warum du immer wieder auf die zweite Ableitung abhebst. Wendepunkte sind mittels der 1. (!) Ableitung definiert. Hier noch einmal:
Ist [mm]f[/mm] in einer Umgebung von [mm]x_0[/mm] differenzierbar und besitzt [mm]f'[/mm] bei [mm]x_0[/mm] ein lokales Maximum, so heißt [mm]x_0[/mm] Wendestelle.
Von der 2. Ableitung ist da nirgendwo die Rede. Natürlich kann man, weil man ja ein lokales Maximum von [mm]f'[/mm] sucht, die Ableitung von [mm]f'[/mm], also [mm]f''[/mm], heranziehen, sofern [mm]f''[/mm] existiert. So kommt man zu den bekannten Kriterien. Aber man muß doch nicht! Niemand zwingt einen dazu, wenn man mit anderen Argumenten einfacher zum Ziel kommt.
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Hallo nochmal,
> Von der 2. Ableitung ist da nirgendwo die Rede. Natürlich
> kann man, weil man ja ein lokales Maximum von [mm]f'[/mm] sucht, die
> Ableitung von [mm]f'[/mm], also [mm]f''[/mm], heranziehen, sofern [mm]f''[/mm]
> existiert. So kommt man zu den bekannten Kriterien. Aber
> man muß doch nicht! Niemand zwingt einen dazu, wenn man
> mit anderen Argumenten einfacher zum Ziel kommt.
dieses "einfacher" ist subjektiv. Mir fällt es einfacher, die zweite Ableitung zu betrachten, im Sinne von never change a running system. Jeder hat da so eine Vorlieben. Ich glaube, ich bin mit dem Betrachten der zweiten Ableitung für die Prüfung gut gerüstet.
Und noch mal zu dem Subjektwechsel. Du hattest in deinem vorletzten Beitrag(dies ist der letzte Beitrag), eine Funktion gehabt, und bewiesen, dass 1 eine keine Wendestelle ist. Das habe ich mit der zweiten Ableitung für mich bestätigt. Ich wollte aber noch einmal klarstellen, dass die Funktion an der Stelle 0 eine Wendestelle hat, obwohl f''(0) nicht existiert.
Dann habe ich als Beispiel eine andere Funktion genommen, nennen wir sie g, mit g(x) = [mm] x^{\bruch{1}{3}}
[/mm]
Offensichtlich ist g''(x) = [mm] \bruch{2}{9x^{\bruch{5}{3}}}
[/mm]
Obwohl g''(0) nicht existiert, also dort eine Definitionslücke hat, hat g eine Wendestelle bei x =0(warum das so ist, habe ich in dem anderen Beitrag gezeigt, VZW), also einen Wendepunkt bei (0,0).
Um das zu zeigen, kann man entweder wie du mit der ersten Ableitung argumentieren, oder aber man argumentiert so wie ich mit der zweiten Ableitung, was für mich einfach "schlüssiger" ist. Aber ich verstehe deine Argumentation bezüglich einer Wendestelle und der ersten Ableitung. Nur mir fällt es einfacher, wenn ich mit der zweiten Ableitung argumentiere.
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Hallo,
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> > Von der 2. Ableitung ist da nirgendwo die Rede. Natürlich
> > kann man, weil man ja ein lokales Maximum von [mm]f'[/mm] sucht, die
> > Ableitung von [mm]f'[/mm], also [mm]f''[/mm], heranziehen, sofern [mm]f''[/mm]
> > existiert. So kommt man zu den bekannten Kriterien. Aber
> > man muß doch nicht! Niemand zwingt einen dazu, wenn man
> > mit anderen Argumenten einfacher zum Ziel kommt.
>
> dieses "einfacher" ist subjektiv. Mir fällt es einfacher,
> die zweite Ableitung zu betrachten, im Sinne von never
> change a running system. Jeder hat da so eine Vorlieben.
> Ich glaube, ich bin mit dem Betrachten der zweiten
> Ableitung für die Prüfung gut gerüstet.
Das ist ein Prinzip aus der EDV, auch im Sport wird es als never change a winning team gerne herangezogen. Wenn man in der Mathematik weiterkommen möchte, dann sollte man solchen Beschränkungen des eigenen Denkens am besten völlig entsagen. Bequemlichkeit ist eine schöne Sache, aber im Bereich des Denkens hat sie eben nichts verloren!
>
> Und noch mal zu dem Subjektwechsel. Du hattest in deinem
> vorletzten Beitrag(dies ist der letzte Beitrag), eine
> Funktion gehabt, und bewiesen, dass 1 eine keine
> Wendestelle ist. Das habe ich mit der zweiten Ableitung
> für mich bestätigt. Ich wollte aber noch einmal
> klarstellen, dass die Funktion an der Stelle 0 eine
> Wendestelle hat, obwohl f''(0) nicht existiert.
Auch hier weiß man wieder nicht, von welcher Funktion du jetzt sprichst.
> Dann habe ich als Beispiel eine andere Funktion genommen,
> nennen wir sie g, mit g(x) = [mm]x^{\bruch{1}{3}}[/mm]
>
> Offensichtlich ist g''(x) = [mm]\bruch{2}{9x^{\bruch{5}{3}}}[/mm]
>
Da fehlt ein Minuszeichen vor dem Ableitungterm, ansonsten stimmt er.
> Obwohl g''(0) nicht existiert, also dort eine
> Definitionslücke hat, hat g eine Wendestelle bei x
> =0(warum das so ist, habe ich in dem anderen Beitrag
> gezeigt, VZW), also einen Wendepunkt bei (0,0).
>
> Um das zu zeigen, kann man entweder wie du mit der ersten
> Ableitung argumentieren,
Nein, das kann man hier in diesem Bespiel nicht, und das hat Leopold_Gast auch nicht so gemeint. Er spricht ja ausdrücklich von Funktionen, die in einr Umgebeung um die Stelle [mm] x_0 [/mm] differenzierbar sind. Dein Beispiel ist in einer Umgebung um x=0 aus dem Grund nicht differenzierbar, weil es bei x=0 nicht differenzierbar ist!
> oder aber man argumentiert so wie
> ich mit der zweiten Ableitung, was für mich einfach
> "schlüssiger" ist. Aber ich verstehe deine Argumentation
> bezüglich einer Wendestelle und der ersten Ableitung. Nur
> mir fällt es einfacher, wenn ich mit der zweiten Ableitung
> argumentiere.
Verabschiede dich, wie schon mehrfach angedeutet, von jeder Art Automatismus in der Mathematik. Automatismen im Sinne von Algorithmen kommen dort ins Spiel, wo man Mathematik anwendet (und die Frage der Modellwahl geklärt ist), kurz: beim Rechnen.
Wenn du aber solche Probleme wie sie deine obige Aufgabe mit sich bringt aufdröseln möchtest, dann solltest du offen sein, offen dafür, dass es anders kommt als erwartet, offen dafür, dass man eine Problematik erst einmal komplett durchschauen muss, bevor man sinnvoll damit beginnen kann, sie (rechnerisch) zu lösen.
Außerdem noch ein Ratschlag, der zugegebenermaßen in einem Internetfroum aus Zeitgründen meist nicht so gut umzusetzen ist: versuche, dir beim Formulieren mathematischer Sachverhalte eine präzisere Sprache und Ausdrucksweise anzugewöhnen. Mathematik hat viel mehr mit Sprache zu tun, als allgemein angenommen wird. Ich persönlich vertrete die Ansicht, dass man den Horizont dessen, was man in der Mathematik zu erfassen in der Lage ist, erweitern kann, indem man sein Augenmerk auch darauf richtet, wie man Erkenntnisse, Fragen, Schlussfolgerungen etc. sprachlich ausformuliert.
Aber, um zur Ausgangsfrage zurückzukommen: es ist selbstverständlich in Ordnung, wenn du hier noch weitere Fragen hast. Es ist doch auch gut und zielführend bei einer komplizierten Angelegenheit wie dieser hier, wenn man Beispiele heranzieht, so wie du es getan hast und ich ja in meinen Antworten auch.
Gib also bei weiteren Rückfragen stets an, von was wir gerade sprechen, insbesondere von welcher Funktion mit welchen Definitionsbereich!
Gruß, Diophant
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