(1+x)^n >= (1+nx) ? < Sonstiges < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:43 So 21.10.2007 | | Autor: | Paul1985 |
| Aufgabe | | [mm] (1+x)^{n} \ge [/mm] (1+nx) |
Frage ist mir echt peinlich, aber ich komme beim besteln Willen nicht drauf...
Mein Ansatz war mit der 1. Binomischen Formel [mm] (a+b)^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + 2ab + [mm] b^2
[/mm]
aber hier habe ich ja ein n... :)
und dann noch...
Wieso größer-gleich? Ich meine... wenn ich doch es "anders" schreibe, dann ist es gleich und nicht größer...
|
|
| |
|
> [mm](1+x)^{n} \ge[/mm] (1+nx)
> Frage ist mir echt peinlich, aber ich komme beim besteln
> Willen nicht drauf...
>
> Mein Ansatz war mit der 1. Binomischen Formel [mm](a+b)^2[/mm] =
> [mm]a^2[/mm] + 2ab + [mm]b^2[/mm]
>
> aber hier habe ich ja ein n... :)
>
>
> und dann noch...
>
> Wieso größer-gleich? Ich meine... wenn ich doch es "anders"
> schreibe, dann ist es gleich und nicht größer...
Hallo,
[mm] (1+x)^{n} \ge [/mm] (1+nx) heißt Bernoullische Ungleichung, und sie gilt für [mm] x\ge [/mm] -1.
Für x=0 hast Du offensichtlich Gleichheit.
> Mein Ansatz war mit der 1. Binomischen Formel [mm](a+b)^2[/mm] =
> [mm]a^2[/mm] + 2ab + [mm]b^2[/mm]
Immerhin siehst Du hieran, daß es für n=2 gilt: [mm] (1+x)^2=1+2x+x^2 \ge [/mm] 1+2x.
Ebenso gilt es für 1.
Die Gültigkeit für beliebiges n kannst Du mit vollständiger Induktion beweisen.
Versuch's mal.
Gruß v. Angela
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 So 21.10.2007 | | Autor: | Paul1985 |
> Immerhin siehst Du hieran, daß es für n=2 gilt:
> [mm](1+x)^2=1+2x+x^2 \ge[/mm] 1+2x.
Richtig.... aber wo bleibt bei dir die [mm] x^2 [/mm] auf der rechten seite?
Es müsste doch heißen
[mm] (1+x)^2=1+2x+x^2 \ge 1+2x+x^2 [/mm] :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:07 So 21.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Paul!
Du darfst nicht vergessen, dass es sich hierbei um eine Ungleichung - also um eine Abschätzung - handelt. Da muss links und rechts des Ungleichheitszeichens nicht zwangsläufig dasselbe stehen.
Diese ![[]](/images/popup.gif) BERNOULLI'sche Ungleichung dient z.B. zur Abschätzung von Potenzfunktionen.
Gruß
Loddar
|
|
|
|
