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Forum "Exp- und Log-Funktionen" - e-Funktion nach 0 auflösen
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e-Funktion nach 0 auflösen: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:51 So 19.03.2006
Autor: annika258

Aufgabe
Nullstellenbestimmung von [mm] 0,5e^{x} [/mm] + [mm] e^{-x}= [/mm] 0

hallo leute, brauche ganz dringend eure hilfe: wie löse ich diese gleichung nach 0 auf?
[mm] 0,5e^{x} [/mm] + [mm] e^{-x}= [/mm] 0

0,5e hoch x + e hoch -x = 0

kann ich die 0,5 nicht einfach rüberholen und durch 0 teilen? dann würde die ja schon wegfallen?!

bitte helft mir :)
lg annika

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.



        
Bezug
e-Funktion nach 0 auflösen: Substitution
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:56 So 19.03.2006
Autor: Loddar

Guten Morgen Annika!


Multipliziere diese Gleichung mit [mm] $2*e^x$ [/mm] und substituiere anschließend $z \ := \ [mm] e^x$ [/mm] .

Damit erhältst Du eine quadratische Gleichung, die Du z.B. mit der MBp/q-Formel lösen kannst.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
e-Funktion nach 0 auflösen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:00 So 19.03.2006
Autor: annika258

also wäre das dann:

2  [mm] \* e^{x} \* [/mm] 0,5 [mm] e^{x} [/mm] + 2  [mm] \* e^{x} \* e^{-x} [/mm] = 2  [mm] \* e^{x} \* [/mm] 0
[mm] e^{x} [/mm] + 2  [mm] \* e^{x} [/mm] = 0

z= [mm] e^{x} [/mm]
[mm] z^{2} [/mm] = 2  [mm] \* e^{x} [/mm]  

wäre das korrekt?

könnte ich das nicht vll. auch so machen?

0,5 [mm] \* [/mm] ( [mm] (e^{x} [/mm] ) + [mm] e^{-x} [/mm] ) ) = 0  ln
0,5 [mm] \* [/mm] (x) - x = 0
0,5x - x = 0

Bezug
                        
Bezug
e-Funktion nach 0 auflösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:46 So 19.03.2006
Autor: XPatrickX

Hallo


2  [mm] \* e^{x} \* [/mm] 0,5 [mm] e^{x} [/mm] + 2  [mm] \* e^{x} \* e^{-x} [/mm] = 2  [mm] \* e^{x} \* [/mm] 0

Diese Zeile ist noch richtig. Jetzt hast du beim Zusammenfassen ein paar Fehler eingebaut. Richtig sollte es so sein:

[mm] (e^{x})^{2} [/mm]  +  2  =  0

Potenzgesetze ;-)

Jetzt kommt die Substitution:

[mm] z^{2} [/mm] + 2 = 0
[mm] z^{2} [/mm] = -2

Also keine Lösung im Bereich der reelen Zahlen.

Gruß Patrick

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Bezug
e-Funktion nach 0 auflösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:13 So 19.03.2006
Autor: annika258

muss euch leider nochmal nerven*g*

aber muss das irgendwie verstehen :)

woher weiß ich denn ob ich mit 0,5  [mm] \*e^{x} [/mm] oder mit 2  [mm] \*e^{x} [/mm] oder einer anderen zahl multiplizieren muss?

und was wäre denn  [mm] e^{2x} \*e^{x} e^{3x} [/mm] ?? zählt man die exponenten nicht eigentlich immer einfach zusammen?

Bezug
                                        
Bezug
e-Funktion nach 0 auflösen: Potenzgesetze
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:17 So 19.03.2006
Autor: Loddar

Hallo Annika!


Du kannst natürlich auch zunächst nur mit [mm] $e^x$ [/mm] multiplizieren. Die Zahl davor hängt ab vor der Zahl vor dem [mm] $e^x$ [/mm] der Ausgangsgleichung, um diese zu eliminieren.


> und was wäre denn  [mm]e^{2x} * e^{x}* e^{3x}[/mm] ?? zählt man
> die exponenten nicht eigentlich immer einfach zusammen?

Ja, gemäß MBPotenzgesetz [mm] $a^m*a^n [/mm] \ = \ [mm] a^{m+n}$ [/mm] gilt hier:

[mm] $e^{2x}*e^x*e^{3x} [/mm] \ = \ [mm] e^{2x+x+3x} [/mm] \ = \ [mm] e^{6x}$ [/mm]


Gruß
Loddar


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e-Funktion nach 0 auflösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:41 So 19.03.2006
Autor: annika258

könnte man vielleicht die theorie aufstellen ( nur damit ich mir das merken kann) das ich immer mit der zahl  [mm] \* e^{x} [/mm] multiplizieren muss, damit das erste [mm] e^{x} [/mm]  1 [mm] \* e^{x} [/mm] ergibt?

wie eben bei der ersten und zweiten aufgabe:

[mm] 0,5e^{x} [/mm] + [mm] e^{x} [/mm] = 0    multipliziert mit [mm] 2e^{x} [/mm]
also [mm] 0,5e^{x} [/mm] mal [mm] 2e^{x} [/mm] = [mm] 1e^{x} [/mm]

und so war es beim anderen ja auch:

[mm] 2e^{2x} [/mm] - [mm] e^{-x} [/mm] 0    multipliziert mit [mm] 0,5e^{x} [/mm]
also [mm] 2e^{2x} [/mm] mal [mm] 0,5e^{x} [/mm] = [mm] 1e^{3x} [/mm]


weil wenn ich immer nur dann mit [mm] e^{x} [/mm] multipliziere dann würde ja fast immer mein 2. [mm] e^{x} [/mm] in der aufgabe wegfallen wie z.b [mm] e^{-x} [/mm]

Bezug
                                                        
Bezug
e-Funktion nach 0 auflösen: Gute Merkregel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:53 So 19.03.2006
Autor: Loddar

Hallo Annika!


> könnte man vielleicht die theorie aufstellen ( nur damit
> ich mir das merken kann) das ich immer mit der zahl  [mm]\* e^{x}[/mm]
> multiplizieren muss, damit das erste [mm]e^{x}[/mm]  1 [mm]\* e^{x}[/mm]  ergibt?

[daumenhoch] Genau!


Gruß
Loddar


Bezug
                                                                
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e-Funktion nach 0 auflösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:12 So 19.03.2006
Autor: annika258

ok dann habe ich nur noch eine frage :)

dann sind aber [mm] 2e^{x} [/mm] mal 0,5 [mm] e^{x} [/mm] = [mm] e^{2x} [/mm] oder? und nicht [mm] (e^{x}) [/mm] hoch 2

oder ist dass das gleiche?

dann würde es doch auch heißen [mm] e^{x} [/mm] = z  und [mm] (e^{x}) [/mm] hoch 2 oder [mm] e^{2x} [/mm] ?? = [mm] z^{2} [/mm]

Bezug
                                                                        
Bezug
e-Funktion nach 0 auflösen: Hinweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:24 So 19.03.2006
Autor: Loddar

Hallo Annika!



> dann sind aber [mm]2e^{x}[/mm] mal 0,5 [mm]e^{x}[/mm] = [mm]e^{2x}[/mm] oder? und nicht [mm](e^{x})[/mm] hoch 2
>  
> oder ist dass das gleiche?

Doch, das ist dasselbe, da gemäß MBPotenzgesetz gilt: [mm] $\left(a^m\right)^n [/mm] \ = \ [mm] a^{m*n}$ [/mm] .


> dann würde es doch auch heißen [mm]e^{x}[/mm] = z  und [mm](e^{x})[/mm] hoch 2 oder [mm]e^{2x}[/mm] ?? = [mm]z^{2}[/mm]  

Nein, substituiert wird lediglich hier: $z \ := \ [mm] e^x$ [/mm] .


Gruß
Loddar


Bezug
        
Bezug
e-Funktion nach 0 auflösen: Rückfrage 2
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:25 So 19.03.2006
Autor: annika258

wie würde man denn dann bei dieser gleichung nach 0 auflösen?

2 [mm] \* e^{2x} [/mm] -  [mm] e^{-x} [/mm] = 0

Bezug
                
Bezug
e-Funktion nach 0 auflösen: wie oben!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:52 So 19.03.2006
Autor: Loddar

Hallo Annika!


Das funktioniert sehr ähnlich wie oben: multipliziere hier mit [mm] $\bruch{1}{2}*e^x$ [/mm] und substituiere anschließend wieder $z \ := \ [mm] e^x$ [/mm] .


Gruß
Loddar


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