-Beschränktheit-Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei 0 < r [mm] \le [/mm] 4 und die Folge [mm] a_n [/mm] definiert durch angabe von [mm] a_1 \in [/mm] (0,1) und
[mm] a_{n+1} [/mm] = r * [mm] a_n [/mm] ( 1 - [mm] a_n)
[/mm]
n [mm] \in \IN
[/mm]
Man zeige dass [mm] a_n [/mm] besschränkt ist und im Fall 0 < r < 1 konvergiert. |
Ich bin da überfordert weil ich für nichts was fixes einsetzen kann sondern überall Intervalle habe.
Vermutung:
0 [mm] \le a_n \le [/mm] 1
Induktionsanfang
[mm] a_1 [/mm] ist es korrekt wegen Angabe
[mm] a_2 [/mm] = r * [mm] a_1 [/mm] ( 1 - [mm] a_1) [/mm]
Koeffzient 0< [mm] (1-a_1) \le [/mm] 1
4 < r* [mm] a_1 [/mm] < 0
Ich weiß nicht wie ich da weiter argumentieren soll.. ;(
Muss ich es überhaupt für [mm] a_2 [/mm] noch zeigen?
I.Annahme :0 [mm] \le a_n [/mm] < 1
I.Schritt:
0 [mm] \le [/mm] r * [mm] a_n [/mm] ( 1- [mm] a_n) \le [/mm] 1
r* [mm] a_n [/mm] ist [mm] \ge [/mm] 0 da 0 <r [mm] \le [/mm] 4 und 0 [mm] \le a_n \le [/mm] 1
1- [mm] a_n [/mm] ist [mm] \ge [/mm] 0 da 0 [mm] \le a_n \le [/mm] 1
-> Die Multiplikation der Ausdrücke ist [mm] \ge [/mm] 0
r * [mm] a_n [/mm] - r* [mm] a_n^2 [/mm] -1 [mm] \le [/mm] 0 / * (-1)
- r [mm] a_n [/mm] + [mm] ra_n^2 [/mm] + 1 [mm] \ge [/mm] 0
[mm] (ra_n^2 [/mm] - [mm] 2ra_n [/mm] + 1) + [mm] ra_n \ge [/mm] 0
( [mm] ra_n [/mm] - [mm] 1)^2 [/mm] + [mm] ra_n \ge [/mm]
Quadrat-> [mm] \ge [/mm] 0
r [mm] a_n \ge [/mm] 0
-> Die Multiplikation der Ausdrücke ist [mm] \ge [/mm] 0
Das mit den konvergiert im Fall 0 < r < 1, weiß ich nicht zu zeigen. Mit Monotonie vielleicht? Aber habe nicht wirklich einen Plan.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:50 So 27.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
dass die folge nach unten beschränkt ist hast du ja gezeigt. also hast du nur nochfür 0<r<1 Monotonie (und vielleicht ne Schranke nach oben zu suchen.)
Dazu probier einfach mal mit irgendeinem r <1 und a1<1 die ersten paar Schritte aus. dann hat man wenigstens die Idee ob man wachsend oder fallend zeigen will
ausserdem ist immer gut, den GW zu kennen (auszurechnen) falls man die Konvergenz zeigen kann.
Gruss leduart
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Ich hab doch auch versucht zu zeigen dass die Folge nach oben beschränkt ist ( siehe hier nochmal ..) Kannd mir da wer am schluß helfen?
I.Annahme :0 [mm] \le a_n [/mm] < 1
I.Schritt:
0 [mm] \le [/mm] r * [mm] a_n [/mm] ( 1- [mm] a_n) \le [/mm] 1
r * [mm] a_n [/mm] - r* [mm] a_n^2 [/mm] -1 [mm] \le [/mm] 0 / * (-1)
- r [mm] a_n [/mm] + [mm] ra_n^2 [/mm] + 1 [mm] \ge [/mm] 0
[mm] (ra_n^2 [/mm] - [mm] 2ra_n [/mm] + 1) + [mm] ra_n \ge [/mm] 0
r* (( [mm] a_n [/mm] - [mm] 1)^2) [/mm] + [mm] ra_n [/mm] - r [mm] \ge [/mm]
Quadrat-> [mm] \ge [/mm] 0
r [mm] a_n \ge [/mm] 0
aber -r ??? ich weiß ja nicht ob das andere links von -r größer ist als r.
> Dazu probier einfach mal mit irgendeinem r <1 und a1<1 die ersten >Schritte aus. dann hat man wenigstens die Idee ob man wachsend oder > > fallend zeigen will
$ [mm] a_1 \in [/mm] $ (0,1)
$ [mm] a_{n+1} [/mm] $ = r * $ [mm] a_n [/mm] $ ( 1 - $ [mm] a_n) [/mm] $
z.B. r= 0,75, [mm] a_1 [/mm] = 0.5
[mm] a_2 [/mm] = 0,1875
[mm] a_3 [/mm] =0,1143
vermutung: fallend
[mm] a_n [/mm] > [mm] a_{n+1}
[/mm]
[mm] a_n [/mm] > r * [mm] a_n [/mm] ( 1 - [mm] a_n) [/mm]
[mm] a_n [/mm] > r* [mm] a_n [/mm] - r* [mm] a_n^2
[/mm]
0 > - [mm] r*a_n^2 [/mm] + [mm] r*a_n [/mm] - [mm] a_n
[/mm]
0 > - r* [mm] a_n^2 [/mm] + (r [mm] -1)a_n [/mm]
- r* [mm] a_n^2 [/mm] -> sicher [mm] \le [/mm] 0
r-1 ist sicher < 0 da , 0 < r < 1
[mm] a_n [/mm] wegen Beschränktheit 0 < [mm] a_n [/mm] < 1
also ist der Gesamte ausdrucK: negativ + negeativ *positiv < 0
-> Fallend.
FRAGEN:
-Bei der oberen Induktion brauche ich Hilfe ;) ?
-Was kann über die Situation im Fall 1 < r [mm] \le [/mm] 4 ausgesagt werden?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:04 Mo 28.11.2011 | | Autor: | theresetom |
Ich möchte nicht, dass die Frage in Vergessenheit gerät!
DANKE!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:18 Mo 28.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich hab doch auch versucht zu zeigen dass die Folge nach
> oben beschränkt ist ( siehe hier nochmal ..) Kannd mir da
> wer am schluß helfen?
>
> I.Annahme :0 [mm]\le a_n[/mm] < 1
>
> I.Schritt:
> 0 [mm]\le[/mm] r * [mm]a_n[/mm] ( 1- [mm]a_n) \le[/mm] 1
>
> r * [mm]a_n[/mm] - r* [mm]a_n^2[/mm] -1 [mm]\le[/mm] 0 / * (-1)
> - r [mm]a_n[/mm] + [mm]ra_n^2[/mm] + 1 [mm]\ge[/mm] 0
> [mm](ra_n^2[/mm] - [mm]2ra_n[/mm] + 1) + [mm]ra_n \ge[/mm] 0
> r* (( [mm]a_n[/mm] - [mm]1)^2)[/mm] + [mm]ra_n[/mm] - r [mm]\ge[/mm]
> Quadrat-> [mm]\ge[/mm] 0
> r [mm]a_n \ge[/mm] 0
> aber -r ??? ich weiß ja nicht ob das andere links von -r
> größer ist als r.
Das ist ja ein Chaos !!!
Ind. Vor: 0 $ [mm] \le a_n [/mm] $ < 1 für ein n.
Nun schau Dir [mm] a_{n+1} [/mm] an:
[mm] a_{n+1}= ra_n(1-a_n)
[/mm]
Alle Faktoren rechts sind nach Ind. Vor. [mm] \ge [/mm] 0 und <1. Damit ist
$0 [mm] \le a_{n+1}<1$
[/mm]
>
>
> > Dazu probier einfach mal mit irgendeinem r <1 und a1<1 die
> ersten >Schritte aus. dann hat man wenigstens die Idee ob
> man wachsend oder > > fallend zeigen will
>
>
> [mm]a_1 \in[/mm] (0,1)
> [mm]a_{n+1}[/mm] = r * [mm]a_n[/mm] ( 1 - [mm]a_n)[/mm]
>
> z.B. r= 0,75, [mm]a_1[/mm] = 0.5
> [mm]a_2[/mm] = 0,1875
> [mm]a_3[/mm] =0,1143
> vermutung: fallend
> [mm]a_n[/mm] > [mm]a_{n+1}[/mm]
> [mm]a_n[/mm] > r * [mm]a_n[/mm] ( 1 - [mm]a_n)[/mm]
> [mm]a_n[/mm] > r* [mm]a_n[/mm] - r* [mm]a_n^2[/mm]
> 0 > - [mm]r*a_n^2[/mm] + [mm]r*a_n[/mm] - [mm]a_n[/mm]
> 0 > - r* [mm]a_n^2[/mm] + (r [mm]-1)a_n[/mm]
>
> - r* [mm]a_n^2[/mm] -> sicher [mm]\le[/mm] 0
> r-1 ist sicher < 0 da , 0 < r < 1
> [mm]a_n[/mm] wegen Beschränktheit 0 < [mm]a_n[/mm] < 1
> also ist der Gesamte ausdrucK: negativ + negeativ
> *positiv < 0
> -> Fallend.
Wieder Chaos !
Ind. Vor.: [mm] a_{n+1}
[mm] $a_{n+2}=ra_{n+1}(1-a_{n+1}) <1*a_{n+1}*1=a_{n+1}$
[/mm]
FRED
>
> FRAGEN:
> -Bei der oberen Induktion brauche ich Hilfe ;) ?
> -Was kann über die Situation im Fall 1 < r [mm]\le[/mm] 4
> ausgesagt werden?
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Ich hab das Gefühl du stempelst dass einfach als chaos ab und gehst überhaupt nicht auf meine Schritte ein!
0 [mm] \le a_n [/mm] < 1
dass 0 [mm] \le a_n [/mm] hab ich im ersten Post schon bewiesen, nun fehlte mir [mm] a_n [/mm] < 1 zu beweisen mittels vollständiger induktion.
I.Annahme : [mm] a_n [/mm] < 1
I.Schritt:
[mm] a_{n+1} [/mm] < 1
r * [mm] a_n [/mm] ( 1- [mm] a_n) [/mm] < 1
r * [mm] a_n [/mm] ( 1- [mm] a_n) [/mm] - 1 < 0
-> da komme ich nicht weiter!!!
Monotonie (mache ich nicht mittels vollständiger induktion)
vermutung: fallend
> [mm] a_n [/mm] > [mm] a_{n+1} [/mm]
Ich setze für [mm] a_{n+1} [/mm] unsere Folge ein
> $ [mm] a_n [/mm] $ > r * $ [mm] a_n [/mm] $ ( 1 - $ [mm] a_n) [/mm] $
multipliziere aus
> $ [mm] a_n [/mm] $ > r* $ [mm] a_n [/mm] $ - r* $ [mm] a_n^2 [/mm] $
gebe [mm] a_n [/mm] auf die andere Seite
> 0 > - $ [mm] r\cdot{}a_n^2 [/mm] $ + $ [mm] r\cdot{}a_n [/mm] $ - $ [mm] a_n [/mm] $
Hebe [mm] a_n [/mm] raus
> 0 > - r* $ [mm] a_n^2 [/mm] $ + (r $ [mm] -1)a_n [/mm] $
Der Gesamtausdruck ist < 0 weil:
> - r* $ [mm] a_n^2 [/mm] $ -> sicher $ [mm] \le [/mm] $ 0
> r-1 ist sicher < 0 da , 0 < r < 1
> $ [mm] a_n [/mm] $ wegen Beschränktheit 0 [mm] \le [/mm] $ [mm] a_n [/mm] $ < 1
> -> Fallend.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:52 Mo 28.11.2011 | | Autor: | theresetom |
Hochschiebe ;))
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:43 Di 29.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ob das chaos ist ist Geschmacksache, aber du rechnest einfach rum.
a) du fängst mit der Beh, an, die du beweisen willst und formst die um. ausgehen darfst du aber nur von der Beh. hier
[mm] 0
dann ist [mm] a_{n+1}=r*a_n*(1-a_n) [/mm] anzusehen; 0<r<1 nach Vors, [mm] 0
hat man drei Faktoren die >0 und <1 sind
Produkt >0 und <1
lange rumrechnereien können da nichts erreiche.
Beim nächsten Beweis wieder du
schreibst die Behauptung:
$ [mm] a_n [/mm] $ > r * $ [mm] a_n [/mm] $ ( 1 - $ [mm] a_n) [/mm] $
hin und dann wurschtelst du ne Weile mit rum.
bei jedem Schritt müsstest du dazusagen dass es eine Äquivalenzumformung ist und warum. Dann kommst du am Schluss auf eine Aussage.
kannst du von der ausgehend zu deiner Beh. kommen?
Wenn du es also so machen willst fang an mit
0 > - r* $ [mm] a_n^2 [/mm] $ + (r $ [mm] -1)a_n [/mm] $ mit deiner rchtigen Begründung
und komm an bei
$ [mm] a_n [/mm] $ > r * $ [mm] a_n [/mm] $ ( 1 - $ [mm] a_n) =a_{n+1}$
[/mm]
die induktion ist, wie dir fred gezeigt hat schneller.
für r>1 bis 4 versuchs mal mit ein paar zahlen. >0 ist ganz leicht.
dann überlege, dass a*(a-1) am größten bei a=0.5 ist und sonst immer kleiner, was folgt für r<4? für a2, damit für a3... [mm] a_n.
[/mm]
bleibt r=4 das kannst du leicht ausrechnen, wenn du mit a1=0.5 anfängst , und mit [mm] a_1 [/mm] kleiner oder größer 0.5
Man muss einfach bei so aufgaben einen moment rumspielen, dann kriegt man das richtge "Gefühl" dafür und kann ans beweisen gehen.
gruss leduart
Gruss leduart
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> ob das chaos ist ist Geschmacksache, aber du rechnest einfach rum.
Ja was soll ich denn sonst machen. Ich stelle mir es so um, dass ich sehe ob etwas <0 oder >0 ist.
> ausgehen darfst du aber nur von der Beh. hier
> $ [mm] 0
Ja aber ich darf doch auf von meiner Angabe ausgehen. Da ist ja schon ein Intervall für r angegeben und so weiß ich, dass r positiv ist. Dass darf man doch benutzen.
> Beim nächsten Beweis wieder du
> schreibst die Behauptung:
> $ [mm] a_n [/mm] $ > r * $ [mm] a_n [/mm] $ ( 1 - $ [mm] a_n) [/mm] $
> hin und dann wurschtelst du ne Weile mit rum.
Ja ich stelle mir die Ungleichung in eine Form um, dass ich SChlussfolgerungen ziehen kann.
Meine Schritte stehen im vorigen Post, besser kann ich es nicht. Die Frage ist ja nur ob es so stimmt!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 Di 29.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wie liest du denn posts?
ich schrieb:"
Dann kommst du am Schluss auf eine Aussage.
kannst du von der ausgehend zu deiner Beh. kommen?
Wenn du es also so machen willst fang an mit
0 > - r* $ [mm] a_n^2 [/mm] $ + (r $ [mm] -1)a_n [/mm] $ mit deiner rchtigen Begründung
und komm an bei
$ [mm] a_n [/mm] $ > r * $ [mm] a_n [/mm] $ ( 1 - $ [mm] a_n) =a_{n+1} [/mm] $"
d. heisst dein Beweiskette ist nicht falsch, nu musst du sie von hinten nach vorne machen, statt am anfang die Behauptung hinzuschreiben und umzuformen.
Wenn du es so lassen willst bleibt nur, dass du dich und den leser bei jedem Schritt überzeugst, dass und warum er eine Äquivalenzumformung ist, also gehört zu jedem Schritt ein <=>
Wenn du hinten anfängst musst du nur vorwärts rechnen.
dein Beweis für [mm] 0
Nochmal: manchmal kommt man auf den Beweis, wenn man wie du die Behauptung umformt und zu ner wahren Aussage kommt. nachdem man so einen Weg gefunden hat geht man ihn für den Beweis rückwärts, also man fängt mit einer wahren aussage an und landet bei der Behauptung.
bitte zitiere posts und sage an den entsprechenden stellen, was du nicht verstanden hast.
Gruss leduart
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Gut.
Ich verstehe aber den Beweis zu:
[mm] a_n \le [/mm] 1
nicht
I.Annahme : [mm] a_n \le [/mm] 1
I.Schritt:
Zu.Zeigen: [mm] a_{n+1} \le [/mm] 1
r * $ [mm] a_n [/mm] $ ( 1- $ [mm] a_n) [/mm] $ [mm] \le [/mm] 1
r * $ [mm] a_n [/mm] $ ( 1- $ [mm] a_n) [/mm] $ - 1 [mm] \le [/mm] 0
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:27 Di 29.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Gut.
> Ich verstehe aber den Beweis zu:
> [mm]a_n \le[/mm] 1
> nicht
>
> I.Annahme : [mm]a_n \le[/mm] 1
>
> I.Schritt:
> Zu.Zeigen: [mm]a_{n+1} \le[/mm] 1
> r * [mm]a_n[/mm] ( 1- [mm]a_n)[/mm] [mm]\le[/mm] 1
> r * [mm]a_n[/mm] ( 1- [mm]a_n)[/mm] - 1 [mm]\le[/mm] 0
>
Es ist
(*) [mm] a_{n+1} [/mm] = r * [mm]a_n[/mm] ( 1- [mm]a_n)[/mm]
Ich habs Dir schon mal gesagt: die Faktoren r und [mm] 1-a_n [/mm] rechts vom "=" in (*) sind [mm] \le [/mm] 1.
Folglich: [mm] a_{n+1} \le a_n.
[/mm]
Nach I.V. ist [mm] a_n \le [/mm] 1.
Fazit: [mm] a_{n+1} \le [/mm] 1.
FRED
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> Es ist
(*) $ [mm] a_{n+1} [/mm] $ = r * $ [mm] a_n [/mm] $ ( 1- $ [mm] a_n) [/mm] $
> Ich habs Dir schon mal gesagt: die Faktoren r und $ [mm] 1-a_n [/mm] $ rechts vom "=" in (*) sind $ [mm] \le [/mm] $ 1.
Der Faktor r ist aber, 0 < r [mm] \le [/mm] 4 . Die Becshränktheit soll man doch noch mit diesen r demonstrieren?
> Folglich: $ [mm] a_{n+1} \le a_n. [/mm] $
Die Folgerung ist mir leider noch immer nicht 100 % klar.
> Nach I.V. ist $ [mm] a_n \le [/mm] $ 1.
>Fazit: $ [mm] a_{n+1} \le [/mm] $ 1.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:48 Di 29.11.2011 | | Autor: | fred97 |
>
> > Es ist
>
> (*) [mm]a_{n+1}[/mm] = r * [mm]a_n[/mm] ( 1- [mm]a_n)[/mm]
>
> > Ich habs Dir schon mal gesagt: die Faktoren r und [mm]1-a_n[/mm]
> rechts vom "=" in (*) sind [mm]\le[/mm] 1.
> Der Faktor r ist aber, 0 < r [mm]\le[/mm] 4 .
Das hatte ich übersehen ! Pardon.
Dann machen wir das so:
Für jedes x [mm] \in \IR [/mm] ist x(1-x) [mm] \le [/mm] 1/4. ( Diskutiere die Funktion [mm] f(x)=-x^2+x)
[/mm]
Damit ist [mm] a_n(1-a_n) \le [/mm] 1/4.
Ist nun 0<r [mm] \le [/mm] 4, so ist
$ [mm] r*a_n(1-a_n) \le [/mm] 1$.
FRED
> Die Becshränktheit
> soll man doch noch mit diesen r demonstrieren?
>
> > Folglich: [mm]a_{n+1} \le a_n.[/mm]
> Die Folgerung ist mir leider
> noch immer nicht 100 % klar.
>
> > Nach I.V. ist [mm]a_n \le[/mm] 1.
>
> >Fazit: [mm]a_{n+1} \le[/mm] 1.
>
>
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Ich würde das gerne nnochmals zusammenfassen!
0 < r [mm] \le [/mm] 4
[mm] a_1 \in [/mm] (0,1)
[mm] a_{n+1} [/mm] = r [mm] *a_n [/mm] ( 1- [mm] a_n)
[/mm]
Beschräntheit
Vermutung: 0 [mm] \le a_n \le [/mm] 1
I.Anfang: 0 [mm] \le a_1 \le [/mm] 1
I.Annahme: 0 [mm] \le a_n \le [/mm] 1
Zuzeigen: 0 [mm] \le a_{n+1} \le [/mm] 1
I.Schritt: 0 [mm] \le [/mm] r * [mm] a_n [/mm] * [mm] (1-a_n) \le [/mm] 1
[mm] r*a_n \ge [/mm] 0 da 0 < r [mm] \le [/mm] 4 und 0 [mm] \le a_n \le [/mm] 1
[mm] 1-a_n \ge [/mm] 0 da 0 [mm] \le a_n \le [/mm] 1
folgert: 0 [mm] \le [/mm] r * [mm] a_n [/mm] * [mm] (1-a_n)
[/mm]
> Wie sollte ich dann von hinten nach vorne gehen?
> Und für die Induktion für [mm] a_n \le [/mm] 1 habt ihr mir zwar Herangehensweisen gezeigt. ABer kann ich das mit meiner Induktion hier nicht beweisen, ohne es komplizierter zu machen?
Monotonie:
[mm] a_{n+1} [/mm] = r * [mm] a_n [/mm] * [mm] (1-a_n)
[/mm]
< [mm] a_n [/mm] * (1 [mm] -a_n) [/mm] weil 0 < r <1
< [mm] a_n [/mm] weil 0 [mm] \le 1-a_n \le [/mm] 1
-> streng monoton Fallend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Do 01.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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