(1-cosx)^-x Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | | [mm] \limes_{x \to 0, x>0} (1-cos(x))^{-x} [/mm] |
Hallo
Schön das es das Forum gibt, ahbe schon viel gelesen und nun ei ne Frage. Beschäftige mich seit ein paar Wochen mit der Grenzwertberechnung. Kann auch einige Aufgaben lösen , nur leider hab ich noch keine richtige Übersicht bei diesem Thema.
Vielleicht kann mir jemand bei der Aufgabe helfen. Also ich weiss das [mm] e^{0} [/mm] = 1 rauskommt, aber der weg dort hin...?:)
Ich fange einfach mal an:
1. Ich sehe eine gebrochene Funktion der Forum [mm] f(x)^{g(x)}, [/mm] welche nach einsetzen von 0 einen Unbestimmten Ausdruck ergebit [mm] 0^{0}.
[/mm]
Das sagt mit das ich l´hospital und diese expo-Forum anwenden kann:
[mm] \limes_{x \to 0, x>0} e^{ -x * ln(1-cosx)}
[/mm]
2. Nun betrachte ich erstmal nur den Exponenten:
-x * ln(1-cosx)
3. Um L´´Hospital anwenden zu können Forme cih es in einen Quotienten um:
[mm] \bruch{ln(1-cosx) }{ -1/x}
[/mm]
4. Und nun hackt es schon:
Um l´hospital anwenden zu dürfen brauche ich 0/0 oder oo/oo.
Wenn ich jedoch die 0 einsetze bekomme ich einen Nicht Definierten Ausdruck heraus, Error/Error.
Aber in der Musterlösung Leiten die jetzt ab, warum?
Für Hilfe wär ich dankbar
Gruss :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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> [mm]\limes_{x \to 0, x>0} (1-cos(x))^{-x}[/mm]
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> Hallo
> Schön das es das Forum gibt, ahbe schon viel gelesen und
> nun ei ne Frage. Beschäftige mich seit ein paar Wochen mit
> der Grenzwertberechnung. Kann auch einige Aufgaben lösen ,
> nur leider hab ich noch keine richtige Übersicht bei diesem
> Thema.
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> Vielleicht kann mir jemand bei der Aufgabe helfen. Also ich
> weiss das [mm]e^{0}[/mm] = 1 rauskommt, aber der weg dort hin...?:)
>
> Ich fange einfach mal an:
>
> 1. Ich sehe eine gebrochene Funktion der Forum
> [mm]f(x)^{g(x)},[/mm] welche nach einsetzen von 0 einen
> Unbestimmten Ausdruck ergebit [mm]0^{0}.[/mm]
> Das sagt mit das ich l´hospital und diese expo-Forum
> anwenden kann:
>
> [mm]\limes_{x \to 0, x>0} e^{ -x * ln(1-cosx)}[/mm]
>
> 2. Nun betrachte ich erstmal nur den Exponenten:
>
> -x * ln(1-cosx)
>
> 3. Um L´´Hospital anwenden zu können Forme cih es in einen
> Quotienten um:
>
> [mm]\bruch{ln(1-cosx) }{ -1/x}[/mm]
>
> 4. Und nun hackt es schon:
> Um l´hospital anwenden zu dürfen brauche ich 0/0 oder
> oo/oo.
> Wenn ich jedoch die 0 einsetze bekomme ich einen Nicht
> Definierten Ausdruck heraus, Error/Error.
Na klar: Du schreibst ja selbst, dass Du l'Hospital auf einen Ausdruck anwendest, der an der fraglichen Stelle $x=0$ die Form $0/0$ oder [mm] $\infty/\infty$ [/mm] hat. Wenn Du nun also schlicht $x=0$ einsetzt, dann stellst Du nur fest, was Du schon wusstest: dass der Ausdruck an der Stelle $x=0$ nicht definiert ist.
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> Aber in der Musterlösung Leiten die jetzt ab, warum?
Dieser Ableitungsschritt ist gerade der zentrale Schritt beim l'Hospital. Denn damit kann man den Grenzwert des an der fraglichen Stelle $x=0$ undefinierten Ausdrucks auf den Grenzwert des Quotienten der Ableitungen von Zähler und Nenner an derselben Stelle $x=0$ zurückführen. Eventuell existiert dieser Grenzwert schon in dem Sinne, dass $x=0$ eingesetzt werden kann. - Falls nicht: nochmals ableiten usw.
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