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Differenzenquotient
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Differenzenquotient

Sei $ f $ eine Funktion, die über dem Intervall $ I $ definiert ist, und sei $ x_0 \in I $.

Dann nennt man

$ \bruch{f(x)-f(x_0)}{x - x_0} $


den Differenzenquotienten der Funktion $ f $ zur Stelle $ x_0 $.

Bildet man den Grenzwert des Differenzenquotienten für $ x \rightarrow x_0 $, dann erhält man den Differentialquotienten:

$ f'(x_0) = \limes_{x \to x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x - x_0} $

Beispiel:
$ f(x) = x^2 $

Differenzenquotient: $ \bruch{x^2-{x_0}^2}{x-x_0} $

Wegen $ \bruch{x^2-{x_0}^2}{x-x_0}= x+x_0 $
kann man in diesem speziellen Fall den Grenzwert sogar durch unmittelbares Einsetzen von $ x_0 $ für $ x $ ermitteln:

$ f'(x_0) = \limes_{x \to x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x - x_0} = 2x_0 $

Alternative Schreibweise ("h-Methode")

Manchmal ist eine andere Schreibweise hilfreich:
man setzt $ x-x_0 = h $, also $ x = x_0 + h $

Damit wird der Differenzenquotient zu:

$ \bruch{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} $


der Differentialquotient lautet analog:

$ f'(x_0) = \limes_{h \to 0}\bruch{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} $


Erstellt: Mo 20.09.2004 von informix
Letzte Änderung: Mo 02.02.2009 um 22:19 von informix
Weitere Autoren: Marc
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