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Ereignis
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Ereignis

Definition Ereignis


Schule

Jede Teilmenge des endlichen Ergebnisraumes $ \Omega $ heißt Ereignis A, d.h. $ A \subseteq \Omega $.

Ein Ereignis $ \{\omega\} $, d.h. eine Teilmenge mit nur einem Ergebnis, heißt Elementarereignis.

Die Menge aller Ereignisse heißt Ereignisraum $ P(\Omega) $.
(Das $ P $ bei $ P(\Omega) $ ist dabei eine Abkürzung für die Potenzmenge von $ \Omega $.
Hier ist also ausnahmsweise mal nicht die Wahrscheinlichkeit gemeint!)

Die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen lassen sich besonders gut berechnen, wenn den Ergebnissen des Zufallsexperiments Zahlen zugeordnet werden: Zufallsgröße


Gegenereignis

Sei E ein Ereignis eines Ergebnisraumes $ \Omega $, dann nennt man $ \overline{E} $ das Gegenereignis zu E bzgl. $ \Omega $.


Ergebnisraum und Ereignisse - ein kleines Beispiel

Wir wollen einmal einen Würfel werfen.

Der Ergebnisraum ist $ \Omega=\{1,2,3,4,5,6\} $.
Ein Element $ \omega\in\Omega $ nennt man Ergebnis.

Ein Ereignis $ A $ kann man einmal mit Worten formulieren, z.B. "man würfelt eine gerade Zahl",
oder mit der Mengenschreibweise $ A=\{2,4,6\} $.
Ein anderes Beispiel wäre das Ereignis $ B $ "man würfelt eine Zahl größer als Vier" - das wäre $ B=\{5,6\} $.
Oder das Ereignis $ C $ "man würfelt eine Sechs" - das wäre $ C=\{6\} $.

Man kann neue Ereignisse aus den angegebenen Ereignissen bilden:

Oder-Ereignis
"man würfelt eine ungerade Zahl oder man würfelt eine Zahl größer als Vier"
dann bildet man die Vereinigung der beiden Ereignisse: $ A\cup B=\{1,3,5\}\cup\{5,6\}=\{1,3,5,6\} $

Und-Ereignis
"man würfelt eine ungerade Zahl und man würfelt eine Zahl größer als Vier"
insgesamt also: "man würfelt eine ungerade Zahl größer als Vier"
dann bildet man den Durchschnitt der beiden Ereignisse: $ A\cap B=\{1,3,5\}\cap\{5,6\}=\{5\} $

Gegenereignis
"man würfelt nicht eine ungerade Zahl; dann würfelt man eben eine gerade Zahl .."
E={1,3,5} $ \Rightarrow \overline{E}=\Omega \backslash E = \{1,2,3,4,5,6\} \ \backslash \ \{1,3,5\}=\{2,4,6\} $

Merke: Ereignisse sind immer Teilmengen des Ergebnisraums!


Man kann für jedes Ereignis die Wahrscheinlichkeit bestimmen -
in den genannten Beispielen wäre $ P(A)=\frac{1}{2} $, $ P(B)=\frac{1}{3} $ und $ P(C)=\frac{1}{6} $.


Die Summenregel

Für beliebige Ereignisse $ A,B $ gilt $ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) $.

Überprüfen wir die Regel anhand unseres Beispiels: Was ist das Ereignis $ A\cup B $?
In Mengenschreibweise ist $ A\cup B=\{2,4,5,6\} $ (Vereinigung!) -
in Worten hieße das "man würfelt eine gerade Zahl oder eine Zahl größer als Vier".

Was ist nun die Wahrscheinlichkeit $ P(A\cup B) $ ?

Wir können sofort sagen, dass $ P(A\cup B)=\frac{2}{3} $ oder aber die Formel benutzen:
$ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) $.

Dazu müssen wir noch wissen, was das Ereignis $ A\cap B $ ist,
und wie groß die Wahrscheinlichkeit $ P(A\cap B) $ ist...
Es ist $ A\cap B=\{6\} $ (Schnittmenge!) und damit $ P(A\cap B)=\frac{1}{6} $.

Benutzen wir jetzt die Summenregel:
$ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}=\frac{2}{3} $.

Wir haben damit unsere erste Berechnung bestätigt und dabei (hoffentlich!) gelernt, was es mit der Summenregel auf sich hat.



Universität


Erstellt: Mi 02.03.2005 von informix
Letzte Änderung: Fr 13.06.2008 um 17:07 von informix
Weitere Autoren: Yuma
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