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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - 0 - 1 - Gesetze
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0 - 1 - Gesetze: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:54 Mo 14.12.2009
Autor: Irmchen

Guten Abend alle zusammen!

Ich beschäftige mich gerade mit dem Buch " Wahrscheinlichkeitstheorie" von Bauer und genau genommen mit dem § 11 Null-Eins-Gesetze.
Ich habe Schwierigkeiten den folgenden Sachverhalt ganz zu verstehen..

Gegeben sei eine beliebige Folge  [mm] (A_n)_{n \in \mathbb N } [/mm] von Ereignissen. Dann gilt die Implikation

[mm] \summe_{n=1}^{\infty} P (A_n) < \infty \ \Rightarrow \ P ( \limsup_{ n \to \infty } A_n ) = 0 [/mm]

Warum ist die Wahrscheinlichkeit 0 ?

Als Begründung im Buch steht :

Sezt man [mm] A:= \limsup_{ n \to \infty } A_n [/mm], so gilt
[mm] A \subset \bigcup_{i=n}^{\infty} A_i [/mm] und somit
[mm] P (A) \le \summe_{i=n}^{\infty} P (A_i).. [/mm]
Und damit folgt die Behauptung.

Ich verstehe nicht, warum daraus folgt, dass [mm] P ( \limsup_{ n \to \infty } A_n ) = 0 [/mm].

Vielen Dank!

Viele Grüße
Irmchen

        
Bezug
0 - 1 - Gesetze: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:38 Mo 14.12.2009
Autor: dormant

Hi!

> Guten Abend alle zusammen!
>  
> Ich beschäftige mich gerade mit dem Buch "
> Wahrscheinlichkeitstheorie" von Bauer und genau genommen
> mit dem § 11 Null-Eins-Gesetze.
>  Ich habe Schwierigkeiten den folgenden Sachverhalt ganz zu
> verstehen..
>  
> Gegeben sei eine beliebige Folge  [mm](A_n)_{n \in \mathbb N }[/mm]
> von Ereignissen. Dann gilt die Implikation
>  
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} P (A_n) < \infty \ \Rightarrow \ P ( \limsup_{ n \to \infty } A_n ) = 0[/mm]

Zur Info - das nennt sich das (erste) Lemma von Borel-Cantelli. Ich weiß nicht was im Bauer steht, zu WTheorie würde ich das Buch von Meintrup, oder evtl. das von Klenke empfehlen.
  

> Warum ist die Wahrscheinlichkeit 0 ?
>  
> Als Begründung im Buch steht :
>  
> Sezt man [mm]A:= \limsup_{ n \to \infty } A_n [/mm], so gilt
>  [mm]A \subset \bigcup_{i=n}^{\infty} A_i[/mm] und somit
> [mm]P (A) \le \summe_{i=n}^{\infty} P (A_i)..[/mm]
>  Und damit folgt
> die Behauptung.

Der Beweis ist auf dem Englischen Wiki ganz gut:

[mm] \IP(\limsup_{n\to\infty} A_N)=\IP(\bigcap_{N=1}^{\infty}\bigcup_{n=N}^{\infty}A_n)\le\inf_{N\ge 1}\IP(\bigcup_{n=N}^{\infty}A_n)\le\inf_{N\ge 1}\summe_{n=N}^{\infty}\IP(A_n)=0. [/mm]

Zu jedem Schritt:
i) Definition von LimSup über Mengen;
ii) Monotonie des Maßes [mm] \IP; [/mm]
iii) [mm] \sigma [/mm] -subadditivität des Maßes;
iv) Nach Voraussetzung, da [mm] \IP(A_n) [/mm] Nullfolge sein muss.

>  
> Ich verstehe nicht, warum daraus folgt, dass [mm]P ( \limsup_{ n \to \infty } A_n ) = 0 [/mm].
>  
> Vielen Dank!
>  
> Viele Grüße
>  Irmchen


Gruß,
dormant

Bezug
                
Bezug
0 - 1 - Gesetze: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:59 Mo 14.12.2009
Autor: Irmchen

Danke!

Den Beweis hatte ich kurz bevor ich den Beitrag gelesen habe gefunden und auch alle Unklarheiten somit beseitigt!

Vielen Dank!


Bezug
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