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Vektorrechnung
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Vektorrechnung

Ein Vektor ist ein Tripel aus reellen Zahlen: $ \vec{a} = \vektor{a_1\\a_2\\a_3} $
Ein Vektor enthält die Komponenten $ a_1 , a_2 , a_3 $.


Schule

Addition und Subtraktion


$ \vec{a} + \vec{b} = \vektor{a_1\\a_2\\a_3} + \vektor{b_1\\b_2\\b_3} = \vektor{a_1+b_1\\a_2+b_2\\a_3+b_3} $


$ \vec{a}-\vec{b} = \vektor{a_1\\a_2\\a_3}-\vektor{b_1\\b_2\\b_3} = \vektor{a_1-b_1\\a_2-b_2\\a_3-b_3} $

Addition und Subtraktion sind also komponentenweise definiert.

Skalare Multiplikation

Ein Vektor kann mit einer reellen Zahl multipliziert werden, also vervielfacht werden:

$ r\cdot{}\vec{a}= r\cdot{}\vektor{a_1\\a_2\\a_3} = \vektor{r\cdot{}a_1\\r\cdot{}a_2\\r\cdot{}a_3} $

Die skalare Multiplikation ist ebenfalls komponentenweise definiert.

Das Skalarprodukt zweier Vektoren


$ \vec{a} * \vec{b} = \vektor{a_1\\a_2\\a_3} * \vektor{b_1\\b_2\\b_3} = a_1\cdot{}b_1 + a_2\cdot{}b_2 + a_3\cdot{}b_3 $

Das Ergebnis des Skalarprodukts ist also eine reelle Zahl.

Mulitpliziert man einen Vektor skalar mit sich selbst, so ergibt sich:

$ \vec{a}*\vec{a} = \left[ \vektor{a_1\\a_2\\a_3} \right]^2 = a_1\cdot{}a_1 + a_2\cdot{}a_2 + a_3\cdot{}a_3 = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 $


Nach dem Satz des Pythagoras berechnet man damit (in einem euklidischen Raum), nachdem man die Wurzel gezogen hat, die Länge des zu diesem Vektor gehörenden Pfeils:

$ \wurzel{\vec{a}*\vec{a}} = \wurzel{{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} $

Vektorprodukt

Unter dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) $ \vec{a} \times \vec{b} $ zweier Vektoren $ \vec{a} $ und $ \vec{b} $ versteht man denjenigen Vektor $ \vec{n} $, der auf beiden Vektoren senkrecht steht.

$ \vec{a} \times \vec{b} = \vektor{a_1\\a_2\\a_3} \times \vektor{b_1\\b_2\\b_3} = \vektor{a_2\cdot{}b_3-a_3\cdot{}b_2\\a_3\cdot{}b_1-a_1\cdot{}b_3\\a_1\cdot{}b_2-a_2\cdot{}b_1} $

Dabei ist die Reihenfolge zu beachten, d.h. das Vektorprodukt ist nicht kommutativ:

$ \vec{a} \times \vec{b} = -( \vec{b} \times \vec{a}) $






Für eine Übersicht klicke man auf folgende Adressen:

[link]ZSG Rottenburg viele Aufgaben mit Lösungen
[link]Private Formelsammlung Höhere Mathematik (:wink:)

Erstellt: Mi 20.10.2004 von informix
Letzte Änderung: Di 12.02.2008 um 16:31 von informix
Weitere Autoren: Loddar
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