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Zahlenmenge
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Zahlenmenge

(Weitergeleitet von irrational)

$ \IN $: die Menge der natürlichen Zahlen

$ \IB $: die Menge der Bruchzahlen

$ \IZ $: die Menge der ganzen Zahlen

$ \IQ $: die Menge der rationalen Zahlen

$ \IR $: die Menge der reellen Zahlen

$ \IC $: die Menge der komplexen Zahlen

Es gilt: $ \IN \subset \IZ \subset  \IQ \subset \IR \subset \IC $

$ \IB $ ist die Menge der positiven rationalen Zahlen: $ \IB \subset \IQ $

In diesen Zahlenmengen sind zwei Verknüpfungen definiert:
"+" : die Addition und ihre Umkehrung, die Subtraktion "-"
"$ \cdot{} $" : die Multiplikation und ihre Umkehrung, die Division ":".


natürliche Zahlen

Die natürlichen Zahlen bilden die Menge
$ \IN = \{1, 2, 3, 4, ...\} $
Es sind also die Zahlen, mit denen man zählen kann.

Nimmt man die $ 0 $ dazu, so erhält man
$ \IN_0 = \{0, 1, 2 ,3, 4 ...\} = \IN \cup \{0\} $

Viele Autoren behandeln die Null direkt als natürliche Zahl und verstehen under $ \IN = \{0, 1, 2, 3, 4, ...\} $. Im Zweifel sollte die genaue Definition im jeweiligen Buch nachgeschlagen werden.


ganze Zahlen

Ein Element der Menge $ \IZ:=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\} $ heißt ganze Zahl.

Jede ganze Zahl ist auch eine rationale Zahl, reelle Zahl.
Die Menge der natürlichen Zahlen ist eine Teilmenge der Menge der ganzen Zahlen.
$ \IN\subset\red{\IZ}\subset\IQ\subset\IR\subset\IC $


Bruchzahlen

sind Quotienten aus zwei natürlichen Zahlen $ \bruch {a} {b} $, bei dem $ a \in \IN_0 $ und $ b \in \IN $ gilt.

$ a $ nennt man den Zähler des Bruches und $ b $ den Nenner.


rationale Zahlen und Dezimalzahlen

Die Menge der rationalen Zahlen  ist die Vereinigung der Menge der Bruchzahlen mit der Menge der (negativen) Gegenzahlen der Bruchzahlen.


$ \IQ = \left\{... \bruch{2}{7}, \bruch{-2}{7}, \bruch{5}{27}, \bruch{-5}{27}, ...\right\} $

Die rationalen Zahlen können auf dem Zahlenstrahl angeordnet werden und liegen dort dicht.
Das bedeutet, dass zwischen je zwei "benachbarten" Brüchen stets mind. ein weiterer Bruchzahl angegeben werden kann:


$ \bruch{7}{17}<\bruch{8}{17} \Rightarrow \bruch{14}{34}<\bruch{15}{34}<\bruch{16}{34} \Rightarrow \bruch{7}{17}<\bruch{15}{34}<\bruch{8}{17} $

Zu den rationalen Zahlen gehören auch die Dezimalzahlen, also diejenigen Brüche, die im Nenner eine Zehnerpotenz enthalten
(= endliche Dezimalbrüche),

$ 0,4 = \bruch{4}{10} = \bruch{2}{5} $ oder  $ 0,468 = \bruch{468}{1000} = \bruch{117}{250} $


und
die periodischen Dezimalbrüche:

$ \bruch{1}{3} = 0,\bar 3 $ oder   $ \bruch{457}{999}= 0,\bar 4\bar5\bar7} $


irrationale Zahlen

Die Menge der irrationalen Zahlen umfasst alle unendlichen, nichtperiodischen Dezimalbrüche.

Beispiele für irrationale Zahlen:

$ \sqrt{2}  \approx 1,4142135... $


$ \pi \approx 3,14159... $


$ e \approx 2,7182818... $


reelle Zahlen

Die Menge $ \IR $ der reellen Zahlen
umfasst alle endlichen und periodischen Dezimalbrüche und die unendlichen Dezimalbrüche.

Sie ist die Vereinigung der Menge $ \IQ $ der rationalen Zahlen mit der Menge $ I $ der irrationalen Zahlen, wobei die irrationalen Zahlen unendliche, nichtperiodische Dezimalbrüche sind.

Beispiele für irrationale Zahlen:

$ \sqrt{2}  \approx 1,4142135... $


$ \pi \approx 3,14159... $


$ e \approx 2,7182818... $


komplexe Zahlen

Komplexe Zahlen sind Zahlen, die in der Form a+bi dargestellt werden, wobei i für die imaginäre Einheit steht.
Es gilt $ i^2=-1 $, wodurch auch Gleichungen der Form $ x^2=-1 $ gelöst werden können.



siehe auch: [link]Zahlenmengen in mathe-online.at

Erstellt: Di 19.10.2004 von informix
Letzte Änderung: Mi 30.09.2009 um 21:13 von Teufel
Weitere Autoren: Marc, Marcel
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