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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:51 Mo 21.03.2005 | | Autor: | Paige |
Hi!
So, ich hab ein kleines Problem mit der gleichmäßigen Stetigkeit. Ich weiß dass bei der gleichmäßigen Stetigkeit dass delta nur vom epsilon abhängt. Jedoch weiß ich nicht wie ich das bei konkreten Aufgaben anwenden soll.
z.B.: g(x) : = x * cos(x) im Intervall ]-1, 1[
Die Funktion ist, wenn ich mich nicht ganz doll täusche gleichmäßig stetig. Nur weiß ich leider nicht, wie ich die Definition anwenden kann und es korrekt mathematisch formuliere.
Wäre lieb, wenn mir jemand helfen könnte. Freue mich auch schon über kleine Lösungsansätze mit denen ich dann weiter probieren kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:03 Mo 21.03.2005 | | Autor: | andreas |
hi
ich gebe dir nur mal ein paar ansätze, wie ich denke das es funktionieren sollte:
(1) zeige, dass [mm] $\cos [/mm] x$ auf $]-1, 1[ [mm] \subset [/mm] [-1, 1]$ gleichmäßig stetig ist (z.b mit dem satz von cantor, siehe 10.12. auf seite 4 ![[]](/images/popup.gif) dieses skripts)
(2) dann sollte folgende abschätzung weiterhelfen:
[m] \begin{array}{rcl} \left| x_1 \cos x_1 - x_2 \cos x_2 \right| & = & \left| x_1 \cos x_1 - x_2 \cos x_1 + x_2 \cos x_1 - x_2 \cos x_2 \right| \\ & \leq & \left| x_1 \cos x_1 - x_2 \cos x_1 \right| + \left| x_2 \cos x_1 - x_2 \cos x_2 \right| \\ & = & \left| x_1 - x_2 \right| \left| \cos x_1 \right| + \left| x_2 \right| \left| \cos x_1 - \cos x_2 \right| \end{array} [/m]
(3) nun kann man [mm] $\left| \cos x_1 \right|$ [/mm] und [mm] $\left| x_2 \right|$ [/mm] leicht geeignet abschätzen und dann mit der gleichmäßigen stetigkeit von [mm] $\textrm{id}$ [/mm] und [mm] $\cos$ [/mm] ein geeignetes [mm] $\delta$ [/mm] wählen.
probiere doch mal, ob du damit weiterkommst. wenn nicht kannst du gerne nochmal nachfragen.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Di 22.03.2005 | | Autor: | Paige |
Hi!
Danke für deinen Tipp. Das 1. hab ich hingekriegt. Der Satz sagt doch aus, dass jede stetige Funktion auf einem kompakten Intervall gleichmäßig stetig ist. [-1, 1] ist kompaktes Intervall und cos(x) auf diesem gleichmäßig stetig. u ]-1, 1[ [mm] \supset [-1,1] [/mm] ist, muss ja auch cos(x) auf diesem Intervall gleichmäßig stetig sein, oder???? Kann man das so begründen.
Mit der Abschätzung habe ich allerdings meine Probleme. Würde mich freuen, wenn ich da noch nen kleinien Tipp bekomme.
Danke schon mal im Vorraus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Di 22.03.2005 | | Autor: | andreas |
hi
ganz grundsätzlich hat mir bei solchen aufgaben immer geholfen erstmal genau azfzuschreiben, welche vorraussetzungen man hat und was genau man zeigen will, hier nämlich:
[m] \forall \, \varepsilon > 0 \; \exists \, \delta > 0 \; \forall x_1, x_2 \in ]-1, 1[: (|x_1 - x_2| < \delta \; \Longrightarrow \; |x_1 \cos x_1 - x_2 \cos x_2| < \varepsilon ) [/m]
> Danke für deinen Tipp. Das 1. hab ich hingekriegt. Der Satz
> sagt doch aus, dass jede stetige Funktion auf einem
> kompakten Intervall gleichmäßig stetig ist. [-1, 1] ist
> kompaktes Intervall und cos(x) auf diesem gleichmäßig
> stetig. u ]-1, 1[ [mm]\supset [-1,1][/mm] ist, muss ja auch cos(x)
> auf diesem Intervall gleichmäßig stetig sein, oder???? Kann
> man das so begründen.
gut. bis auf dass da [m] ]-1, 1[ \subset [-1, 1] [/m] stehten sollte stimmt das alles (aber das war bestimmt nur ein tippfehler)!
> Mit der Abschätzung habe ich allerdings meine Probleme.
> Würde mich freuen, wenn ich da noch nen kleinien Tipp
> bekomme.
sind dir die abschätzungen die ich angegeben habe klar, oder sind die schon unklar? wenn die unklar sind frage am besten konkret nach, an welcher stelle du hängst, dann kann ich das ja nochmal erklären. wenn die soweit klar sind kannst du ja einfach [m] |x_2| \leq 1 [/m] und [m] | \cos x_1| \leq 1 [/m] abschätzen (warum?).
nun kannst du verwenden, was du in (1) gezeigt hast, nämlich dass [mm] $\cos$ [/mm] auf $]-1, 1[$ gleichmäßig stetig ist, d.h.
[m] \forall \, \varepsilon > 0 \; \exists \, \delta_1 > 0 \; \forall x_1, x_2 \in ]-1, 1[: \left(|x_1 - x_2| < \delta_1 \; \Longrightarrow \; | \cos x_1 - \cos x_2| < \frac{\varepsilon}{2} \right) [/m]
nun kann man eine ähnliche aussage für den zweiten summanden in der abschätzung in (2) meiner letzten antwort angeben, probiere das doch mal, sollte hoffentlich keine weiteren schwierigkeiten machen.
wenn man dann nun beide aussagen und die abschätzung in (2) zusammen nimmt sollte man eigentlich eine geeignete abschätzung für die funktion und damit auch die gleichmäßige stetigkeit beweisen können, in dem man einfach ein geeignetes delta für ein gegebenes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ angeben kann.
probiere mal, ob du mit diesen informationen weiterkommst, wenn nicht frage einfach nochmal nach.
grüße
andreas
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