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Nullstelle
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Nullstelle

Nullstelle

... heißt diejenige Stelle auf der x-Achse, an der der Graph der Funktion die x-Achse schneidet oder berührt.

Das bedeutet, dass dort die Funktion den Wert 0 hat:

Sei als Beispiel $ f(x) = x^2 +x -12 = (x -3)(x+4) $
dann gilt: f(3) = 0 und f(-4) = 0
$ x_N = 3 $ oder $ x_N = -4 $ sind also die Nullstellen dieser Funktion.

Allgemein:
man findet alle Nullstellen einer Funktion f(x),
indem man die Gleichung f(x)=0 löst.


Bemerkungen:

1. Habe eine ganzrationale Funktion f an der Stelle $ x_0 $ eine Nullstelle mit der Vielfachheit n.

  • Ist n ungerade, dann schneidet der Graph von f die x-Achse.
    (Man sagt, die Funktion hat an der Stelle $ x_0 $ eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel
    oder auch: "die Funktion hat dort eine Durchgangsstelle").
  • Ist n gerade, dann berührt der Graph von f die x-Achse.
    (Man sagt, die Funktion hat an der Stelle $ x_0 $ eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel
    oder auch: "die Funktion hat dort eine Berührstelle").

2. Ist $ x_1 $ eine Nullstelle einer ganzrationalen Funktion f, dann kann man f(x) schreiben als:

$ f(x) = (x-x_1)\cdot{}g(x) $


mit einer ganzrationalen Funktion g, deren Grad um 1 niedriger ist als der Grad der Funktion f.

Damit kann man den Grad einer Funktion schrittweise erniedrigen, bis man endlich eine Funktion 2. Grades erhält, die man mit der p/q-Formel oder der ABC-Formel lösen kann.

3. Hat eine Funktion die Nullstellen $ x_1, x_2 $ und $ x_3 $, so gilt:

$ f(x)=(x-x_1)\cdot{}(x-x_3)\cdot{}(x-x_3)=...-x_1\cdot{}x_2\cdot{}x_3=0 $

Das absolute Glied enthält also stets die Nullstellen als Faktoren.
Bei ganz-rationalen Funktionen (in der Schule) lohnt sich die Fahndung nach "kleinen" ganzen Zahlen: $ \pm1 ,\pm 2,\pm 3, 0 $.

Erstellt: Mo 20.09.2004 von informix
Letzte Änderung: Sa 09.01.2010 um 12:20 von informix
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